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10.11: El teorema de Löwenheim-Skolem

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    El Teorema de Löwenheim-Skolem dice que si una teoría tiene un modelo infinito, entonces también tiene un modelo que es a lo sumo contablemente infinito. Una consecuencia inmediata de este hecho es que la lógica de primer orden no puede expresar que el tamaño de una estructura sea incontable: cualquier oración o conjunto de oraciones satisfechas en todas las estructuras incontables también se satisface en alguna estructura contable.

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Si\(\Gamma\) es consistente entonces tiene un modelo contable, es decir, es satisfacible en una estructura cuyo dominio es finito o contablemente infinito.

    Comprobante. Si\(\Gamma\) es consistente, la estructura\(\Struct M\) entregada por la prueba del teorema de integridad tiene un dominio\(\Domain{M}\) que no es mayor que el conjunto de los términos de la lengua\(\Lang L\). Así\(\Struct M\) es a lo sumo contablemente infinito. ◻

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Si\(\Gamma\) es un conjunto consistente de oraciones en el lenguaje de la lógica de primer orden sin identidad, entonces tiene un modelo contablemente infinito, es decir, es satisfacible en una estructura cuyo dominio es infinito y contable.

    Comprobante. Si\(\Gamma\) es consistente y no contiene oraciones en las que aparezca la identidad, entonces la estructura\(\Struct M\) entregada por la prueba del teorema de la completitud tiene un dominio\(\Domain{M}\) idéntico al conjunto de términos de la lengua\(\Lang L'\). Así\(\Struct{M}\) es contablemente infinito, ya que\(\Trm[L']\) es. ◻

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Skolem’s Paradox

    La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel\(\Log{ZFC}\) es un marco muy poderoso en el que prácticamente se pueden expresar todas las declaraciones matemáticas, incluidos los hechos sobre los tamaños de los conjuntos. Entonces, por ejemplo,\(\Log{ZFC}\) puede probar que el conjunto\(\Real\) de números reales es incontable, puede probar el Teorema de Cantor de que el conjunto de potencias de cualquier conjunto es mayor que el conjunto en sí, etc. Si\(\Log{ZFC}\) es consistente, sus modelos son todos infinitos, y además, todos ellos contienen elementos sobre los cuales la teoría dice que son incontables, como el elemento que hace realidad el teorema de\(\Log{ZFC}\) que existe el conjunto de poder de los números naturales. Por el Teorema de Löwenheim-Skolem,\(\Log{ZFC}\) también tiene modelos contables, modelos que contienen conjuntos “incontables” pero que a su vez son contables.


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