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A.4: Patrones de inferencia

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    Template:MathJaxZach

    Las pruebas se componen de inferencias individuales. Cuando hacemos una inferencia, normalmente indicamos eso usando una palabra como “así”, “así” o “por lo tanto”. La inferencia a menudo se basa en uno o dos hechos que ya tenemos disponibles en nuestra prueba; puede ser algo que hemos asumido, o algo que ya hemos concluido por una inferencia. Para ser claros, podemos etiquetar estas cosas, y en la inferencia indicamos qué otras declaraciones estamos usando en la inferencia. Una inferencia a menudo contendrá también una explicación de por qué nuestra nueva conclusión se deriva de las cosas que le preceden. Hay algunos patrones comunes de inferencia que se utilizan muy a menudo en las pruebas; vamos a pasar por algunos a continuación. Algunos patrones de inferencia, como las pruebas por inducción, están más involucrados (y se discutirán más adelante).

    Ya hemos discutido un patrón de inferencia: desempaquetar, o aplicar, una definición. Cuando desempaquetamos una definición, simplemente reafirmamos algo que involucra el definiendum usando el definiens. Por ejemplo, supongamos que ya hemos establecido en el transcurso de una prueba que\(D = E\) (a). Entonces podemos aplicar la definición de\(=\) para conjuntos e inferir: “Así, por definición de (a), cada elemento de\(D\) es un elemento de\(E\) y viceversa”.

    Algo confusamente, muchas veces no escribimos la justificación de una inferencia cuando realmente la hacemos, sino antes. Supongamos que aún no lo hemos probado\(D = E\), pero queremos. Si\(D = E\) es la conclusión a la que pretendemos, entonces podemos reafirmar este objetivo también aplicando la definición: para probar\(D = E\) tenemos que demostrar que cada elemento de\(D\) es un elemento de\(E\) y viceversa. Entonces nuestra prueba tendrá la forma: (a) demostrar que cada elemento de\(D\) es un elemento de\(E\); (b) cada elemento de\(E\) es un elemento de\(D\); (c) por lo tanto, de (a) y (b) por definición de\(=\), \(D = E\). Pero normalmente no lo escribiríamos de esta manera. En su lugar podríamos escribir algo así como,

    Queremos mostrar\(D = E\). Por definición de\(=\), esto equivale a mostrar que cada elemento de\(D\) es un elemento de\(E\) y viceversa.

    (a)... (una prueba de que cada elemento de\(D\) es un elemento de\(E\))...

    b)... (una prueba de que cada elemento de\(E\) es un elemento de\(D\))...

    Uso de una Conjunción

    Quizás el patrón de inferencia más simple es el de sacar como conclusión una de las conjunciones de una conjunción. En otras palabras: si lo hemos asumido o ya lo hemos probado\(p\) y\(q\), entonces tenemos derecho a inferir eso\(p\) (y también eso\(q\)). Esta es una inferencia tan básica que muchas veces no se menciona. Por ejemplo, una vez que hemos desempaquetado la definición de\(D = E\) hemos establecido que cada elemento de\(D\) es un elemento de\(E\) y viceversa. De esto podemos concluir que cada elemento de\(E\) es un elemento de\(D\) (esa es la parte “viceversa”).

    Probar una Conjunción

    A veces lo que se te pedirá que pruebes tendrá la forma de una conjunción; se te pedirá que “pruebes\(p\) y\(q\). En este caso, simplemente hay que hacer dos cosas: probar\(p\), y luego probar\(q\). Podrías dividir tu prueba en dos secciones, y para mayor claridad, etiquetarlas. Cuando estés haciendo tus primeras notas, podrías escribir “(1) Probar\(p\)” en la parte superior de la página, y “(2) Probar\(q\)” en el centro de la página. (Por supuesto, es posible que no se le pida explícitamente que pruebe una conjunción pero encuentre que su prueba requiere que pruebe una conjunción. Por ejemplo, si te piden que pruebes que\(D = E\) encontrarás que, después de desempacar la definición de\(=\), tienes que probar: cada elemento de\(D\) es un elemento de\(E\) y cada elemento de \(E\)es un elemento de\(D\)).

