10.12: Resumen

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El teorema de integridad es lo contrario del teorema de solidez. En una forma establece que si\(\Gamma \Entails A\) entonces\(\Gamma \Proves A\), en otra que si\(\Gamma\) es consistente entonces es satisfecha. Demostramos la segunda forma (y derivamos la primera de la segunda). La prueba está involucrada y requiere una serie de pasos. Comenzamos con un conjunto consistente\(\Gamma\). Primero agregamos infinitamente muchos símbolos constantes nuevos así\(c_i\) como fórmulas de la forma\(\lexists{x}{A(x)} \lif A(c)\) donde cada fórmula\(A(x)\) con una variable libre en el lenguaje expandido se empareja con una de las nuevas constantes. Esto da como resultado un conjunto consistente saturado de oraciones que contienen\(\Gamma\). Sigue siendo consistente. Ahora tomamos ese conjunto y lo extendemos a un conjunto completo consistente. Un conjunto consistente completo tiene la propiedad agradable que para cualquier oración\(A\), ya sea\(A\) o\(\lnot A\) está en el conjunto (pero nunca ambos). Desde que partimos de un conjunto saturado, ahora tenemos un conjunto saturado, completo y consistente de oraciones\(\Gamma^*\) que incluye\(\Gamma\). A partir de este conjunto ahora es posible definir una estructura\(\Struct{M}\) tal que\(\Sat{M(\Gamma^*)}{A}\) iff\(A \in \Gamma^*\). En particular,\(\Sat{M(\Gamma^*)}{\Gamma}\), es decir,\(\Gamma\) es satisfecha. Si\(=\) está presente, la construcción es un poco más compleja.

Dos corolarios importantes se desprenden del teorema de la integridad. El teorema de compacidad afirma que\(\Gamma \Entails A\) iff\(\Gamma_0 \Entails A\) para algunos finitos\(\Gamma_0 \subseteq \Gamma\). Una formulación equivalente es que\(\Gamma\) es satisficable si cada finito\(\Gamma_0 \subseteq \Gamma\) es satisficable. El teorema de compacidad es útil para probar la existencia de estructuras con ciertas propiedades. Por ejemplo, podemos usarlo para mostrar que hay modelos infinitos para cada teoría que tiene modelos finitos arbitrariamente grandes. Esto significa en particular que la finitud no puede expresarse en la lógica de primer orden. El segundo corolario, el Teorema de Löwenheim-Skolem, afirma que todo satisficable\(\Gamma\) tiene un modelo contable. A su vez muestra que la inccountabilidad no puede expresarse en la lógica de primer orden.