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2.6: Prueba de validez de la tabla de la verdad

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    101181
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    Hasta el momento, hemos aprendido a traducir ciertas frases inglesas a nuestro lenguaje simbólico, que consiste en un conjunto de constantes (es decir, las letras mayúsculas que usamos para representar diferentes proposiciones atómicas) y las conectivas verdad-funcionales. Pero, ¿cuál es la retribución de hacerlo? En esta sección aprenderemos cuál es la retribución. En definitiva, el beneficio será que tendremos un método puramente formal para determinar la validez de una determinada clase de argumentos, es decir, aquellos argumentos cuya validez depende del funcionamiento de los conectivos funcionales de la verdad. Esto es lo que los logísticos llaman “lógica proposicional” o “lógica sentencial”.

    En el primer capítulo aprendimos la prueba informal de validez, que nos obligó a tratar de imaginar un escenario en el que las premisas del argumento fueran verdaderas y sin embargo la conclusión falsa. Vimos que si podemos imaginar tal escenario, entonces el argumento no es válido. Por otra parte, si no es posible imaginar un escenario en el que las premisas sean verdaderas y sin embargo la conclusión sea falsa, entonces el argumento es válido. Considera este argumento:

    1. El condenado escapó ya sea arrastrándose por las tuberías de aguas residuales o escondiéndose en la parte trasera del camión de reparto.
    2. Pero el convicto no escapó arrastrándose por las tuberías de aguas residuales.
    3. Por lo tanto, el condenado se escapó escondiéndose en la parte trasera del camión repartidor.

    Utilizando la prueba informal de validez, podemos ver que si imaginamos que la primera premisa y la segunda premisa son ciertas, entonces la conclusión debe seguir. No obstante, también podemos probar que este argumento es válido sin tener que imaginar escenarios y preguntar si la conclusión sería cierta en esos escenarios. Esto lo podemos hacer a) traduciendo esta frase a nuestro lenguaje simbólico y luego b) usando una tabla de verdad para determinar si el argumento es válido. Empecemos con la traducción. La primera premisa contiene dos proposiciones atómicas. Aquí están las proposiciones y las constantes que usaré para representarlas:

    S = El convicto escapó por las tuberías de aguas residuales

    D = El convicto se escapó escondiéndose en la parte trasera de la camioneta de reparto

    Como podemos ver, la primera premisa es una disyunción y así, utilizando las constantes indicadas anteriormente, podemos traducir esa primera premisa de la siguiente manera:

    S v D

    La segunda premisa es simplemente la negación de S:

    ~S

    Por último, la conclusión es simplemente la oración atómica, D. Armando todo esto en forma estándar, tenemos:

    1. S v D
    2. ~S
    3.

    Usaremos el símbolo ““para denotar una conclusión y la leeremos “por lo tanto”.

    Lo siguiente que tenemos que hacer es construir una tabla de la verdad. Ya hemos visto algunos ejemplos de tablas de verdad cuando definí las conectivas de verdad funcionales que he introducido hasta ahora (conjunción, disyunción y negación). Una tabla de verdad (como vimos en la sección 2.2) es simplemente un dispositivo que utilizamos para representar cómo el valor de verdad de una proposición compleja depende de la verdad de las proposiciones que la componen en cada escenario posible. Al construir una tabla de la verdad, lo primero que hay que preguntar es cuántas proposiciones atómicas necesitan ser representadas en la tabla de la verdad. En este caso, la respuesta es “dos”, ya que sólo hay dos proposiciones atómicas contenidas en este argumento (es decir, S y D). Dado que solo hay dos proposiciones atómicas, nuestra tabla de verdad contendrá sólo cuatro filas—una fila para cada escenario posible. Habrá una fila en la que tanto S como D son verdaderas, una fila en la que tanto S como D son falsas, una fila en la que S es verdadera y D es falsa, y una fila en la que S es falsa y D es verdadera.

