6.7: Resumen

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Los conjuntos de oraciones en cierto sentido describen las estructuras en las que son conjuntamente verdaderas; estas estructuras son sus modelos. Por el contrario, si partimos de una estructura o conjunto de estructuras, nos podría interesar el conjunto de oraciones de las que son modelos, esta es la teoría de la estructura o conjunto de estructuras. Cualquier conjunto de sentencias de este tipo tiene la propiedad de que toda sentencia que conllevan ya está en el conjunto; están cerradas. De manera más general, llamamos a\(\Gamma\) un conjunto teoría si se cierra bajo vinculación, y digamos\(\Gamma\) es axiomatizado por\(\Delta\) si\(\Gamma\) consiste en todas las oraciones que conlleva\(\Delta\).

Las matemáticas dan muchos ejemplos de teorías, por ejemplo, las teorías de órdenes lineales, de grupos, o teorías de la aritmética, por ejemplo, la teoría axiomatizada por los axiomas de Peano. Pero también hay muchos ejemplos de teorías importantes en otras disciplinas, por ejemplo, las bases de datos relacionales pueden ser consideradas como teorías, y la metafísica se ocupa de teorías de la paternidad que pueden ser axiomatizadas.

Una cuestión importante a la hora de establecer una teoría para el estudio es si su lenguaje es lo suficientemente expresivo como para permitirnos formular todo lo que queremos que hable la teoría, y otra es si es lo suficientemente fuerte como para demostrar lo que queremos que demuestre. Para expresar una relación necesitamos una fórmula con el número requerido de variables libres. En teoría de conjuntos, solo tenemos\(\in\) como símbolo de relación, pero nos permite expresar\(x \subseteq y\) usando\(\lforall{u}{(u \in x \lif u \in y)}\). La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel\(\Log{ZFC}\), de hecho, es lo suficientemente fuerte como para expresar (casi) cada afirmación matemática y para (casi) probar cada teorema matemático usando un puñado de axiomas y una cadena de definiciones cada vez más complicadas como la de\(\subseteq\).