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2.7: Condicionales

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    Hasta el momento, hemos aprendido a traducir y construir tablas de verdad para tres conectivos funcionales de verdad. No obstante, hay una verdad más conectivo funcional que aún no hemos aprendido: la condicional. 2 La frase en inglés que se usa con mayor frecuencia para expresar declaraciones condicionales es “si... entonces”. Por ejemplo,

    Si está lloviendo entonces el suelo se moja.

    Al igual que las conjunciones y las disyunciones, los condicionales conectan dos proposiciones atómicas. Hay dos proposiciones atómicas en el condicional anterior:

    Está lloviendo.

    El suelo se mojó.

    A la proposición que sigue al “si” se le llama antecedente del condicional y a la proposición que sigue al “entonces” se le llama la consecuente del condicional. El enunciado condicional anterior no está haciendo valer ninguna de estas proposiciones atómicas. Más bien, nos está hablando de la relación entre ellos. Simbolizemos “está lloviendo” como “R” y “el suelo está mojado” como “G” Así, nuestra simbolización del condicional anterior sería:

    R G

    El símbolo “” se llama la “herradura” y representa lo que se llama el “condicional material”. Un condicional material se define como verdadero en todos los casos excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. A continuación se muestra la tabla de verdad para el condicional material. Observe que, como acabamos de decir, solo hay un escenario en el que contamos el falso condicional: cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

    p q p q
    T T T
    T F F
    F T T
    F F T

    Veamos cómo se aplica esto al condicional anterior, “si está lloviendo, entonces el suelo está mojado”. Como antes, podemos pensar en el significado de los conectivos funcionales de la verdad preguntándonos si las oraciones que contienen esos conectivos serían verdaderas o falsas en los cuatro escenarios posibles. Los dos primeros son bastante fáciles. Si afirmo el condicional anterior “si está lloviendo entonces el suelo está mojado” cuando tanto está lloviendo como el suelo está mojado (es decir, la primera línea de la tabla de verdad a continuación), entonces la declaración condicional sería cierta en ese escenario. No obstante, si lo afirmo y está lloviendo pero el suelo no está mojado (es decir, la segunda línea de la tabla de verdad a continuación), entonces se ha demostrado que mi afirmación es falsa. ¿Por qué? Porque estoy afirmando que cada vez que llueve, el suelo está mojado. Pero si está lloviendo pero el suelo no está mojado, entonces este escenario es un contraejemplo a mi afirmación, demuestra que mi afirmación es falsa. Ahora considera el escenario en el que no está lloviendo sino que el suelo está mojado. ¿Este escenario demostraría que mi declaración condicional es falsa? No, no lo haría. la razón es que la declaración condicional R G sólo está afirmando algo sobre lo que sucede cuando está lloviendo. Entonces esta afirmación condicional no está afirmando nada sobre esos escenarios en los que no está lloviendo. Sólo digo que cuando llueve, el suelo está mojado. Pero eso no quiere decir que el suelo no pudiera estar mojado por otras razones (por ejemplo, un aspersor que riega la hierba). Por lo que el significado del condicional material debe contar una afirmación verdadera siempre que su antecedente sea falso. Así, en un escenario en el que no está lloviendo ni el suelo está mojado (es decir, la cuarta línea de la tabla de la verdad), la declaración condicional debería seguir siendo cierta. ¿El hecho de un día soleado y suelo seco demostraría que la R G condicional es falsa? ¡Por supuesto que no! Así, como hemos visto, el condicional material es falso sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

    R G R G
    T T T
    T F F
    F T T
    F F T

    A veces es útil pensar en el condicional material como regla. Por ejemplo, supongamos que le digo a mi clase:

    Si apruebas todos los exámenes, pasarás el curso.

    Simbolizemos “pasas todos los exámenes” como “E” y “apruebas el curso” como “C” Entonces simbolizaríamos lo condicional como:

    E C

    ¿En qué condiciones se demostraría que mi declaración E C es falsa? Hay cuatro escenarios posibles:

    E C E C
    T T T
    T F F
    F T T
    F F T

    Supongamos que pasas todos los exámenes y superas la clase (primera fila). Eso confirmaría mi declaración condicional E C. Supongamos, por otra parte, que aunque superaste todos los exámenes, no superaste la clase (segunda fila). Esto sería en caso de que mi declaración sea falsa (¡y tendrías motivos legítimos de queja!). ¿Qué tal si no apruebas todos los exámenes y aún así apruebas el curso (tercera fila)? Mi afirmación permite que esto sea cierto y es importante ver por qué. Cuando afirmo E C no estoy afirmando nada sobre la situación en la
    que E es falsa. Simplemente estoy diciendo que una forma de aprobar el curso es pasando todos los exámenes; pero eso no significa que no haya otras formas de aprobar el curso. Por último, considera el caso en el que no superas todos los exámenes y tampoco superas el curso (cuarta fila). Por la misma razón, este escenario es compatible con mi afirmación siendo cierta. Así, nuevamente, vemos que un condicional material es falso en una sola circunstancia: cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

