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3.5: Probabilidad

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    101207
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    Como hemos visto, un fuerte argumento inductivo es aquel en el que la verdad de las premisas hace que la conclusión sea muy probable. La distinción entre argumentos inductivos fuertes y argumentos válidos (deductivos) es que mientras que las premisas de argumentos inductivos fuertes hacen que sus conclusiones sean muy probables, las premisas de los argumentos válidos hacen que sus conclusiones sean ciertas. Podemos pensar en la probabilidad como cuán probable es que algo sea (o va a ser) cierto, dado un cuerpo particular de pruebas. Usando números entre 0 y 1, podemos expresar probabilidades numéricamente. Por ejemplo, si tengo una baraja llena de cartas y elijo una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la carta que elija sea una reina? Dado que hay 52 cartas en la baraja, y sólo cuatro de ellas son reinas, la probabilidad de escoger una reina es 4/52, o .077. Es decir, tengo alrededor de un 7.7% de posibilidades de escoger una reina al azar. En comparación, mis posibilidades de escoger cualquier carta “cara” serían mucho mayores. Hay tres cartas de cara en cada palo y cuatro palos diferentes, lo que significa que hay 12 cartas en total. Entonces, 12/52 = .23 o 23%. En cualquier caso, lo importante aquí es que las probabilidades se puedan expresar numéricamente. Al usar un esquema numérico para representar probabilidades, tomamos 0 para representar un evento imposible (como una contradicción) y 1 para representar un evento que es cierto (como una tautología).

    La probabilidad es importante de entender porque proporciona la base para métodos formales de evaluación de argumentos inductivos. Si bien no existe un método universalmente acordado para evaluar los argumentos inductivos en la forma que hay con los argumentos deductivos, existen algunas leyes básicas de probabilidad que es importante tener en cuenta. Como veremos en las próximas secciones, aunque estas leyes de probabilidad son aparentemente simples, las aplicamos mal todo el tiempo.

    Podemos pensar en las reglas de probabilidad en términos de algunos de los operadores funcionales de la verdad, introducidas en el capítulo 2: la probabilidad de conjunciones, la probabilidad de negaciones y la probabilidad de disyunciones. La probabilidad de conjunciones es la probabilidad de que dos eventos independientes ocurran ambos. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que dibujes aleatoriamente una reina y luego (después de devolverla a la pila y reorganizar la baraja) dibujes otra reina? Ya que nos estamos preguntando cuál es la probabilidad de que estos dos eventos ocurran ambos, se trata de calcular la probabilidad de una ocurrencia conjunta. En lo siguiente, “a” y “b” se referirán a eventos independientes, y la locución “P (a)” significa “la probabilidad de a”. Así es como calculamos la probabilidad de conjunciones:

    P (a y b) = P (a) × P (b)

    Entonces, para aplicar esto a mi ejemplo de dibujar dos reinas, tenemos que multiplicar la probabilidad de dibujar una reina, “P (a)” por la probabilidad de dibujar otra reina, “P (b)”. Como ya calculamos la probabilidad de dibujar una reina en .077, la matemática es bastante simple:

    .077 × .077 = .0059

    Es decir, hay menos de 1% de probabilidad (.59% para ser precisos) de dibujar dos reinas en este escenario. Entonces, obviamente, ¡no sería prudente hacer una apuesta a que eso suceda! Probemos otro ejemplo donde tenemos que calcular la probabilidad de una conjunción. Supongamos que quiero saber cuál es la probabilidad de que tanto mi padre como mi madre mueran de cáncer cerebral. (Macabro, lo sé.) Tendría que saber la probabilidad de morir de cáncer cerebral, que es alrededor de 5/100,000. Es decir, 5 de cada 100 mil personas mueren de cáncer cerebral. Ese es un número muy pequeño: .00005. Pero la probabilidad de que ambos mueran de cáncer cerebral va a ser un número aún menor:

    .00005 × .00005 = .0000000025

    Eso es casi 1 en mil millones de posibilidades. Así que no es muy probable. Consideremos un ejemplo final con números más manejables. Supongamos que quería saber la probabilidad de rodar un 12 al rodar dados de dos, seis caras. Dado que la única forma de rodar un 12 es cuando rollo un 6 en cada dado, puedo calcular la probabilidad de rodar un 6 y luego la probabilidad independiente de rodar otro 6 en el otro dado. La probabilidad de rodar un seis sobre 1 dado es apenas 1/6 = .166. Así, .166 × .166 = .028 Así, tienes un 2.8% de posibilidades de rodar un 12. También podríamos haber calculado esto usando fracciones en lugar de decimales:

    1/6 × 1/6 = 1/36

    Calcular la probabilidad de negaciones es simplemente una cuestión de restar la probabilidad de que algún evento, digamos el evento a, ocurra de 1. El resultado es la probabilidad de que el evento a no ocurra:

    P (no-a) = 1 — P (a)

    Por ejemplo, supongamos que estoy jugando al monopolio quería determinar la probabilidad de que no ruede un 12 (ya que si rollo un 12 aterrizaré en Boardwalk, que mi oponente posee con hoteles). Como ya hemos determinado que la probabilidad de rodar un 12 es .028, podemos calcular la probabilidad de no rodar un 12 así:

    1 — .028 = .972

    Así, tengo 97.2% de posibilidades de no rodar un 12. Entonces es muy probable que no lo haga (gracias a Dios).

