Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

Sección 1: Semántica para SL

  • Page ID
    101688
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Esta sección proporciona una caracterización rigurosa y formal de la verdad en la\(SL\) que se basa en lo que ya sabemos de hacer tablas de verdad. Pudimos usar tablas de verdad para probar de manera confiable si una oración era una tautología en\(SL\), si dos oraciones eran equivalentes, si un argumento era válido, y así sucesivamente. Por ejemplo:\(\mathcal{A}\) es una tautología en\(SL\) si está\(T\) en cada línea de una tabla de verdad completa.

    Esto funcionó porque cada línea de una tabla de verdad corresponde a una forma en que podría ser el mundo. Consideramos todas las combinaciones posibles de 1 y 0 para las letras de oración que hacían una diferencia a las oraciones que nos importaban. La tabla de la verdad nos permitió determinar qué pasaría dadas estas diferentes combinaciones.

    Una vez que construimos una tabla de verdad, los símbolos '1' y '0' se divorcian de su significado metalingüístico de 'verdadero' y 'falso'. Interpretamos '1' como 'verdadero', pero las propiedades formales de 1 son definidas por las tablas de verdad características para los diversos conectivos. Los símbolos de una tabla de verdad tienen un significado formal que podemos especificarlo completamente en términos de cómo operan los conectivos. Por ejemplo, si\(A\) es valor 1, entonces\(\neg A\) es valor 0.

    En resumen: La verdad en\(SL\) lo justo es la asignación de un 1 o un 0.

    Para definir formalmente la verdad en\(SL\), entonces, queremos una función que asigne un 1 o 0 a cada una de las\ frases de\(SL\). Podemos interpretar esta función como una definición de la verdad porque\(SL\) si asigna 1 a todas las oraciones verdaderas de\(SL\) y 0 a todas las frases falsas de\(SL\). Llamar a esta función '\(v\)' (para 'valuación'). Queremos\(v\) ser una función tal que para cualquier oración\(\mathcal{A}\),\(v(\mathcal{A}) = 1\) si\(\mathcal{A}\) es verdadera y\(v(\mathcal{A}) = 0\) si\(\mathcal{A}\) es falsa.

    Recordemos que la definición recursiva de un wfor\(SL\) tuvo dos etapas: El primer paso decía que las oraciones atómicas (letras de oraciones solitarias) son ws. La segunda etapa permitió que se construyeran a partir de ws más básicos. Había cláusulas de la definición para todos los conectivos sentenciales. Por ejemplo, si\(\mathcal{A}\) es un w, entonces\(\neg \mathcal{A}\) es un w.

    Nuestra estrategia para definir la función de verdad,\(v\), también será en dos pasos. El primer paso manejará la verdad para las oraciones atómicas; el segundo paso manejará la verdad para las oraciones compuestas.

    La verdad en\(SL\)

    ¿Cómo podemos definir la verdad para una sentencia atómica de\(SL\)? Consideremos, por ejemplo, la frase\(M\). Sin una interpretación, no podemos decir si\(M\) es verdadera o falsa. Podría significar cualquier cosa. Si usamos\(M\) para simbolizar 'La luna orbita la Tierra', entonces\(M\) es cierto. Si usamos\(M\) para simbolizar 'La luna es un giro gigante', entonces\(M\) es falso.

    Además, la forma en que descubrirías si\(M\) es verdad o no depende de lo que\(M\) signifique. Si\(M\) significa 'Es lunes, 'entonces tendrías que revisar un calendario. Si\(M\) significa 'La luna de Júpiter Io tiene una actividad volcánica significativa', entonces tendrías que revisar un texto de astronomía, y los astrónomos lo saben porque enviaron satélites para observar Io.

    Cuando damos una clave de simbolización para\(SL\), proporcionamos una interpretación de las letras de oración que utilizamos. La clave da una oración en idioma inglés por cada letra de oración que usamos. De esta manera, la interpretación especifica lo que significa cada una de las letras de la oración. No obstante, esto no es suficiente para determinar si esa frase es cierta o no. Las frases sobre la luna, por ejemplo, requieren que conozcas alguna astronomía rudimentaria. Imagínese a un niño pequeño que se convenció de que la luna es un nabo gigante. Podía entender lo que significa la frase 'La luna es un giro gigante', pero erróneamente piensa que era verdad.

