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2.2: La lógica proposicional y los cuatro conectivos funcionales básicos de la verdad

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    La lógica proposicional (también llamada “lógica sentencial”) es el área de la lógica formal que aborda las relaciones lógicas entre proposiciones. Una proposición es simplemente lo que llamé en la sección 1.1 una declaración. 1 Algunos ejemplos de proposiciones son:

    La nieve es blanca

    La nieve es fría

    Tom es un astronauta

    El piso ha sido trapeado

    Los platillos han sido lavados

    También podemos conectar proposiciones juntas usando ciertas palabras en inglés, como “y” así:

    Se ha fregado el piso y se han lavado los platos.

    Esta proposición se llama una proposición compleja porque contiene el “y” conectivo que conecta dos proposiciones separadas. En contraste, “se ha fregado el piso” y “se han lavado los platos” son lo que se llaman proposiciones atómicas. Las proposiciones atómicas son aquellas que no contienen ningún conectivo de verdad funcional. La palabra “y” en esta compleja proposición es un conjuntivo verdad-funcional. Un conectivo verdad-funcional es una forma de conectar proposiciones de tal manera que el valor de verdad de la proposición compleja resultante puede ser determinado por el valor de verdad de las proposiciones que la componen. Supongamos que no se ha fregado el piso sino que se han lavado los platos. En ese caso, si hago valer la conjunción, “se ha fregado el piso y se han lavado los platos”, entonces he afirmado algo que es falso. La razón es que una conjunción, como la anterior, sólo es verdadera cuando cada conjunción (es decir, cada enunciado que está unido por el “y”) es verdadera. Si alguna de las conjunciones es falsa, entonces toda la conjunción es falsa. Esto debería ser bastante obvio. Si Bob y Sally partieron las tareas y la tarea de Bob era aspirar y desempolvar mientras que la tarea de Sally era fregar y lavar los platos, entonces si Sally dijo que trapeó el piso e hizo los platos cuando en realidad solo hacía los platos (pero no fregó el piso), entonces Bob podría quejarse con razón de que no es cierto eso ¡Sally trapeó el piso e hizo los platillos!
    Lo que esto demuestra es que las conjunciones son verdaderas sólo si ambas conjunciones son verdaderas. Esto es cierto para todas las conjunciones. La conjunción anterior tiene una cierta forma, la misma forma que cualquier conjunción. Podemos representar esa forma usando marcadores de posición, letras minúsculas como p y q para representar cualquier declaración. Así, representamos la forma de una conjunción como esta:

    p y q

    Cualquier conjunción tiene esta misma forma. Por ejemplo, la compleja proposición, “hoy es soleado y caluroso”, tiene esta misma forma que podemos ver escribiendo la conjunción de esta manera:

    Hoy hace sol y hace calor hoy.

    Aunque podríamos escribir la conjunción de esa manera, es más natural en inglés unir los adjetivos “sunny” y “hot” para obtener “hoy es soleado y caluroso”. Sin embargo, estas dos frases significan lo mismo (es solo que una suena más natural en inglés que la otra). En cualquier caso, podemos ver que “hoy hace sol” es la proposición en el lugar “p” de la forma de la conjunción, mientras que “hoy hace calor” es la proposición en el lugar “q” de la forma de la conjunción. Como antes, esta conjunción es cierta sólo si ambas conjunciones son verdaderas. Por ejemplo, supongamos que es un día de invierno soleado pero amargamente frío. En ese caso, si bien es cierto que hoy hace sol, es falso que hoy hace calor, en cuyo caso la conjunción es falsa. Si alguien afirmara que hoy está soleado y caluroso en esas circunstancias, le dirías que eso no es cierto. Por el contrario, si se tratara de un día de verano nublado pero caluroso y húmedo, la conjunción seguiría siendo falsa. La única forma en que la afirmación sería cierta es si ambas conjunciones fueran verdaderas.