    Demostrar una disyunción

    Cuando lo que estás probando toma la forma de una disyunción (es decir, es una declaración de la forma “\(p\)o\(q\)”), basta con demostrar que uno de los disjuntos es cierto. Sin embargo, básicamente nunca sucede que cualquiera de los dos disjuntos simplemente se deduce de las suposiciones de tu teorema. Más a menudo, los supuestos de tu teorema son en sí mismos disyuntivos, o estás demostrando que todas las cosas de cierto tipo tienen una de dos propiedades, pero algunas de las cosas tienen la una y otras tienen la otra propiedad. Aquí es donde resulta útil la prueba por casos (ver abajo).

    Prueba Condicional

    Muchos teoremas que encontrarás están en forma condicional (es decir, muestran que si se\(p\) mantiene, entonces también\(q\) es cierto). Estos casos son agradables y fáciles de configurar, simplemente asumir el antecedente del condicional (en este caso,\(p\)) y probar la conclusión\(q\) de ello. Entonces, si tu teorema dice, “Si\(p\) entonces\(q\), comienzas tu prueba con “asumes\(p\)” y al final deberías haber probado\(q\).

    Los condicionales pueden ser declarados de diferentes maneras. Entonces, en lugar de “Si\(p\) entonces\(q\), un teorema puede afirmar que “\(p\)solo si\(q\)\(p\), “\(q\)si” o “\(q\), proporcionado\(p\). Todos estos significan lo mismo y requieren asumir\(p\) y probar\(q\) a partir de esa suposición. Recordemos que un bicondicional (“\(p\)si y solo si (iff)\(q\)”) es realmente dos condicionales juntos: si\(p\) entonces\(q\), y si\(q\) entonces\(p\). Todo lo que tienes que hacer, entonces, son dos instancias de prueba condicional: una para la primera condicional y otra para la segunda. A veces, sin embargo, es posible probar una declaración “iff” encadenando un montón de otras declaraciones “iff” para que comiences con “\(p\)” y termines con “\(q\)”, pero en ese caso tienes que asegurarte de que cada paso sea realmente un “iff”.

    Reclamaciones universales

    Usar un reclamo universal es sencillo: si algo es cierto para cualquier cosa, es cierto para cada cosa en particular. Entonces si, digamos, la hipótesis de tu prueba es\(A \subseteq B\), eso significa (desempaquetar la definición de\(\subseteq\)), eso, para cada\(x \in A\),\(x \in B\). Así, si ya lo sabes\(z \in A\), puedes concluir\(z \in B\).

    Demostrar un reclamo universal puede parecer un poco complicado. Por lo general, estas declaraciones toman la siguiente forma: “Si\(x\) tiene\(P\), entonces tiene\(Q\)” o “Todas las\(P\)\(Q\) s son s.” Por supuesto, puede que no se ajuste perfectamente a esta forma, y se necesita un poco de práctica para averiguar qué se le pide que demuestre exactamente. Pero: muchas veces tenemos que demostrar que todos los objetos con alguna propiedad tienen cierta otra propiedad.

    La manera de probar un reclamo universal es introducir nombres o variables, para las cosas que tienen una propiedad y luego demostrar que también tienen la otra propiedad. Podríamos poner esto diciendo que para probar algo para todos\(P\) s hay que probarlo por una arbitraria\(P\). Y el nombre introducido es un nombre para un arbitrario\(P\). Normalmente usamos letras simples como estos nombres para cosas arbitrarias, y las letras suelen seguir convenciones: por ejemplo, usamos\(n\) para números naturales,\(A\) para fórmulas,\(A\) para conjuntos,\(f\) para funciones, etc.