    Hay otras frases en inglés que se utilizan comúnmente para expresar declaraciones condicionales. Aquí hay algunas formas equivalentes de expresar el condicional, “si está lloviendo entonces el suelo está mojado”:

    Está lloviendo solo si el suelo está mojado

    El suelo está mojado si está lloviendo

    Solo si el suelo está mojado está lloviendo

    Que esté lloviendo implica que el suelo está mojado

    Que esté lloviendo implica que el suelo esté mojado

    Mientras llueva, el suelo estará mojado

    Mientras llueva, el suelo estará mojado

    El suelo está húmedo, siempre que esté lloviendo

    Siempre que llueve, el suelo está mojado

    Si está lloviendo, el suelo está mojado

    Todas estas declaraciones condicionales se simbolizan de la misma manera, es decir, R G. El antecedente de una declaración condicional siempre establece lo que los lógicos llaman una condición suficiente. Una condición suficiente es una condición que basta para que alguna otra condición obtenga. Decir que x es una condición suficiente para y es decir que cualquier vez que x esté presente, y estará con ello presente. Por ejemplo, se está decapitando una condición suficiente para morir; una condición suficiente para ser ciudadano estadounidense es nacer en Estados Unidos Lo consecuente de una declaración condicional siempre establece una condición necesaria. Una condición necesaria es una condición que debe estar presente para que alguna otra condición pueda obtener. Decir que x es una condición necesaria para y es decir que si x no estuviera presente, y tampoco estaría presente. Por ejemplo, una condición necesaria para ser presidente de Estados Unidos es ser ciudadano estadounidense; una condición necesaria para tener un hermano es tener un hermano. Observe, sin embargo, que ser ciudadano estadounidense no es una condición suficiente para ser presidente, y tener un hermano no es una condición suficiente para tener un hermano. De igual manera, nacer en Estados Unidos no es una condición necesaria para ser ciudadano estadounidense (la gente puede convertirse en “ciudadanos naturalizados”), y ser decapitado no es una condición necesaria para morir (uno puede morir sin ser decapitado).

    Ejercicio

    Traduce las siguientes frases en inglés en oraciones lógicas simbólicas usando las constantes indicadas. Asegúrate de escribir cuáles son las proposiciones atómicas. En algunos casos esto será sencillo, pero no en todos los casos. Recuerda: las proposiciones atómicas nunca contienen ninguna conexión funcional de verdad, ¡y eso incluye la negación! Nota: aunque muchas de estas frases pueden traducirse utilizando únicamente la herradura, otras requieren de la verdad conectivos funcionales distintos a la herradura.

    1. Los Tigres ganarán sólo si los indios pierden a su lanzador estrella. (T, I)
    2. Tom pasará la clase siempre que haga toda la tarea. (P, H)
    3. El auto funcionará sólo si tiene gasolina. (R, G)
    4. El hecho de que me estés preguntando por tu calificación implica que te preocupas por tu nota. (A, C)
    5. A pesar de que Frog nadará sin traje de baño, Toad nadará solo si lleva traje de baño. (F, T, B)
    6. Si Obama no es ciudadano estadounidense, entonces yo soy el tío de un mono. (O, M)
    7. Si Toad usa su traje de baño, no quiere que Frog lo vea en él. (T, F)
    8. Si Tom no pasa el examen, entonces es o estúpido o vago. (P, S, L)
    9. Bekele ganará la carrera siempre y cuando se mantenga sano. (W, H)
    10. Si Bekele está enfermo o lesionado, no ganará la carrera. (S, I, W)
    11. Bob se convertirá en presidente sólo si dirige una buena campaña y no dice nada estúpido. (P, C, S)
    12. Si esa planta tiene tres hojas entonces es venenosa. (T, P)
    13. El hecho de que la planta sea venenosa implica que tiene tres hojas. (T, P)
    14. La planta es venenosa sólo si tiene tres hojas. (T, P)
    15. La planta tiene tres hojas si es venenosa. (T, P)
    16. Olga nadará en aguas abiertas siempre y cuando haya presente una red de tiburones. (O, N)
    17. Olga nadará en aguas abiertas sólo si hay red de tiburones. (O, N)
    18. El hecho de que Olga esté nadando implica que lleva traje de baño. (O, B)
    19. Si Olga está en Niza, no usa traje de baño. (N, B)
    20. Si Terrence tira del dedo de Philip, algo malo va a pasar. (T, B)


    2 En realidad, hay una verdad más conectivo funcional que no vamos a estar aprendiendo y eso es lo que se llama la “bicondicional” o “equivalencia material”. No obstante, dado que el bicondicional equivale a una conjunción de dos condicionales diferentes, en realidad no lo necesitamos. Aunque discutiré la equivalencia material en la sección 2.9, no la usaremos regularmente.


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