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Sección 5: La verdad en QL

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    Para SL, dividimos la definición de la verdad en dos partes: una asignación de valor de verdad (\(a\)) para letras de oración y una función de verdad (\(v\)) para todas las oraciones. La función de verdad cubría la forma en que las oraciones complejas podían construirse a partir de letras de oración y conectivos.

    De la misma manera que la verdad para SL es siempre verdad dada una asignación de valor de verdad, verdad para QL es verdad en un modo l La oración atómica más simple de QL consiste en un predicado de un solo lugar seguido de una constante, como\(Pj\). Es cierto en un modelo\(\mathbb{M}\) si y sólo si el referente de\(j\) está en la extensión de\(P\) in\(\mathbb{M}\).

    Podríamos continuar de esta manera para definir la verdad para todas las oraciones atómicas que contengan solo predicados y constantes: Considere cualquier oración de la forma\(\mathcal{RC}\) 1... \(\mathcal{c}\)n donde\(\mathcal{R}\) es un predicado n-lugar y las\(\mathcal{c}\) s son constantes. Es cierto en\(\mathbb{M}\) si y solo si hreferent (\(\mathcal{c}\)1),... , el referente (\(\mathcal{c}\)n) i está en extensión (\(\mathcal{R}\)) en\(\mathbb{M}\).

    Entonces podríamos definir la verdad para oraciones construidas con conectivos sentenciales de la misma manera que lo hicimos para SL. Por ejemplo, la oración (\(Pj\)\(Mda\)) es verdadera en\(\mathbb{M}\) si cualquiera\(Pj\) es falso en\(\mathbb{M}\) o\(Mda\) es verdadero en\(\mathbb{M}\).

    Desafortunadamente, este enfoque fracasará cuando consideremos oraciones que contengan cuantificadores. Considerar a [\(xPx\). ¿Cuándo es cierto en un modelo\(\mathbb{M}\)? La respuesta no puede depender de si\(Px\) es verdadera o falsa in\(\mathbb{M}\), porque el\(x\) in\(Px\) es una variable libre. \(Px\)no es una sentencia. No es ni verdadero ni falso.

    Pudimos dar una definición recursiva de la verdad para SL porque cada fórmula bien formada de SL tiene un valor de verdad. Esto no es cierto en QL, así que no podemos definir la verdad comenzando con la verdad de las oraciones atómicas y construyendo. También hay que considerar las fórmulas atómicas que no son oraciones. Para ello definiremos la satisfacción; toda fórmula bien formada de QL será satisficida o no satisficida, aunque no tenga un valor de verdad. Entonces podremos define la verdad para sentencias de QL en términos de satisfacción.

    Satisfacción

    La fórmula\(Px\) dice, aproximadamente, que\(x\) es una de las\(Ps\). Esto no puede ser del todo correcto, sin embargo, porque\(x\) es una variable y no una constante. No nombra a ningún miembro en particular de la UD. En cambio, su significado en una oración viene determinado por el cuantificador que la une. La variable\(x\) debe suplente por cada miembro de la UD en la oración\(xPx\) [a], pero solo necesita suplente para un miembro en\(xPx\). Como queremos que la definición de satisfacción cubra\(Px\) sin ningún cuantificador alguno, comenzaremos diciendo cómo interpretar una variable libre como la\(x\) in\(Px\).

    Esto lo hacemos introduciendo una asignación variable. Formalmente, esta es una función que empareja cada variable con un miembro de la UD. Llama a esta función '\(\a\).' (El '\(a\)' es para 'asignación', pero esto no es lo mismo que la asignación de valor de verdad que usamos para determinar la verdad para SL.)

    La fórmula\(Px\) se satisface en un modelo\(\mathbb{M}\) por una asignación de variables\(a\) si y solo if\(a\) (\(x\)), el objeto que\(a\) asigna a\(x\), está en la extensión de\(P\) in\(\mathbb{M}\).

    ¿Cuándo está\(xPx\) satisfified? No es suficiente si\(Px\) se satisface en\(\mathbb{M}\) por\(a\), porque eso solo significa que\(a\) (\(x\)) está en extensión (\(P\)). A\(xPx\) requiere que todos los demás miembros de la UD también estén en extensión (\(P\)).

    Entonces necesitamos otro poco de notación técnica: Para cualquier miembro Ω de la UD y cualquier variable\(x\), que un [Ω|\(x\)] sea la asignación de variables que asigna Ω a\(x\) pero concuerda\(a\) en todos los demás aspectos. Hemos utilizado Ω, la letra griega Omega, para subrayar el hecho de que es algún miembro de la UD y no algún símbolo de QL. Supongamos, por ejemplo, que la UD es presidentes de Estados Unidos. La función\(a\) [Grover Cleveland|\(x\)] asigna Grover Cleveland a la variable\(x\), independientemente de lo que\(a\) asigne a\(x\); para cualquier otra variable,\(a\) [Grover Cleveland|\(x\)] está de acuerdo con\(a\).