    El truco es mantener la generalidad a lo largo de la prueba. Se inicia asumiendo que un objeto arbitrario (“\(x\)”) tiene la propiedad\(P\), y se muestra (basado únicamente en definiciones o lo que se le permite asumir) que\(x\) tiene la propiedad\(Q\). Porque no has estipulado lo que\(x\) es específicamente, otro que tiene la propiedad\(P\), entonces puedes afirmar que todos cada uno\(P\) tiene la propiedad\(Q\). En definitiva,\(x\) es un stand-in para todas las cosas con propiedad\(P\).

    Proposición\(\PageIndex{1}\)

    Para todos los conjuntos\(A\) y\(B\),\(A \subseteq A \cup B\).

    Comprobante. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos arbitrarios. Eso queremos demostrarlo\(A \subseteq A \cup B\). Por definición de\(\subseteq\), esto equivale a: para cada\(x\), si\(x \in A\) entonces\(x \in A \cup B\). Así que dejemos\(x \in A\) ser un elemento arbitrario de\(A\). Tenemos que demostrarlo\(x \in A \cup B\). Desde\(x \in A\),\(x \in A\) o\(x \in B\). Por lo tanto,\(x \in \Setabs{x}{x \in A \lor x \in B}\). Pero eso, por definición de\(\cup\), significa\(x \in A \cup B\). ◻

    Prueba por Casos

    Supongamos que tienes una disyunción como suposición o como conclusión ya establecida, has asumido o probado que\(p\) o\(q\) es cierto. Usted quiere probarlo\(r\). Esto lo haces en dos pasos: primero\(p\) asumes que eso es cierto, y pruebas\(r\), luego\(q\) asumes que eso es cierto y\(r\) vuelves a probar. Esto funciona porque asumimos o sabemos que una de las dos alternativas sostiene. Los dos pasos establecen que cualquiera de los dos es suficiente para la verdad de\(r\). (Si ambos son ciertos, no tenemos una sino dos razones de por qué\(r\) es cierto. No es necesario demostrar por separado que\(r\) es cierto asumiendo ambos\(p\) y\(q\).) Para indicar lo que estamos haciendo, anunciamos que “distinguimos casos”. Por ejemplo, supongamos que sabemos eso\(x \in B \cup C\). \(B \cup C\)se define como\(\Setabs{x}{x \in B \text{ or } x \in C}\). En otras palabras, por definición,\(x \in B\) o\(x \in C\). Lo probaríamos\(x \in A\) a partir de esto asumiendo primero eso\(x \in B\), y probando\(x \in A\) a partir de esta suposición, y luego asumir\(x \in C\), y nuevamente probar\(x \in A\) a partir de esto. Escribirías “Distinguimos casos” bajo el supuesto, luego “Caso (1):\(x \in B\)” debajo, y “Caso (2):\(x \in C\) a mitad de página. Entonces procedería a rellenar la mitad superior y la mitad inferior de la página.

    Prueba por casos es especialmente útil si lo que estás demostrando es en sí mismo disyuntivo. Aquí hay un ejemplo simple:

    Proposición\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos\(B \subseteq D\) y\(C \subseteq E\). Entonces\(B \cup C \subseteq D \cup E\).

    Comprobante. Supongamos (a) eso\(B \subseteq D\) y (b)\(C \subseteq E\). Por definición, cualquiera\(x \in B\) es también\(\in D\) (c) y cualquiera\(x \in C\) es también\(\in E\) (d). Para demostrar eso\(B \cup C \subseteq D \cup E\), tenemos que demostrar que si\(x \in B \cup C\) entonces\(x \in D \cup E\) (por definición de\(\subseteq\)). \(x \in B \cup C\)iff\(x \in B\) o\(x \in C\) (por definición de\(\cup\)). De igual manera,\(x \in D \cup E\) iff\(x \in D\) o\(x \in E\). Entonces, tenemos que mostrar: para cualquiera\(x\), si\(x \in B\) o\(x \in C\), entonces\(x \in D\) o\(x \in E\).

