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9.8: Derivabilidad y consistencia

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    Ahora estableceremos una serie de propiedades de la relación de derivabilidad. Son independientemente interesantes, pero cada uno jugará un papel en la prueba del teorema de integridad.

    Proposición\(\PageIndex{1}\)

    Si\(\Gamma \Proves A\) y\(\Gamma \cup \{A\}\) es inconsistente, entonces\(\Gamma\) es inconsistente.

    Comprobante. Que la derivación\(A\) de\(\Gamma\) sea\(\delta_1\) y la derivación\(\lfalse\) de\(\Gamma \cup \{A\}\) sea\(\delta_2\). Entonces podemos derivar:

    9.8.1.png

    En la nueva derivación,\(A\) se descarga el supuesto, por lo que es una derivación de\(\Gamma\). ◻

    Proposición\(\PageIndex{2}\)

    \(\Gamma \Proves A\)iff\(\Gamma \cup \{\lnot A\}\) es inconsistente.

    Comprobante. Primero supongamos\(\Gamma \Proves A\), es decir, que hay una derivación\(\delta_0\)\(A\) de supuestos no descargados\(\Gamma\). Obtenemos una derivación\(\lfalse\) de la\(\Gamma \cup \{\lnot A\}\) siguiente manera:

    9.8.2.png

    Ahora supongamos que\(\Gamma \cup \{\lnot A\}\) es inconsistente, y deja\(\delta_1\) ser la derivación correspondiente\(\lfalse\) de los supuestos no descargados en\(\Gamma \cup \{\lnot A\}\). Obtenemos una derivación\(A\) de\(\Gamma\) solo mediante el uso de\(\FalseCl\):

    9.8.3.png

    Problema\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar que\(\Gamma \Proves \lnot A\) iff\(\Gamma \cup \{A\}\) es inconsistente.

    Proposición\(\PageIndex{3}\)

    Si\(\Gamma \Proves A\) y\(\lnot A \in \Gamma\), entonces\(\Gamma\) es inconsistente.

    Comprobante. Supongamos\(\Gamma \Proves A\) y\(\lnot A \in \Gamma\). Después hay una derivación\(\delta\)\(A\) de\(\Gamma\). Considera esta sencilla aplicación de la\(\Elim{\lnot}\) regla:

    9.8.4.png

    Ya que\(\lnot A \in \Gamma\), todos los supuestos no descargados están en\(\Gamma\), esto demuestra que\(\Gamma \Proves \lfalse\). ◻

    Proposición\(\PageIndex{4}\)

    Si\(\Gamma \cup \{A\}\) y ambos\(\Gamma \cup \{\lnot A\}\) son inconsistentes, entonces\(\Gamma\) es inconsistente.

    Comprobante. Hay derivaciones\(\delta_1\) y\(\delta_2\) de\(\lfalse\) de\(\Gamma \cup \{ A \}\) y\(\lfalse\) de\(\Gamma \cup \{ \lnot A \}\), respectivamente. Entonces podemos derivar

    9.8.5.png

    Dado que los supuestos\(A\) y\(\lnot A\) son dados de alta, esta es una derivación\(\lfalse\) de\(\Gamma\) solo. De ahí\(\Gamma\) que sea inconsistente. ◻


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