    D S S v D ~S D
    T F
    T F
    F T
    F F

    Las dos columnas más alejadas a la izquierda son lo que llamamos las columnas de referencia de la tabla de la verdad. Las columnas de referencia asignan cada disposición posible de valores de verdad a las proposiciones atómicas del argumento (en este caso, solo D y S). Las columnas de referencia capturan todos los escenarios lógicamente posibles. Al hacerlo, podemos reemplazar tener que usar tu imaginación para imaginar diferentes escenarios (como en la prueba informal de validez) por un procedimiento mecánico que no requiere que imaginemos o incluso pensemos mucho en absoluto. Así, se puede pensar en cada fila de la tabla de verdad como especificando uno de los escenarios posibles. Es decir, cada fila es una de las posibles asignaciones de valores de verdad a las proposiciones atómicas. Por ejemplo, la fila 1 de la tabla de la verdad (la primera fila después de la fila de cabecera) es un escenario en el que es cierto que el convicto escapó escondiéndose en la parte trasera de la camioneta de reparto, y también es cierto que el convicto escapó arrastrándose por las tuberías de aguas residuales. En contraste, la fila 4 es un escenario en el que el convicto no hizo ninguna de estas cosas.

    Lo siguiente que tenemos que hacer es averiguar cuáles son los valores de verdad de las premisas y la conclusión para cada fila de la tabla de la verdad. Somos capaces de determinar cuáles son esos valores de verdad porque entendemos cómo el valor de verdad de la proposición compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas. Dados los significados de los conectivos funcionales de la verdad (discutidos en secciones anteriores), podemos llenar nuestra tabla de verdad así:

    D S S v D ~S D
    T F T F T
    T F T T T
    F T T F F
    F F F T F

    Para determinar los valores de verdad para la primera premisa del argumento (“S v D”) solo tenemos que conocer los valores de verdad de S y D y el significado de la verdad funcional conectivo, la disyunción. La tabla de la verdad para la disyunción dice que una disyunción es cierta siempre y cuando al menos una de sus disyunciones sea verdadera. Así, cada fila debajo de la columna “S v D” debe ser verdadera, excepto la última fila ya que en la última fila tanto D como S son falsas (mientras que en las tres primeras filas al menos una u otra es verdadera). Los valores de verdad para la segunda premisa (~S) son fáciles de determinar: simplemente miramos lo que hemos asignado a “S” en nuestra columna de referencia y luego negamos esos valores de verdad, los Ts se convierten en Fs y los Fs se convierten en Ts. Eso es justo lo que he hecho en la cuarta columna de la tabla de la verdad anterior. Por último, la conclusión en la última columna de la tabla de la verdad simplemente repetirá lo que hemos asignado a “D” en nuestra columna de referencia, ya que la última conclusión simplemente repite la proposición atómica “D”

    La tabla de verdad anterior está completa. Ahora la pregunta es: ¿Cómo utilizamos esta tabla de verdad completada para determinar si el argumento es válido o no? Para ello, debemos aplicar lo que voy a llamar la “prueba de validez de la tabla de verdad”. De acuerdo con la prueba de validez de la tabla de verdad, un argumento es válido si y sólo si por cada asignación de valores de verdad a las proposiciones atómicas, si las premisas son verdaderas entonces la conclusión es verdadera. Un argumento no es válido si existe una asignación de valores de verdad a las proposiciones atómicas sobre las que las premisas son verdaderas y sin embargo la conclusión es falsa. Es imperativo que entiendas (y no simplemente memorizar) lo que significan estas definiciones. Debe ver que estas definiciones de validez e invalidez tienen una estructura similar a las definiciones informales de validez e invalidez (discutidas en el capítulo 1). La similitud es que estamos buscando la posibilidad de que las premisas sean verdaderas y sin embargo la conclusión sea falsa. Si esto es posible, entonces el argumento no es válido; si no es posible, entonces el argumento es válido. La diferencia, como he señalado anteriormente, es que con la prueba de validez de la tabla de verdad, reemplazamos tener que usar tu imaginación por un procedimiento mecánico de asignar valores de verdad a proposiciones atómicas y luego determinar los valores de verdad de las premisas y conclusión para cada una de esas asignaciones.