    Considera otro ejemplo: Si\(M\) significa 'Es de mañana ahora', entonces si es cierto o no depende de cuándo estés leyendo esto. Sé lo que significa la oración, pero —ya que no sé cuándo vas a estar leyendo esto— no sé si es verdad o falsa.

    Entonces una interpretación por sí sola no determina si una oración es verdadera o falsa. La verdad o la falsedad depende también de cómo sea el mundo. Si\(M\) significaba 'La luna es un nabo gigante' y la luna real fuera un nabo gigante, entonces\(M\) sería cierto. Para poner el punto de manera general, la verdad o la falsedad está determinada por una interpretación más una forma en que es el mundo.

    INTERPRETACIÓN + ESTADO DEL MUNDO\(\implies\) VERDAD/FALSIDAD

    Al proporcionar una definición lógica de la verdad, no podremos dar cuenta de cómo una oración atómica es hecha verdadera o falsa por el mundo. En cambio, vamos a introducir una asignación de valor de verdad. Formalmente, esta será una función que nos diga el valor de verdad de todas las oraciones atómicas. Llamar a esta función\(a\) '' (para 'asignación'). Define a para todas las letras de oración\(\mathcal{P}\), tal que

    \( a ( \mathcal { P } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } \mathcal { P } \text { is true } } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

    Esto significa que a toma cualquier oración de\(SL\) y le asigna ya sea un uno o un cero; uno si la oración es verdadera, cero si la oración es falsa. Los detalles de la función\(a\) están determinados por el significado de las letras de la oración junto con el estado del mundo. Si\(D\) significa 'Está oscuro por fuera', entonces\(a\) (\(D\)) = 1 por la noche o durante una tormenta fuerte, mientras que\(a\) (\(D\)) = 0 en un día despejado.

    Se puede pensar en ser\(a\) como una fila de una tabla de la verdad. Mientras que una fila de tabla de verdad asigna un valor de verdad a algunas oraciones atómicas, la asignación de valor de verdad asigna un valor a cada oración atómica de\(SL\). Hay infinitamente muchas letras de oración, y la asignación de valor de verdad le da un valor a cada una de ellas. Al construir una tabla de verdad, solo nos importan las letras de oración que afectan el valor de verdad de las oraciones que nos interesan. Como tal, ignoramos al resto. Estrictamente hablando, cada fila de una tabla de verdad da una asignación parcial de valor de verdad.

    Es importante señalar que la asignación de valor de verdad\(a\),, no forma parte del lenguaje\(SL\). Más bien, es parte de la maquinaria matemática que estamos utilizando para describir\(SL\). Se codifica qué oraciones atómicas son verdaderas y cuáles son falsas. Ahora definimos la función de verdad, v, usando la misma estructura recursiva que usamos para definir un wff de\(SL\).

    1. Si\(\mathcal{A}\) es una letra de oración, entonces\(v\) (\(\mathcal{A}\)) =\(a\) (\(\mathcal{A}\)).

    2. Si\(\mathcal{A}\) es ¬\(\mathcal{B}\) para alguna frase\(\mathcal{A}\), entonces
    \( v ( \mathcal { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } v ( \mathcal { B } ) = 0 } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right .\)

    3. Si\(\mathcal{A}\) es (\(\mathcal{B}\)&\(\mathcal{C}\)) para algunas oraciones\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{C}\), entonces
    \( v ( \mathcal { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } v ( \mathcal { B } ) = 1 \text { and } v ( C ) = 1 } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right .\)

    Podría parecer como si esta definición fuera circular, porque usa la palabra 'y' para tratar de definir 'y'. Observe, sin embargo, que esto no es una definición de la palabra inglesa 'y'; es una definición de la verdad para oraciones de\(SL\) contener el símbolo lógico '&.' Define la verdad para frases de lenguaje objeto que contienen el símbolo '&' usando la palabra metalenguage 'y'. No hay nada circular en eso.

