5.5: Operador principal de una Fórmula

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 103711

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Template:MathJaxZach

A menudo es útil hablar sobre el último operador utilizado en la construcción de una fórmula\(A\). Este operador se llama el operador principal de\(A\). Intuitivamente, es el operador “más exterior” de\(A\). Por ejemplo, el operador principal de\(\lnot A\) is\(\lnot\), el operador principal de\((A \lor B)\) is\(\lor\), etc.

Definición\(\PageIndex{1}\): Main operator

El operador principal de una fórmula\(A\) se define de la siguiente manera:

\(\indcaseA{A}{A}\)\(\indfrm\)no tiene operador principal.
\(\indcase{A}{\lnot B}\)el operador principal de\(\indfrm\) es\(\lnot\).
\(\indcase{A}{(B \land C)}\)el operador principal de\(\indfrm\) es\(\land\).
\(\indcase{A}{(B \lor C)}\)el operador principal de\(\indfrm\) es\(\lor\).
\(\indcase{A}{(B \lif C)}\)el operador principal de\(\indfrm\) es\(\lif\).
\(\indcase{A}{\lforall{x}{B}}\)el operador principal de\(\indfrm\) es\(\lforall{}{}\).
\(\indcase{A}{\lexists{x}{B}}\)el operador principal de\(\indfrm\) es\(\lexists{}{}\).

En cada caso, pretendemos la ocurrencia específica indicada del operador principal en la fórmula. Por ejemplo, dado que la fórmula\(((D \lif E) \lif (E \lif D))\) es de la forma\((B \lif C)\) donde\(B\) es\((D \lif E)\) y\(C\) es\((E \lif D)\), la segunda ocurrencia de\(\lif\) es el operador principal.

Esta es una definición recursiva de una función que mapea todas las fórmulas no atómicas a su ocurrencia de operador principal. Debido a la forma en que las fórmulas se definen inductivamente, cada fórmula\(A\) satisface uno de los casos en Definición\(\PageIndex{1}\). Esto garantiza que para cada fórmula no atómica existe\(A\) un operador principal. Debido a que cada fórmula satisface solo una de estas condiciones, y debido a que las fórmulas más pequeñas a partir de las cuales\(A\) se construye se determinan de manera única en cada caso, la ocurrencia del operador principal de\(A\) es única, por lo que hemos definido una función.

Llamamos a las fórmulas por los siguientes nombres dependiendo de qué símbolo sea su operador principal:

Operador principal	Tipo de fórmula	Ejemplo
ninguno	atomic (fórmula)	\(\lfalse\),\(\Atom{R}{t_1, \dots, t_n}\),\(\eq[t_1][t_2]\)
\(\lnot\)	negación	\(\lnot A\)
\(\land\)	conjunción	\((A \land B\))
\(\lor\)	disyunción	\((A \lor B\))
\(\lif\)	condicional	\((A \lif B\))
\(\lforall{}{}\)	universal (fórmula)	\(\lforall{x}{A}\)
\(\lexists{}{}\)	existencial (fórmula)	\(\lexists{x}{A}\)