    En el lenguaje formal que estamos desarrollando en este capítulo, representaremos conjunciones usando un símbolo llamado “punto”, que se ve así: “⋅” Usando este símbolo, así es como representaremos una conjunción en notación simbólica:

    p ⋅ q

    En las siguientes secciones presentaremos cuatro conectivos básicos de verdad-funcionales, cada una de las cuales tiene su propio símbolo y significado. Los cuatro conectivos básicos de verdad funcionales son: conjunción, disyunción, negación y condicional. En lo que resta de esta sección, discutiremos únicamente conjunción. Como hemos visto, una conjunción une dos proposiciones separadas para formar una proposición compleja. La conjunción es verdadera si y sólo si ambas conjunciones son verdaderas. Podemos representar esta información usando lo que se llama una tabla de verdad. Las tablas de verdad representan cómo el valor de verdad de una proposición compleja depende de los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Aquí está la tabla de verdad para la conjunción:

    p q p ⋅ q
    T T T
    T F F
    F T F
    F F F

    Aquí es cómo entender esta tabla de la verdad. La fila de cabecera enumera las proposiciones atómicas, p y q, de las que está compuesta la conjunción, así como la conjunción misma, p ⋅ q Cada una de las siguientes cuatro filas representa un posible escenario con respecto a la verdad de cada conjunción, y solo hay cuatro escenarios posibles: ya sea p y q podrían ser ambos verdaderos ( como en la fila 1), p y q podrían ser ambos falsos (como en la fila 4), p podría ser verdadero mientras q es falso (fila 2), o p podría ser falso mientras q es verdadero (fila 3). La columna final (los valores de verdad bajo la conjunción, p ⋅ q) representa cómo el valor de verdad de la conjunción depende del valor de verdad de cada conjunción (p y q). Como hemos visto, una conjunción es verdadera si y sólo si ambas conjunciones son verdaderas. Esto es lo que representa la tabla de la verdad. Dado que solo hay una fila (un escenario posible) en la que tanto p como q son verdaderas (es decir, fila 1), esa es la única circunstancia en la que la conjunción es verdadera. Dado que en cada otra fila al menos una de las conjunciones es falsa, la conjunción es falsa en los tres escenarios restantes.

    En este punto, algunos alumnos comenzarán a perder el control de lo que estamos haciendo con las tablas de la verdad. A menudo, esto se debe a que uno piensa que el concepto es mucho más complicado de lo que realmente es. (Para algunos, esto puede provenir, en parte, de una fobia matemática que se desencadena por el uso de la notación simbólica). Pero una tabla de la verdad es en realidad una idea muy simple: es simplemente una representación del significado de un operador verdad-funcional. Cuando digo que una conjunción es cierta sólo si ambas conjunciones son verdaderas, eso es justo lo que representa la tabla. No hay nada más que eso. (Más adelante en este capítulo usaremos tablas de verdad para probar si un argumento es válido o inválido. Entender eso requerirá más sutileza, pero lo que hasta ahora he introducido no es nada complicado.)

    Hay más de una manera de representar las conjunciones en inglés además de la palabra inglesa “y”. A continuación se presentan algunas palabras y frases comunes en inglés que comúnmente funcionan como conjunciones verdad-funcionales.

    pero sin embargo también aunque
    sin embargo además sin embargo todavía

    Es importante señalar que muchas veces las conjunciones inglesas llevan más información que simplemente que las dos proposiciones son verdaderas (que es la única información que lleva nuestro conectivo simbólico, el punto). Podemos ver esto con conjunciones inglesas como “pero” y “sin embargo” que tienen un sentido contrastivo. Si yo dijera: “Bob votó, pero Caroline no lo hizo”, entonces estoy contrastando lo que hicieron Bob y Caroline. No obstante, sigo haciendo valer dos proposiciones independientes. Otro tipo de información que representan las conjunciones inglesas pero el punto conectivo no es la información temporal. Por ejemplo, en la conjunción:

    Bob se lavó los dientes y se metió en la cama

    Claramente hay una implicación temporal de que Bob primero se cepilló los dientes y luego se metió en la cama. Puede sonar extraño decir:

    Bob se metió en la cama y se lavó los dientes

    ya que esto parecería implicar que Bob se cepilló los dientes mientras estaba en la cama. Pero cada una de estas conjunciones estaría representada de la misma manera por nuestro punto conectivo, ya que al punto conectivo no le importan los aspectos temporales de las cosas. Si tuviéramos que representar a “Bob se metió en la cama” con la mayúscula A y “Bob se cepilló los dientes” con la mayúscula B, entonces ambas proposiciones estarían representadas exactamente igual, es decir, así:

    A ⋅ B

    A veces una conjunción se puede representar en inglés con solo una coma o punto y coma, así:

    Mientras Bob aspiraba el piso, Sally lavaba los platos.