    4. Si\(\mathcal{A}\) es (\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{C}\)) para algunas frases\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{C}\), entonces
    \( v ( \mathcal { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \text { if } v ( \mathcal { B } ) = 0 \text { and } v ( \mathcal { C } ) = 0 } \\ { 1 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right .\)

    5. Si\(\mathcal{A}\) es (\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{C}\)) para algunas frases\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{C}\), entonces
    \( v ( \mathcal { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \text { if } v ( \mathcal { B } ) = 1 \text { and } v ( C ) = 0 } \\ { 1 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right .\)

    6. Si\(\mathcal{A}\) es (\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{C}\)) para algunas frases\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{C}\), entonces
    \( v ( \mathcal { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } v ( \mathcal { B } ) = v ( C ) } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right .\)

    Dado que la definición de\(v\) tiene la misma estructura que la definición de un w, sabemos que\(v\) asigna un valor a cada w de\(SL\). Dado que las oraciones de\(SL\) y las ws de\(SL\) son las mismas, esto significa que\(v\) devuelve el valor de verdad de cada oración de\(SL\).

    La verdad en siempre\(SL\) es verdad relativa a alguna asignación de valor de verdad, porque la definición de la verdad para\(SL\) no dice si una oración dada es verdadera o falsa. Más bien, dice cómo la verdad de esa sentencia se relaciona con una asignación de valor de verdad.

    Otros conceptos en\(SL\)

    Trabajando con hasta ahora,\(SL\) lo hemos hecho sin una precisa definición de 'tautología', 'contradicción', y así sucesivamente. Las tablas de la verdad proporcionaban una manera de verificar i si una oración era una tautología en\(SL\), pero no definieron lo que significa ser una tautología en\(SL\). Daremos definiciones de estos conceptos para\(SL\) en términos de vinculación.

    La relación de vinculación semántica, '\(\mathcal{A}\)implica\(\mathcal{B}\)', significa que no hay una asignación de valor de verdad para la cual\(\mathcal{A}\) sea verdadera y\(\mathcal{B}\) sea falsa. Dicho de manera diferente, significa que\(\mathcal{B}\) es cierto para todas y cada una de las asignaciones de valor de verdad para las cuales\(\mathcal{A}\) es verdad.

    Abreviamos esto con un símbolo llamado torniquete doble:\(\mathcal{A}\) |=\(\mathcal{B}\) significa 'implica\(\mathcal{A}\) semánticamente'\(\mathcal{B}\).

    Podemos hablar de vinculación entre más de dos frases:

    {\(\mathcal{A}\)1,\(\mathcal{A}\) 2,\(\mathcal{A}\) 3, ···} |=\(\mathcal{B}\)

    significa que no hay asignación de valor de verdad para la cual todas las oraciones del conjunto {\(\mathcal{A}\)1,\(\mathcal{A}\) 2,\(\mathcal{A}\) 3, ···} son verdaderas y\(\mathcal{B}\) falsas.

    También podemos usar el símbolo con una sola frase: |=\(\mathcal{C}\) significa que\(\mathcal{C}\) es cierto para todas las asignaciones de valores de verdad. Esto equivale a decir que la sentencia está implicada por cualquier cosa.

    El símbolo de torniquete doble nos permite dar definiciones concisas para diversos conceptos de\(SL\):

    Una tautología en\(SL\) es una oración\(\mathcal{A}\) tal que |=\(\mathcal{A}\).
    Una contradicción en\(SL\) es una frase\(\mathcal{A}\) tal que |= ¬\(\mathcal{A}\).
    Una sentencia es contingente en\(SL\) si y sólo si no es ni una tautología ni una contradicción.

    Un argumento “\(\mathcal{P}\)1,\(\mathcal{P}\) 2, ···,.. \(\mathcal{C}\)” es válido en\(SL\) si y solo si {\(\mathcal{P}\)1,\(\mathcal{P}\) 2, ···} |=\(\mathcal{C}\). Dos oraciones\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) son lógicamente equivalentes en\(SL\) si y solo si tanto\(\mathcal{A}\) |=\(\mathcal{B}\) como\(\mathcal{B}\) |=\(\mathcal{A}\).

    La consistencia lógica es algo más difícil de definir en términos de vinculación semántica. En cambio, lo definiremos de esta manera:

    El conjunto {\(\mathcal{A}\)1,\(\mathcal{A}\) 2,\(\mathcal{A}\) 3, ···} es consistente en\(SL\) si y sólo si hay al menos una asignación de valor de verdad para la cual todas las oraciones son verdaderas. El conjunto es inconsistente en\(SL\) si y si sólo no existe tal asignación.


    This page titled Sección 1: Semántica para SL is shared under a CC BY-SA license and was authored, remixed, and/or curated by P.D. Magnus (Fecundity) .