10: El teorema de la completitud
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- 10.1: Introducción
- El teorema de la integridad es uno de los resultados más fundamentales sobre la lógica.
- 10.2: Esquema de la Prueba
- La prueba del teorema de integridad es un poco compleja, y al leerlo por primera vez, es fácil perderse. Así que vamos a delinear la prueba.
- 10.3: Completar Conjuntos Consistentes de Sentencias
- Los juegos completos de oraciones no dejan preguntas sin respuesta. Para cualquier frase\(A\),\(\Gamma\) “dice” si\(A\) es verdadera o falsa.
- 10.4: Expansión Henkin
- Parte del reto para probar el teorema de integridad es que el modelo que construimos a partir de un conjunto consistente completo\(\Gamma\) debe hacer que todas las fórmulas cuantificadas sean\(\Gamma\) verdaderas. Para garantizar esto, utilizamos un truco debido a Leon Henkin.
- 10.5: Lema de Lindenbaum
- Ahora probamos un lema que demuestra que cualquier conjunto consistente de oraciones está contenido en algún conjunto de oraciones que no sólo es consistente, sino también completo.
- 10.6: Construcción de un Modelo
- En este momento no nos preocupa\(=\), es decir, solo queremos demostrar que un conjunto consistente\(\Gamma\) de oraciones que no contienen\(=\) es satisfecha. Primero nos extendemos\(\Gamma\) a un conjunto consistente, completo y saturado\(\Gamma^*\). En este caso, la definición de un modelo\(M(\Gamma^*)\) es sencilla.
- 10.7: Identidad
- La construcción del término modelo dado en la sección anterior es suficiente para establecer la integridad de la lógica de primer orden para conjuntos\(\Gamma\) que no contienen\(=\). No funciona, sin embargo, si\(=\) está presente. Podemos arreglar esto usando una construcción conocida como “factoring”.
- 10.8: El teorema de la integridad
- Combinemos nuestros resultados: llegamos al teorema de integridad. \(\Gamma\)Dejen ser un conjunto de oraciones. Si\(\Gamma\) es consistente, es satisfecha.
- 10.9: El teorema de la compacidad
- Una consecuencia importante del teorema de la completitud es el teorema de la compacidad. El teorema de la compacidad establece que si cada subconjunto finito de un conjunto de oraciones es satisfacible, todo el conjunto es satisfecho, incluso si el conjunto en sí es infinito.
- 10.10: Una prueba directa del teorema de la compacidad
- Podemos probar el Teorema de la Compacidad directamente, sin apelar al Teorema de la Completitud, utilizando las mismas ideas que en la prueba del teorema de la completitud.
- 10.11: El teorema de Löwenheim-Skolem
- El Teorema de Löwenheim-Skolem dice que si una teoría tiene un modelo infinito, entonces también tiene un modelo que es a lo sumo contablemente infinito.