    ¡Hasta ahora solo hemos desempaquetado definiciones! Hemos reformulado nuestra propuesta sin\(\subseteq\)\(\cup\) y nos quedamos con tratar de probar un reclamo condicional universal. Por lo que hemos discutido anteriormente, esto se hace asumiendo que\(x\) es algo sobre lo que asumimos que la parte “si” es cierta, y seguiremos demostrando que la parte de “entonces” también es cierta. En otras palabras, vamos a asumir eso\(x \in B\) o\(x \in C\) y mostrar que\(x \in D\) o\(x \in E\). 1

    Supongamos que\(x \in B\) o\(x \in C\). Tenemos que demostrar eso\(x \in D\) o\(x \in E\). Distinguimos casos.

    Caso 1:\(x \in B\). Por (c),\(x \in D\). Así,\(x \in D\) o\(x \in E\). (¡Aquí hemos hecho la inferencia discutida en la subsección anterior!)

    Caso 2:\(x \in C\). Por (d),\(x \in E\). Así,\(x \in D\) o\(x \in E\). ◻

    Demostrar un reclamo de existencia

    Cuando se le pide probar una pretensión de existencia, la cuestión suele ser de la forma “probar que existe\(x\) tal que\(\dots x \dots\)”, es decir, que algún objeto que tenga la propiedad descrita por “\(\dots x \dots\)”. En este caso tendrás que identificar un objeto adecuado mostrar que tiene la propiedad requerida. Esto suena sencillo, pero una prueba de este tipo puede ser complicada. Normalmente implica construir o definir un objeto y probar que el objeto así definido tiene la propiedad requerida. Encontrar el objeto correcto puede ser difícil, demostrar que tiene la propiedad requerida puede ser difícil, ¡y a veces incluso es complicado demostrar que has logrado definir un objeto en absoluto!

    Generalmente, escribirías esto especificando el objeto, por ejemplo, “let\(x\) be...” (donde... especifica qué objeto tienes en mente), posiblemente probando que\(\dots\) de hecho describe un objeto que existe, y luego pasar a mostrar que\(x\) tiene la propiedad \(Q\). He aquí un ejemplo sencillo.

    Proposición\(\PageIndex{3}\)

    Supongamos que\(x \in B\). Entonces hay\(A\) tal que\(A \subseteq B\) y\(A \neq \emptyset\).

    Comprobante. Asumir\(x \in B\). Vamos\(A = \{x\}\).

    Aquí hemos definido el conjunto\(A\) enumerando sus elementos. Como suponemos que\(x\) es un objeto, y siempre podemos formar un conjunto enumerando sus elementos, no tenemos que demostrar que hemos logrado definir un conjunto\(A\) aquí. Sin embargo, aún tenemos que demostrar que\(A\) tiene las propiedades que requiere la proposición. ¡La prueba no está completa sin eso!

    Ya que\(x \in A\),\(A \neq \emptyset\).

    Esto se basa en la definición de\(A\) como\(\{x\}\) y los hechos obvios que\(x \in \{x\}\) y\(x \notin \emptyset\).

    Dado que\(x\) es el único elemento de\(\{x\}\), y\(x \in B\), cada elemento de\(A\) es también un elemento de\(B\). Por definición de\(\subseteq\),\(A \subseteq B\). ◻

    Uso de reclamos de existencia

    Supongamos que sabes que alguna afirmación de existencia es cierta (la has probado, o es una hipótesis que puedes usar), digamos, “para algunos\(x\)\(x \in A\)” o “hay una\(x \in A\). Si quieres usarlo en tu prueba, puedes simplemente fingir que tienes un nombre para una de las cosas que tu hipótesis dice que existen. Ya que\(A\) contiene al menos una cosa, hay cosas a las que ese nombre podría referirse. Por supuesto, podrías no ser capaz de elegir uno o describirlo más a fondo (aparte de eso que es\(\in A\)). Pero a efectos de la prueba, puedes fingir que la has escogido y darle un nombre. Es importante escoger un nombre que aún no hayas usado (o que aparezca en tus hipótesis), de lo contrario las cosas pueden salir mal. En tu prueba, lo indicas pasando de “para algunos\(x\)\(x \in A\)” a “Vamos\(a \in A\). Ahora puedes razonar sobre\(a\), usar algunas otras hipótesis, etc., hasta llegar a una conclusión,\(p\). Si ya\(p\) no menciona\(a\),\(p\) es independiente de la asusción que\(a \in A\), y has demostrado que se desprende solo de la suposición “para algunos\(x\),\(x \in A\).