    Ahora podemos decir de manera concisa que [Ω|]\(xPx\) se satisface en un modelo\(\mathbb{M}\) por una asignación de variables\(a\) si y solo si,\(\mathbb{M}\) por cada objeto Ω en la UD de\(\mathbb{M}\),\(Px\) se satisface en\(a\) [Ω|\(x\)].

    Te puede preocupar que esto sea circular, porque da las condiciones de satisfacción para la oración a\(xPx\) usando la frase 'para cada objeto'. Sin embargo, es importante recordar la diferencia entre un símbolo lógico como 'p' y una palabra en inglés como 'every'. La palabra es parte del metalenguaje que utilizamos en la definición de condiciones de satisfacción para frases en lenguaje objeto que contienen el símbolo.

    Ahora podemos dar una definición general de satisfacción, extendiéndose a partir de los casos que ya hemos discutido. Define una función\(s\) (para 'satisfacción') en un modelo\(\mathbb{M}\) tal que para cualquier asignación de\(\mathcal{A}\) wy variable\(a\), s (\(\mathcal{A}\),\(a\)) = 1 si\(\mathcal{A}\) se satisface en\(\mathbb{M}\) por\(a\); de lo contrario s (\(\mathcal{A}\),\(a\)) = 0.

    1. Si\(\mathcal{A}\) es un atómico wde la forma\(\mathcal{Pt}\) 1... \(\mathcal{t}\)n y Ω i es el objeto escogido por\(t\) i, entonces

    \( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } \left\langle \Omega _ { 1 } \ldots \Omega _ { n } \right\rangle \text { is in extension } ( \mathcal { P } ) \text { in } \mathbb { M } } \\ { 0 } & { \text { otherwise. } } \end{array} \right. \)

    Para cada término\(t\) i: Si\(t\) i es una constante, entonces Ω i = referente (\(t\)i). Si\(t\) i es una variable, entonces Ω i =\(a\) (\(t\)i).

    2. Si\(\mathcal{A}\) es ¬\(\mathcal{B}\) para algunos\(\mathcal{B}\) w, entonces

    \( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a ) = 0 } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

    3. Si\(\mathcal{A}\) es (\(\mathcal{B}\)&\(\mathcal{C}\)) para algunos ws\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{C}\), entonces

    \( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a ) = 1 \text { and } s ( C , a ) = 1 } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

    4. Si\(\mathcal{A}\) es\(\mathcal{B}\) (\(\mathcal{C}\)) para algunos ws\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{C}\), entonces

    \( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a ) = 0 \text { and } s ( C , a ) = 0 } \\ { 1 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

    5. Si\(\mathcal{A}\) es (\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{C}\)) para algunos ws\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{C}\), entonces

    \( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a ) = 1 \text { and } s ( C , a ) = 0 } \\ { 1 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

    6. Si\(\mathcal{A}\) es (\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{C}\)) para algunas frases\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{C}\), entonces

    \( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a ) = s ( C , a ) } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

    7. Si\(\mathcal{A}\) es [\(\mathcal{xB}\)p] para algunas variables\(\mathcal{B}\) y algunas variables\(\mathcal{x}\), entonces

    \( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a [ \Omega | x ] ) = 1 \text { for every member } \Omega \text { of the UD, } } \\ { 0 } & { \text { otherwise. } } \end{array} \right. \)

    8. Si\(\mathcal{A}\) es\(\mathcal{xB}\) para algunas variables\(\mathcal{B}\) y algunas variables\(\mathcal{x}\), entonces

    \( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a [ \Omega | x ] ) = 1 \text { for at least one member } \Omega \text { of the UD, } } \\ { 0 } & { \text { otherwise. } } \end{array} \right. \)

    Esta definición sigue la misma estructura que la definición de una w para QL, por lo que sabemos que cada w de QL estará cubierta por esta definición. Para un modelo\(\mathbb{M}\) y una asignación de variables\(a\), cualquier w será satisfecho o no. No se dejan fuera ni se le asignan valores de contraste.

