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11.6: Lógicas Modal

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    Template:MathJaxZach

    Considera el siguiente ejemplo de una oración condicional:

    Si Jeremy está solo en esa habitación, entonces está borracho y desnudo y bailando en las sillas.

    Este es un ejemplo de una afirmación condicional que puede ser materialmente cierta pero no obstante engañosa, ya que parece sugerir que existe un vínculo más fuerte entre el antecedente y la conclusión aparte de simplemente que o bien el antecedente es falso o el consecuente verdadero. Es decir, la redacción sugiere que la afirmación no sólo es cierta en este mundo en particular (donde puede ser trivialmente cierto, porque Jeremy no está solo en la sala), sino que, además, la conclusión habría sido cierta si el antecedente hubiera sido cierto. En otras palabras, se puede tomar la aseveración en el sentido de que la afirmación es cierta no sólo en este mundo, sino en cualquier mundo “posible”; o que es necesariamente cierto, en contraposición a solo cierto en este mundo en particular.

    La lógica modal fue diseñada para dar sentido a este tipo de necesidad. Se obtiene la lógica proposicional modal de la lógica proposicional ordinaria agregando un operador de caja; es decir, si\(A\) es una fórmula, así es\(\Box A\). Intuitivamente,\(\Box A\) afirma que\(A\) es necesariamente cierto, o cierto en cualquier mundo posible. \(\Diamond A\)generalmente se toma como una abreviatura de\(\lnot \Box \lnot A\), y puede leerse como afirmar que posiblemente\(A\) sea cierto. Por supuesto, la modalidad también se puede agregar a la lógica del predicado.

    Las estructuras Kripke se pueden utilizar para proporcionar una semántica para la lógica modal; de hecho, Kripke primero diseñó esta semántica con la lógica modal en mente. En lugar de restringirse a órdenes parciales, más generalmente uno tiene un conjunto de “mundos posibles”\(P\), y una relación binaria de “accesibilidad”\(\Atom{R}{x,y}\) entre mundos. Intuitivamente,\(\Atom{R}{p,q}\) afirma que el mundo\(q\) es compatible con\(p\); es decir, si estamos “en” mundo\(p\), tenemos que entretener la posibilidad de que el mundo pudiera haber sido como\(q\).

    La lógica modal a veces se llama lógica “intensional”, a diferencia de una lógica “extensional”. La semántica pretendida para una lógica extensional, como la lógica clásica, sólo se referirá a un solo mundo, el “real”; mientras que la semántica para una lógica “intensional” se basa en una ontología más elaborada. Además de estructurar la necesidad, se puede utilizar la modalidad para estructurar otras construcciones lingüísticas, reinterpretando\(\Box\) y de\(\Diamond\) acuerdo a la aplicación. Por ejemplo:

    1. En lógica de comprobabilidad,\(\Box A\) se lee “\(A\)es probable” y\(\Diamond A\) se lee “\(A\)es consistente”.

    2. En la lógica epistémica, uno podría leer\(\Box A\) como “lo sé\(A\)” o “creo\(A\).

    3. En la lógica temporal, se puede leer\(\Box A\) como “siempre\(A\) es cierto” y\(\Diamond A\) como “a veces\(A\) es cierto”.

    A uno le gustaría aumentar la lógica con reglas y axiomas que traten de la modalidad. Por ejemplo, el sistema\(\Log{S4}\) consiste en los axiomas ordinarios y reglas de la lógica proposicional, junto con los siguientes axiomas:

    \ [\ begin {alineado}
    &\ Caja (A\ lif B)\ lif (\ Caja A\ lif\ Caja B)\\
    &\ Caja A\ lif A\\
    &\ Caja A\ lif\ Caja\ Caja A\ final {alineada}\]

    así como una regla, “de\(A\) concluir”\(\Box A\). \(\Log{S5}\)agrega el siguiente axioma:

    \[\Diamond A \lif \Box \Diamond A\nonumber\]

    Las variaciones de estos axiomas pueden ser adecuadas para diferentes aplicaciones; por ejemplo, generalmente se toma S5 para caracterizar la noción de necesidad lógica. Y lo bueno es que normalmente se puede encontrar una semántica para la cual el sistema de prueba es sólido y completo al restringir la relación de accesibilidad en las estructuras de Kripke de manera natural. Por ejemplo,\(\Log{S4}\) corresponde a la clase de estructuras Kripke en las que la relación de accesibilidad es reflexiva y transitiva. \(\Log{S5}\)corresponde a la clase de estructuras Kripke en las que la relación de accesibilidad es universal, es decir que cada mundo es accesible desde todos los demás; así\(\Box A\) sostiene si y sólo si se\(A\) sostiene en cada mundo.


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