    Bob aspiró el piso; Sally lavaba los platos.

    Ambas son conjunciones que se representan de la misma manera. Deberías ver que ambos tienen la forma, p ⋅ q.

    No toda conjunción es una conjunción verdad-función. Esto lo podemos ver considerando una proposición como la siguiente:

    Maya y Alice están casados.

    Si se tratara de una proposición de verdad funcional, entonces deberíamos ser capaces de identificar las dos proposiciones independientes involucradas. Pero no podemos. ¿Cuáles serían esas proposiciones? Se podría pensar que dos proposiciones serían estas:

    Maya está casada

    Alice está casada

    Pero eso no puede ser correcto ya que el hecho de que Maya esté casada y que Alice esté casada no es lo mismo que decir que Maya y Alice están casadas entre sí, lo cual es claramente la implicación de la frase original. Además, si trataran de agregarse “el uno al otro” a cada propuesta, ya no tendría sentido:

    Maya está casada entre sí

    Alice está casada entre sí

    Quizás podríamos decir que las dos conjunciones son “Maya está casada con Alice” y “Alice está casada con Maya”, pero los valores de verdad de esas dos conjunciones no son independientes entre sí ya que si Maya está casada con Alice también debe ser cierto que Alice está casada con Maya. Por el contrario, el siguiente es un ejemplo de una conjunción verdad-funcional:

    Maya y Alice son mujeres.

    A diferencia del ejemplo anterior, en este caso podemos identificar claramente dos proposiciones cuyos valores de verdad son independientes entre sí:

    Maya es una mujer

    Alice es una mujer

    Que Maya sea o no mujer es un tema que es totalmente independiente de si Alice es mujer (y viceversa). Es decir, el hecho de que Maya sea una mujer no nos dice nada sobre si Alice es mujer. En contraste, el hecho de que Maya esté casada con Alice implica que Alice está casada con Maya. Entonces, la manera de determinar si una conjunción es o no la verdad-funcional es preguntándose si se forma a partir de dos proposiciones cuya verdad es independiente la una de la otra. Si hay dos proposiciones cuya verdad es independiente la una de la otra, entonces la conjunción es verdad-funcional; si no hay dos proposiciones cuya verdad es independiente la una de la otra, la conjunción no es verdad-funcional.

    Ejercicio

    Identificar cuáles de las siguientes frases son conjunciones verdad-funcionales. Si la oración es una conjunción verdad-funcional, identifique las dos conjunciones (escribiéndolas).

    1. Jack y Jill son compañeros de trabajo.
    2. Tom es bombero y padre.
    3. Ringo Starr y John Lennon eran compañeros de banda.
    4. A Lucy le encantan los bocadillos de carne y cebolla.
    5. Cameron Dias ha tenido varias relaciones, aunque nunca se ha casado.
    6. Bob y Sally se besaron.
    7. Una persona que toca tanto la mandolina como la guitarra es multiinstrumentista.
    8. Nadie ha contraído jamás la rabia y ha vivido.
    9. Jack y Jill son vaqueros.
    10. Josías es Amish; sin embargo, también es traficante de drogas.
    11. Los Tigres son el mejor equipo de beisbol del estado, pero no son tan buenos como los Yankees.
    12. Bob fue a la playa a disfrutar de un poco de descanso y relajación.
    13. Lauren no es la corredora más rápida del equipo; aún así, es lo suficientemente rápida como para haber llegado al campeonato nacional.
    14. El anillo es hermoso, pero caro.
    15. Es triste, pero cierto que muchos estadounidenses no saben de dónde vendrá su próxima comida.


    1 Algunos filósofos afirmarían que una proposición no es lo mismo que una declaración, pero las razones para hacerlo no son relevantes para lo que vamos a hacer en este capítulo. Así, para nuestros fines, podemos tratar una proposición como lo mismo que una declaración.


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