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Sección 3: Semántica para la identidad

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    La identidad es un predicado especial de QL. Lo escribimos un poco diferentemente que otros predicados de dos lugares:\(x\) =\(y\) en lugar de\(Ixy\). Tampoco necesitamos incluirlo en una clave de simbolización. La frase\(x\) =\(y\) siempre significa '\(x\)es idéntica a'\(y\), y no puede interpretarse como que signifique otra cosa. De la misma manera, cuando se construye un modelo, no se llega a escoger y elegir qué pares ordenados van a la extensión del predicado de identidad. Siempre contiene solo el par ordenado de cada objeto en la UD consigo mismo.

    La oración a\(xIxx\), que contiene un predicado ordinario de dos lugares, es contingente. Si es cierto para una interpretación depende de cómo interpretes\(I\), y si es cierto en un modelo depende de la extensión de\(I\).

    La frase [alpha\(x\)\(x\)] =\(x\) es una tautología. La extensión de la identidad siempre la hará realidad.

    Observe que aunque la identidad siempre tiene la misma interpretación, no siempre tiene la misma extensión. La extensión de la identidad depende de la UD. Si el UD en un modelo es el conjunto {Doug}, entonces la extensión (=) en ese modelo es {<Doug, Doug>}. Si el UD es el conjunto {Doug, Omar}, entonces la extensión (=) en ese modelo es {<Doug, Doug>, <Omar, Omar>}. Y así sucesivamente.

    Si el referente de dos constantes es el mismo, entonces cualquier cosa que sea verdadera de una es verdad de la otra. Por ejemplo, si referent (\(a\)) = referent (\(b\)), entonces\(Aa\)\(Ab\),\(Ba\)\(Bb\),\(Ca\)\(Cb\),\(Rca\)\(Rcb\), α\(xRxa\) ↔ α\(xRxb\), y así sucesivamente para dos frases cualesquiera que contengan\(a\) y\(b\). Sin embargo, lo contrario no es cierto.

    Es posible que cualquier cosa de lo que\(a\) es cierto también sea cierto\(b\), pero para\(a\) y\(b\) todavía tener referentes diferentes. Esto puede parecer desconcertante, pero es fácil construir un modelo que lo demuestre. Considera este modelo:

    UD = {Rosencrantz, Guildenstern}
    referente (\(a\)) = Rosencrantz
    referente (\(b\)) = Guildenstern
    para todos los predicados\(\mathcal{P}\), extension (\(\mathcal{P}\)) = ∅
    extensión (=) = {<Rosencrantz, Rosencrantz>,
    <Guildenstern, Guildenstern>}

    Esto especifica una extensión para cada predicado de QL: Todos los predicados indefinidamente muchos están vacíos. Esto quiere decir que ambos\(Aa\) y\(Ab\) son falsos, y son equivalentes; ambos\(Ba\) y\(Bb\) son falsos; y así sucesivamente para cualesquiera dos frases que contengan\(a\) y\(b\). Sin embargo\(a\) y\(b\) refiérase a cosas diferentes. Hemos escrito la extensión de la identidad para dejar esto claro: El par ordenado (\(a\)), referente (\(b\)) i no está en él. En este modelo,\(a\) =\(b\) es falso y\(a\)\(b\) es verdadero.


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