Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

5.7: Variables libres y oraciones

  • Page ID
    103690
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Template:MathJaxZach

    Definición\(\PageIndex{1}\): Free occurrences of a variable

    Las ocurrencias libres de una variable en una fórmula se definen inductivamente de la siguiente manera:

    1. \(\indcaseA{A}{$A$ is atomic}\)todas las ocurrencias de variables en\(\indfrm\) son libres.

    2. \(\indcase{A}{\lnot B}\)las ocurrencias de variables libres de\(\indfrm\) son exactamente las de\(B\).

    3. \(\indcase{A}{(B \ast C)}\)las ocurrencias variables libres de\(\indfrm\) son las que están\(B\) junto con las de\(C\).

    4. \(\indcase{A}{\lforall{x}{B}}\)las ocurrencias de variables libres en\(\indfrm\) son todas aquellas en\(B\) excepto las ocurrencias de\(x\).

    5. \(\indcase{A}{\lexists{x}{B}}\)las ocurrencias de variables libres en\(\indfrm\) son todas aquellas en\(B\) excepto las ocurrencias de\(x\).

    Definición\(\PageIndex{2}\): Bound Variables

    Una ocurrencia de una variable en una fórmula\(A\) está ligada si no es libre.

    Problema\(\PageIndex{1}\)

    Dar una definición inductiva de las ocurrencias de variables enlazadas a lo largo de las líneas de Definición\(\PageIndex{1}\).

    Definición\(\PageIndex{3}\): Scope

    Si\(\lforall{x}{B}\) es una ocurrencia de una subfórmula en una fórmula\(A\), entonces la ocurrencia correspondiente de\(B\) in\(A\) se llama el alcance de la ocurrencia correspondiente de\(\lforall{x}{}\). De manera similar para\(\lexists{x}{}\).

    Si\(B\) es el alcance de una ocurrencia cuantificador\(\lforall{x}{}\) o\(\lexists{x}{}\) en\(A\), entonces las ocurrencias libres de\(x\) in\(B\) están enlazadas en\(\lforall{x}{B}\) y\(\lexists{x}{B}\). Decimos que estas ocurrencias están ligadas por la ocurrencia cuantificadora mencionada.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Considera la siguiente fórmula:\[\lexists{\Obj v_0}{\underbrace{\Atom{\Obj A^2_0}{\Obj v_0,\Obj v_1}}_{B}}\nonumber\]\(B\) representa el alcance de\(\lexists{\Obj v_0}{}\). El cuantificador se une a la ocurrencia de\(\Obj v_0\) in\(B\), pero no se une a la ocurrencia de\(\Obj v_1\). Así\(\Obj v_1\) es una variable libre en este caso.

    Ahora podemos ver cómo esto podría funcionar en una fórmula más complicada\(A\):\[\lforall{\Obj v_0}{\underbrace{(\Atom{\Obj A^1_0}{\Obj v_0} \lif \Atom{\Obj A^2_0}{\Obj v_0, \Obj v_1})}_{B}} \lif \lexists{\Obj v_1}{\underbrace{(\Atom{\Obj A^2_1}{\Obj v_0, \Obj v_1} \lor \lforall{\Obj v_0}{\overbrace{\lnot \Atom{\Obj A^1_1}{\Obj v_0}}^{D}})}_{C}}\nonumber\]\(B\) es el alcance de la primera\(\lforall{\Obj v_0}{}\),\(C\) es el alcance de\(\lexists{\Obj v_1}{}\), y\(D\) es el alcance de la segunda \(\lforall{\Obj v_0}{}\). El primero\(\lforall{\Obj v_0}{}\) se une a las ocurrencias de\(\Obj v_0\) in\(B\),\(\lexists{\Obj v_1}{}\) la ocurrencia de\(\Obj v_1\) in\(C\), y el segundo\(\lforall{\Obj v_0}{}\) se une a la ocurrencia de\(\Obj v_0\) in \(D\). La primera ocurrencia\(\Obj v_1\) y la cuarta ocurrencia de\(\Obj v_0\) son libres en\(A\). La última ocurrencia de\(\Obj v_0\) es libre en\(D\), pero atado en\(C\) y\(A\).

    Definición\(\PageIndex{4}\): Sentence

    Una fórmula\(A\) es una oración iff que no contiene ocurrencias libres de variables.


    This page titled 5.7: Variables libres y oraciones is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Zach et al. (Open Logic Project) .