    Aquí hay otro ejemplo. ¿Cuáles son las posibilidades de que mi hija no entre en Harvard? Dado que la tasa de aceptación en Harvard es de aproximadamente 6% (o .06), simplemente me resta eso de 1, lo que rinde .94, o 94%. Entonces mi hija tiene un 94% de posibilidades de no entrar en Harvard.

    Deberíamos hacer una pausa aquí para hacer algunos comentarios sobre la probabilidad. La probabilidad de que ocurra un evento es relativa a alguna clase de referencia. Entonces, por ejemplo, la probabilidad de contraer osteoporosis es mucho mayor si eres mujer mayor de 50 (16%) que si eres hombre mayor de 50 (4%). Entonces, si quieres datos precisos respecto a la probabilidad, tienes que tener en cuenta todos los factores relevantes. En el caso de la osteoporosis, eso significa saber si eres mujer o hombre y tienes más o menos de 50 años. El mismo tipo de punto se aplica a mi ejemplo de entrar en Harvard. Aquí hay una anécdota que ilustrará el punto. Hace algunos años, acepté ser parte de un proceso de entrevistas para los candidatos a la “beca presidencial” en el colegio en el que estaba dando clases en ese momento. Los entrevistados eran estudiantes de secundaria y podríamos haber calculado la probabilidad de que alguno de ellos ganara la beca simplemente anotando el número de becas disponibles y el número de aspirantes a ellas. Pero después de haber entrevistado a los candidatos que me dieron para entrevistar, me quedó muy claro que uno de ellos eclió fácilmente al resto. Por lo tanto, dada la nueva información que tenía, hubiera sido una tontería para mí asignar la misma probabilidad genérica a este estudiante ganador del premio. Este estudiante fue extremadamente bien hablado, bien arreglado, y respondió incluso a mis preguntas más difíciles (con las que otros candidatos lucharon) con una facilidad y confianza que me sorprendió. Además de todo eso, era una mujer hispana, lo que sabía que sólo la ayudaría en el proceso (ya que las universidades valoran la diversidad en su población estudiantil). La recomendé mucho para la beca, pero también sabía que terminaría en una institución mucho mejor (y probablemente con una de sus becas más competitivas). Algún tiempo después, me preguntaba dónde terminaba yendo a la universidad, así que hice una búsqueda rápida de su nombre y, efectivamente, era una estudiante de primer año en Harvard. No me sorprende. El punto de la historia es que aunque podríamos haber dicho que las posibilidades de esta mujer de no entrar en Harvard son de aproximadamente 94%, esto descuidaría todas las demás cosas de ella que de hecho aumentan drásticamente sus posibilidades de ingresar a Harvard (y así disminuir drásticamente sus posibilidades de no entrar). Por lo que nuestras evaluaciones de probabilidad son tan buenas como la información que utilizamos para evaluarlas. Si fuéramos omniscientes (es decir, omniscientes), entonces posiblemente podríamos conocer cada detalle y podríamos predecir con 100% de precisión cualquier evento. Como no lo somos, tenemos que confiar en la mejor información que tenemos y usar esa información para determinar las posibilidades de que ocurra un evento.

    Calcular la probabilidad de disyunciones es simplemente una cuestión de averiguar la probabilidad de que ocurra un evento u otro. Para calcular la probabilidad de una disyunción simplemente agregamos la probabilidad de los dos eventos juntos:

    P (a o b) = P (a) + P (b)

    Por ejemplo, supongamos que quería calcular la probabilidad de dibujar aleatoriamente de una baraja barajada ya sea una pala o un palo. Dado que hay cuatro palos (espadas, palos, diamantes, corazones) cada uno con igual número de cartas, la probabilidad de sacar una pala es 1⁄4 o .25. De igual manera la probabilidad de dibujar un club es de .25. Así, la probabilidad de dibujar ya sea una pala o un palo es:

    .25 + .25 = .50

    Entonces tienes un 50% de posibilidades de dibujar ya sea una pala o un palo. A veces los eventos no son independientes. Por ejemplo, supongamos que querías saber la probabilidad de sacar 5 palos de la baraja (que en el poker se llama “flush”). Esta vez te estás aferrando a las cartas después de robarlas en lugar de reemplazarlas de nuevo en la baraja. La probabilidad de sacar el primer club es simplemente 13/52 (o 1⁄4). No obstante, cada uno de los cuatro sorteos restantes se verá afectado por los sorteos anteriores. Si uno fuera a sacar con éxito todos los clubes entonces después del primer sorteo, solo quedarían 51 tarjetas, 12 de las cuales eran clubes; después del segundo sorteo, solo quedarían 50 tarjetas, 11 de las cuales eran clubes, y así sucesivamente, así:

    13/52 × 12/51 × 11/50 × 10/49 × 9/48 = 33/66,640

    Como puedes ver, hemos tenido que determinar la probabilidad de una conjunción, ya que queremos que la tarjeta 1 y la tarjeta 2 y la tarjeta 3 etc. sean todos clubes. Esa es una conjunción de diferentes eventos. Como también puede ver, la probabilidad de dibujar tal mano es extremadamente baja, alrededor de .0005 o .05%. Una descarga es de hecho una mano rara. Pero supongamos que quisiéramos saber, no las posibilidades de dibujar un rubor en un traje específico, sino solo las posibilidades de dibujar un rubor en cualquier traje. En ese caso, tendríamos que calcular la probabilidad de una disyunción de dibujar ya sea un rubor en palos o un rubor en espadas o un rubor en diamantes o un rubor en corazones. Recordemos que para poder calcular una disyunción debemos sumar las probabilidades:

    .0005 + .0005 + .0005 + .0005 = .002

    Por lo que la probabilidad de dibujar un rubor en cualquier palo sigue siendo de sólo aproximadamente .2% o una quinta parte del uno por ciento, es decir, muy baja.

    Examinemos otro ejemplo antes de cerrar esta sección sobre probabilidad. Supongamos que queremos saber las posibilidades de voltear al menos 1 cabeza en 6 volteretas de una moneda justa. Podrías razonar de la siguiente manera: Hay un 50% de probabilidad de que vuelque cabezas en el primer flip, un 50% de probabilidad en el segundo, etc. ya que quiero saber la posibilidad de voltear al menos una cabeza, entonces tal vez debería simplemente calcular la probabilidad de la disyunción así:

    .5 + .5 + .5 + .5 + .5 + .5 = 3 (o 300%)

    Sin embargo, esto no puede ser correcto, porque la probabilidad de cualquier evento está entre 1 y 0 (incluyendo 0 y 1 para eventos que son imposibles y absolutamente ciertos). No obstante, esta forma de calcular la probabilidad nos deja con un evento que es tres veces más que cierto. Y nada es más que 100% seguro— 100% de certeza es el límite. Entonces algo está mal con el cálculo. Otra forma de ver que algo debe estar mal con el cálculo es que no es imposible que voltee 6 colas seguidas (y así no hay cabezas). Dado que esa es una posibilidad real (por muy improbable que sea), no puede estar 100% seguro de que le dé la vuelta al menos a una cabeza. Aquí está la manera de pensar sobre este problema. ¿Cuál es la probabilidad de que voltee todas las colas? Esa es simplemente la probabilidad de la conjunción de 6 eventos, cada uno de los cuales tiene la probabilidad de .5 (o 50%):

    .5 × .5 × .5 × .5 × .5 × .5 = .015 (o 1.5%)

    Entonces simplemente usamos la regla para calcular la probabilidad de una negación, ya que queremos saber las posibilidades de que no volteemos 6 colas seguidas (es decir, volteamos al menos una cabeza):

    1 — .015 = .985

    Por lo que la probabilidad de voltear al menos una cabeza en 6 volteos de la moneda es de 98.5%. (Sería exactamente la misma probabilidad de voltear al menos una cola en 6 volteos.)

    Ejercicio

    Utilice las tres reglas diferentes de cálculo de probabilidades (conjunciones, negaciones, disyunciones) para calcular las siguientes probabilidades, todas ellas relacionadas con dados justos de seis lados.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de rodar un cinco en un tiro un dado?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de no rodar un cinco a un tiro de un dado?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de rodar un cinco en tu primer lanzamiento y otros cinco en el segundo tiro de ese dado?
    4. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de que ambos dados salgan dos?
    5. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de que uno u otro (o ambos) de los dados salga un dos?
    6. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de que a lo sumo uno de los dados salga un dos?
    7. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de que al menos uno de los dados suba un cuatro?
    8. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de que no haya cuatro patas?
    9. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de rodar cinco dobles?
    10. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de rodar dobles (de cualquier número)?


    This page titled 3.5: Probabilidad is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Matthew Van Cleave.