    Proposición\(\PageIndex{4}\)

    Si\(A \neq \emptyset\), entonces\(A \cup B \neq \emptyset\).

    Comprobante. Supongamos\(A \neq \emptyset\). Entonces para algunos\(x\),\(x \in A\).

    Aquí primero acabamos de replantear la hipótesis de la proposición. Esta hipótesis, es decir\(A \neq \emptyset\), esconde una afirmación existencial, a la que solo se llega desempaquetando algunas definiciones. La definición de nos\(=\) dice que\(A = \emptyset\) iff cada\(x \in A\) es también\(\in \emptyset\) y cada\(x \in \emptyset\) es también\(\in A\). Negando ambas partes, obtenemos\(A \neq \emptyset\): si alguna\(x \in A\) es\(\notin \emptyset\) o alguna\(x \in \emptyset\) es\(\notin A\). Como nada lo es\(\in \emptyset\), el segundo disjunto nunca puede ser cierto, y “\(x \in A\)y\(x \notin \emptyset\)” se reduce a justo\(x \in A\). Así\(x \neq \emptyset\) que si para algunos\(x\),\(x \in A\). Esa es una afirmación de existencia. Ahora usamos esa afirmación de existencia introduciendo un nombre para uno de los elementos de\(A\):

    Vamos\(a \in A\).

    Ahora hemos introducido un nombre para una de las cosas\(\in A\). Seguiremos discutiendo\(a\), pero vamos a tener cuidado de asumir solo eso\(a \in A\) y nada más:

    Ya que\(a \in A\)\(a \in A \cup B\),, por definición de\(\cup\). Entonces para algunos\(x\),\(x \in A \cup B\), es decir,\(A \cup B \neq \emptyset\).

    En ese último paso, pasamos de “\(a \in A \cup B\)” a “para algunos\(x\),\(x \in A \cup B\). Eso\(a\) ya no menciona, así que sabemos que “para algunos\(x \in A \cup B\)\(x\), se deduce de “para algunos\(x\),\(x \in A\) solos”. Pero eso significa eso\(A \cup B \neq \emptyset\).

    Tal vez sea una buena práctica mantener variables ligadas como “\(x\)” separadas de nombres hipotéticos como\(a\), como lo hicimos nosotros. En la práctica, sin embargo, a menudo no lo hacemos y solo usamos\(x\), así:

    Supongamos\(A \neq \emptyset\), es decir, hay un\(x \in A\). Por definición de\(\cup\),\(x \in A \cup B\). Entonces\(A \cup B \neq \emptyset\).

    Sin embargo, cuando haces esto, hay que tener mucho cuidado de que uses diferentes y\(x\)\(y\)'s para diferentes afirmaciones existenciales. Por ejemplo, lo siguiente no es una prueba correcta de “Si\(A \neq \emptyset\) y\(B \neq \emptyset\) entonces\(A \cap B \neq \emptyset\)” (lo cual no es cierto).

    Supongamos\(A \neq \emptyset\) y\(B \neq \emptyset\). Entonces para algunos\(x\),\(x \in A\) y también para algunos\(x\),\(x \in B\). Desde\(x \in A\) y\(x \in B\),\(x \in A \cap B\), por definición de\(\cap\). Entonces\(A \cap B \neq \emptyset\).

    ¿Puedes detectar dónde ocurre el paso incorrecto y explicar por qué el resultado no se sostiene?


    1. Este párrafo solo explica lo que estamos haciendo, no es parte de la prueba, y no tienes que entrar en todos estos detalles cuando escribes tus propias pruebas. ↩ ︎


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