    Aplicando estas definiciones a la tabla de verdad anterior, podemos ver que el argumento es válido porque no hay asignación de valores de verdad a las proposiciones atómicas (es decir, ninguna fila de nuestra tabla de verdad) en las que todas las premisas son verdaderas y sin embargo la conclusión es falsa. Mira la primera fila. ¿Es esa una fila en la que todas las premisas son verdaderas y sin embargo la conclusión falsa? No, no lo es, porque no todas las premisas son ciertas en esa fila. En particular, “~S” es falso en esa fila. Mira la segunda fila. ¿Es esa una fila en la que todas las premisas son verdaderas y sin embargo la conclusión falsa? No, no lo es; aunque ambas premisas son ciertas en esa fila, la conclusión también es cierta en esa fila. Ahora considere la tercera fila. ¿Es esa una fila en la que todas las premisas son verdaderas y sin embargo la conclusión falsa? No, porque no es una fila en la que ambas premisas sean ciertas. Por último, considere la última fila. ¿Es esa una fila en la que todas las premisas son verdaderas y sin embargo la conclusión falsa? Nuevamente, la respuesta es “no” porque las premisas no son las dos verdaderas en esa fila. Así, podemos ver que no hay fila de la tabla de la verdad en la que todas las premisas sean verdaderas y sin embargo la conclusión es falsa. Y eso quiere decir que el argumento es válido.

    Dado que la prueba de validez de la tabla de verdad es un método formal para evaluar la validez de un argumento, podemos determinar si un argumento es válido solo en virtud de su forma, ¡sin siquiera saber de qué se trata el argumento! Aquí hay un ejemplo:

    1. (A v B) v C
    2. ~A
    3.

    Aquí hay un argumento escrito en nuestro lenguaje simbólico. No sé qué significan A, B y C (es decir, qué proposiciones atómicas representan), pero no importa porque podemos determinar si el argumento es válido sin tener que saber qué significan A, B y C. A, B y C podrían ser cualquier proposición atómica. Si esta forma de argumento no es válida, entonces sea cual sea el significado que le demos a A, B y C, el argumento siempre será inválido. Por otro lado, si esta forma de argumento es válida, entonces sea cual sea el significado que le demos a A, B y C, el argumento siempre será válido.

    Lo primero que hay que reconocer sobre este argumento es que hay tres proposiciones atómicas, A, B y C. Y eso significa que nuestra tabla de verdad tendrá 8 filas en lugar de solo 4 filas como nuestra última tabla de verdad. La razón por la que necesitamos 8 filas es que se necesitan el doble de filas para representar cada escenario lógicamente posible cuando estamos trabajando con tres proposiciones diferentes. Aquí hay una fórmula simple que puede usar para determinar cuántas filas necesita su tabla de verdad:

    2n (donde n es el número de proposiciones atómicas)

    Se lee esta fórmula “dos a la enésima potencia”. Entonces, si tienes una proposición atómica (como en la tabla de la verdad para la negación), tu tabla de verdad solo tendrá dos filas. Si tienes dos proposiciones atómicas, tendrá cuatro filas. Si tienes tres proposiciones atómicas, tendrá 8 filas. El número de filas necesarias crece exponencialmente a medida que el número de proposiciones atómicas crece linealmente. La siguiente tabla representa la misma relación que la fórmula anterior:

    Número de proposiciones atómicas Número de filas en la tabla de verdad
    1 2
    1 4
    3 8
    4 16
    5 32

    Entonces, nuestra tabla de verdad para el argumento anterior necesita tener 8 filas. Así es como se ve esa tabla de la verdad:

    A B C (A v B) v C ~A C
    T T T
    T T F
    T F T
    T F F
    F T T
    F T F
    F F T
    F F F

    Aquí hay un punto importante a tener en cuenta sobre la configuración de una tabla de verdad. Debe asegurarse de que sus columnas de referencia capturen cada posible asignación distinta de valores de verdad. Una forma de asegurarse de hacer esto es siguiendo el mismo patrón cada vez que construya una tabla de verdad. No hay una manera correcta de hacer esto, pero así es como lo hago (y te recomiendo que tú también lo hagas). Construye las columnas de referencia para que las proposiciones atómicas estén ordenadas alfabéticamente, de izquierda a derecha. Después, en la columna de referencia más a la derecha (la columna C anterior), alternan true y false cada fila, hasta la parte inferior. En la columna de referencia a la izquierda de esa (la columna B anterior), alternar dos filas true, dos filas false, todo el camino hasta la parte inferior. En la siguiente columna a la izquierda (la columna A de arriba), alternar 4 true, 4 false, todo el camino hasta el fondo.

