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Sección 5: Ejercicios de práctica

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Si quieres práctica adicional, puedes construir tablas de verdad para cualquiera de las oraciones y argumentos en los ejercicios del capítulo anterior.

    *Parte A Determinar si cada oración es una tautología, una contradicción o una oración contingente. Justifica tu respuesta con una tabla de verdad completa o parcial en su caso.

    1. \(A\)\(A\)
    2. ¬\(B\) y\(B\)
    3. \(C\)→¬\(C\)
    4. ¬\(D\)\(D\)
    5. (\(A\)\(B\)) ↔ ¬ (\(A\)↔ ¬\(B\))
    6. (\(A\)&\(B\)) (\(B\)&\(A\))
    7. (\(A\)\(B\)) (\(B\)\(A\))
    8. ¬ [\(A\)→ (\(B\)\(A\))]
    9. (\(A\)&\(B\)) → (\(B\)\(A\))
    10. \(A\)↔ [\(A\)→ (\(B\)\(B\))]
    11. ¬ (\(A\)\(B\)) ↔ (¬\(A\)\(B\)
    12. ¬ (\(A\)&\(B\)) ↔\(A\)
    13. [(\(A\)&\(B\)) &¬ (\(A\)&\(B\))] y\(C\)
    14. \(A\)→ (\(B\)\(C\)
    15. [(\(A\)&\(B\)) &\(C\)] →\(B\)
    16. (\(A\)\(A\)) → (\(B\)\(C\))
    17. ¬ [(\(C\)\(A\))\(B\)]
    18. (\(B\)&D) ↔ [\(A\)↔ (\(A\)\(C\))]

    * Parte B Determinar si cada par de oraciones es lógicamente equivalente. Justifica tu respuesta con una tabla de verdad completa o parcial en su caso.

    1. \(A\), ¬\(A\)
    2. \(A\),\(A\)\(A\)
    3. \(A\)\(A\),\(A\)\(A\)
    4. \(A\)¬\(B\),\(A\)\(B\)
    5. \(A\)\(A\), ¬\(B\)\(B\)
    6. ¬ (\(A\)&\(B\)),\(A\) ¬ ¬\(B\)
    7. ¬ (\(A\)\(B\)), ¬\(A\) →¬\(B\)
    8. (\(A\)\(B\)), (¬\(B\) →¬\(A\))
    9. [(\(A\)\(B\))\(C\)], [\(A\)(\(B\)\(C\))]
    10. [(\(A\)\(B\)) &\(C\)], [\(A\)(\(B\)&\(C\))]

    * Parte C Determinar si cada conjunto de oraciones es consistente o inconsistente. Justifica tu respuesta con una tabla de verdad completa o parcial en su caso.

    1. \(A\)\(A\), ¬\(A\) →¬\(A\),\(A\) &\(A\),\(A\)\(A\)
    2. \(A\)&\(B\),\(C\) →¬\(B\),\(C\)
    3. \(A\)\(B\),\(A\)\(C\),\(B\)\(C\)
    4. \(A\)\(B\),\(B\)\(C\)\(A\), ¬\(C\)
    5. \(B\)& (\(C\)\(A\)),\(A\)\(B\), ¬ (\(B\)\(C\))
    6. \(A\)\(B\),\(B\)\(C\),\(C\) →¬\(A\)
    7. \(A\)↔ (\(B\)\(C\)),\(C\) →¬\(A\),\(A\) →¬\(B\)
    8. \(A\),\(B\), ¬\(C\), ¬\(D\), ¬\(E\),\(F\)

    * Parte D Determina si cada argumento es válido o no válido. Justifica tu respuesta con una tabla de verdad completa o parcial en su caso.

    1. \(A\)\(A\),.. \(A\)
    2. \(A\)[\(A\)→ (\(A\)\(A\))],.. \(A\)
    3. \(A\)→ (\(A\)\(A\)),.. ¬\(A\)
    4. \(A\)↔ ¬ (\(B\)\(A\)),.. \(A\)
    5. \(A\)(\(B\)\(A\)),.. ¬\(A\) →¬\(B\)
    6. \(A\)\(B\)\(B\),,.. \(A\)
    7. \(A\)\(B\),\(B\)\(C\), ¬\(A\),.. \(B\)&\(C\)
    8. \(A\)\(B\),\(B\)\(C\), ¬\(B\),.. \(A\)Y\(C\)
    9. (\(B\)&\(A\)) →\(C\), (\(C\)&\(A\)) →\(B\),.. (\(C\)&\(B\)) →\(A\)
    10. \(A\)\(B\),\(B\)\(C\),.. \(A\)\(C\)

    * Parte E Responde cada una de las preguntas a continuación y justifique su respuesta.

    1. Supongamos que\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) son lógicamente equivalentes. ¿Qué puedes decir sobre\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\)?
    2. Supongamos que (\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\)) →\(\mathcal{C}\) es contingente. ¿Qué se puede decir sobre el argumento “\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\),,..
    3. Supongamos que {\(\mathcal{A}\),\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{C}\)} es inconsistente. ¿Qué puedes decir sobre (\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\) &\(\mathcal{C}\))?
    4. Supongamos que eso\(\mathcal{A}\) es una contradicción. ¿Qué se puede decir sobre el argumento “\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\),,.. \(\mathcal{C}\)”?
    5. Supongamos que\(\mathcal{C}\) es una tautología. ¿Qué se puede decir sobre el argumento “\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\),,.. \(\mathcal{C}\)”?
    6. Supongamos que\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) son lógicamente equivalentes. ¿Qué se puede decir de (\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\))?
    7. Supongamos que\(\mathcal{A}\) y no\(\mathcal{B}\) son lógicamente equivalentes. ¿Qué se puede decir de (\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\))?

    Parte F Podríamos dejar lo bicondicional (↔) fuera del idioma. Si lo hiciéramos, aún podríamos escribir '\(A\)\(B\)' para que las oraciones sean más fáciles de leer, pero eso sería la taquigrafía de (\(A\)\(B\)) & (\(B\)\(A\)). El lenguaje resultante sería formalmente equivalente a SL, ya que\(A\)\(B\) y (\(A\)\(B\)) & (\(B\)\(A\)) son lógicamente equivalentes en SL. Si valoramos la simplicidad formal sobre la riqueza expresiva, podríamos reemplazar más de los conectivos por convenciones notacionales y aún así tener un lenguaje equivalente a SL.

    Hay una serie de idiomas equivalentes con sólo dos conectivos. Bastaría con tener sólo la negación y el condicional material. Muéstrale esto escribiendo oraciones que sean lógicamente equivalentes a cada una de las siguientes usando solo paréntesis, letras de oración, negación (¬) y el condicional material (→).

    *1. \(A\)\(B\)
    *2. \(A\)&\(B\)
    *3. \(A\)\(B\)

    Podríamos tener un lenguaje que sea equivalente a SL con solo negación y disyunción como conectivos. Mostrar esto: Usando solo paréntesis, letras de oración, negación (¬) y disyunción (ʼ), escribir oraciones que sean lógicamente equivalentes a cada una de las siguientes.

    4. \(A\)&\(B\)
    5. \(A\)\(B\)
    6. \(A\)\(B\)

    El trazo de Sheer es un conectivo lógico con la siguiente característica veraz:

    \(\mathcal{A}\) \(\mathcal{B}\) \(\mathcal{A}\)|\(\mathcal{B}\)

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    7. Escribir una oración usando los conectivos de SL que sea lógicamente equivalente a (\(A\)|\(B\)).

    Cada oración escrita usando un conectivo de SL puede ser reescrita como una oración lógicamente equivalente usando uno o más trazos de Sheer. Usando solo el trazo Sheer, escribe oraciones que sean equivalentes a cada una de las siguientes.

    8. ¬\(A\)
    9. (\(A\)&\(B\)
    10. (\(A\)\(B\))
    11. (\(A\)\(B\))
    12. (\(A\)\(B\))


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