    El siguiente paso es determinar los valores de verdad de las premisas y la conclusión. Nótese que nuestra primera premisa es una frase más compleja que consta de dos disyunciones. El operador principal es la segunda disyunción ya que los dos agrupamientos principales, denotados por los paréntesis, son “A v B” y “C”. Observe, sin embargo, que no podemos averiguar los valores de verdad del operador principal de la oración hasta que no sepamos los valores de verdad del disjunto izquierdo, “A v B.” Entonces ahí es donde tenemos que empezar. Así, en la tabla de verdad a continuación, he llenado los valores de verdad directamente debajo de la parte “A v B” de la oración usando los valores de verdad que he asignado a A y B en las columnas de referencia. Como puede ver en la tabla de verdad a continuación, cada línea es verdadera excepto las dos últimas líneas, que son falsas, ya que una disyunción sólo es falsa cuando ambos de los desjuntos son falsos. (Si necesita revisar la tabla de verdad para conocer la disyunción, consulte la sección 2.3.)

    A B C (A v B) v C ~A C
    T T T T
    T T F T
    T F T T
    T F F T
    F T T F
    F T F F
    F F T F
    F F F F

    Ahora, como hemos descubierto los valores de verdad del disjunto izquierdo, podemos averiguar los valores de verdad bajo el operador principal (que he enfatizado en negrita en la tabla de verdad a continuación). Las dos columnas que estás viendo para determinar los valores de verdad del operador principal son la columna “A v B” que acabamos de averiguar arriba y la columna de referencia “C” a la izquierda. Es imperativo entender que los valores de verdad bajo la “A v B” son irrelevantes una vez que hemos descubierto los valores de verdad bajo el operador principal de la oración. Esa columna era sólo un medio para un fin (el fin de determinar el operador principal) y así los he atenuado para enfatizar que ya no les estamos prestando atención alguna. (Cuando estás construyendo tus propias tablas de verdad, es posible que incluso quieras borrar estas columnas subsidiarias una vez que hayas determinado los valores de verdad del operador principal de la oración. O simplemente puede querer rodear los valores de verdad bajo el operador principal para distinguirlos del resto).

    A B C (A v B) v C ~A C
    T T T T T
    T T F T T
    T F T T T
    T F F T T
    F T T T T
    F T F T T
    F F T F T
    F F F F F

    Por último, llenaremos las dos columnas restantes, lo cual es muy sencillo. Todo lo que tenemos que hacer para el “~A” es negar los valores de verdad que hemos asignado a nuestra columna de referencia “A”. Y todo lo que tenemos que hacer para la columna final “C” es simplemente repetir textualmente los valores de verdad que hemos asignado a nuestra columna de referencia “C”

    A B C (A v B) v C ~A C
    T T T T T F T
    T T F T T F F
    T F T T T F T
    T F F T T F F
    F T T T T T T
    F T F T T T F
    F F T F T T T
    F F F F F T F

    La tabla de verdad anterior ya está completa. El siguiente paso es aplicar la prueba de validez de la tabla de verdad para determinar si el argumento es válido o no válido. Recuerda que lo que buscamos es una fila en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Si encontramos tal fila, el argumento no es válido. Si no encontramos tal fila, entonces el argumento es válido. Aplicando esta definición a la tabla de verdad anterior, podemos ver que el argumento no es válido debido a la sexta fila de la tabla (que he resaltado). Así, la explicación de por qué este argumento es inválido es que la sexta fila de la tabla muestra un escenario en el que las premisas son a la vez verdaderas y sin embargo la conclusión es falsa.

    Ejercicio

    Utilice la prueba de validez de la tabla de verdad para determinar si los siguientes argumentos son válidos o no válidos.

    1.
    1. A v B
    2. B
    3. ~A

    2.
    1. A ⋅ B
    2. A v B

    3.
    1. ~C
    2. ~ (C v A)

    4.
    1. (A v B) ⋅ (A v C)
    2. ~A
    3. B v C

    5.
    1. R ⋅ (T v S)
    2. T
    3.

    6.
    1. A v B
    2.

    7.
    1. ~ (A ⋅ B)
    2. ~A v ~B

    8.
    1. ~ (A v B)
    2. ~A v ~B

    9.
    1. (R v S) ⋅ ~D
    2. ~R
    3.


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