    Verdad

    Considera una frase simple comop\(xPx\). Por la parte 7 en la definición de satisfacción, esta frase se satisface si\(a\) [Ω|\(x\)] satisface\(\mathbb{M}\) por\(Px\) cada Ω en la UD. Por la parte 1 de la definición, este será el caso si cada Ω está en la extensión de\(P\). \(xPx\)El hecho de que a se satisfaga no depende de la asignación de variables en particular\(a\). Si esta frase se satisface, entonces es verdad. Se trata de una formalización de lo que hemos dicho todo el tiempo: a\(xPx\) es cierto si todo en la UD está en la extensión de\(P\).

    Lo mismo cabe para cualquier sentencia de QL. Debido a que todas las variables están enlazadas, una oración se satisface o no independientemente de los detalles de la asignación de variables. Entonces podemos definir la verdad de esta manera: Una oración\(\mathcal{A}\) es verdadera en\(\mathbb{M}\) si y solo si alguna asignación variable satisface\(\mathcal{A}\) en\(M\);\(\mathcal{A}\) es falsa en\(\mathbb{M}\) lo contrario.

    La verdad en QL es verdad en un modelo. Las oraciones de QL no son verdaderas ni falsas como meros símbolos, sino únicamente relativas a un modelo. Un modelo proporciona el significado de los símbolos, en la medida en que hace alguna diferencia a la verdad y a la falsedad.

    Razonamiento sobre todos los modelos (reprise)

    Al final de la sección 5.4, nos quedamos obstaculizados cuando intentamos demostrar que [f\(x\)] (\(Rxx\)\(Rxx\)) es una tautología. Habiendo definado la satisfacción, ahora podemos razonar de esta manera:

    Considera algún modelo arbitrario\(\mathbb{M}\). Ahora consideremos a un miembro arbitrario de la UD; por conveniencia, llámalo Ω. Debe darse el caso ya sea que <Ω, Ω> esté en la extensión de\(R\) o que no lo sea. Si <Ω, Ω> está en la extensión de\(R\), entonces\(Rxx\) se satisface con una asignación variable que asigna Ω a\(x\) (por la parte 1 de la definición de satisfacción); ya que el consecuente de\(Rxx\)\(Rxx\) se satisface, se satisface el condicional (por la parte 5). Si <Ω, Ω> no está en la extensión de\(R\), entonces no\(Rxx\) se satisface con una asignación variable que asigna Ω a\(x\) (por la parte 1); ya que antecedente de\(Rxx\) → no\(Rxx\) se satisface, se satisface el condicional (por la parte 5). En cualquier caso,\(Rxx\)\(Rxx\) está satisfecho. Esto es cierto para cualquier miembro de la UD, por lo que a\(x\) (\(Rxx\)\(Rxx\)) le satisface cualquier asignación de valor de verdad (por la parte 7). Entonces [\(x\)\(Rxx\)\(Rxx\)] es cierto en\(\mathbb{M}\) (por la definición de la verdad). Este argumento se mantiene independientemente de la UD exacta e independientemente de la extensión exacta de\(R\), por lo que a\(x\) (\(Rxx\)\(Rxx\)) es cierto en cualquier modelo. Por lo tanto, es una tautología.

    Dar argumentos sobre todos los modelos posibles generalmente requiere una combinación inteligente de dos estrategias:

    1. Dividir los casos entre dos tipos posibles, de tal manera que cada caso debe ser de un tipo u otro. En el argumento de la p. 92, por ejemplo, distinguimos dos tipos de modelos en función de si un par ordenado específico estaba o no en extension (\(R\)). En el argumento anterior, distinguimos los casos en los que un par ordenado estaba en extensión (\(R\)) y los casos en los que no lo estaba.

    2. Considerar un objeto arbitrario como una forma de mostrar algo más general. En el argumento anterior, era crucial que Ω fuera apenas algún miembro arbitrario de la UD. No asumimos nada especial al respecto. Como tal, lo que sea que podamos mostrar para sostener de Ω debe sostenerse de cada miembro de la UD— si pudiéramos mostrarlo por Ω, podríamos mostrarlo para cualquier cosa. De la misma manera, no asumimos nada especial sobre \(\mathbb{M}\), y así lo que sea que pudiéramos mostrar sobre\(\mathbb{M}\) debe sostenerse para todos los modelos.

    Considera un ejemplo más. El argumento f\(x\) (\(Hx\)&\(Jx\)).. A obviamente\(xHx\) es válido. Sólo podemos demostrar que el argumento es válido considerando lo que debe ser cierto en cada modelo en el que la premisa es cierta.

    Consideremos un modelo arbitrario\(\mathbb{M}\) en el que la premisa\(x\) p (\(Hx\)&\(Jx\)) es verdadera. La conjunción\(Hx\) &\(Jx\) se satisface independientemente de lo que se le asigne\(x\), por lo que\(Hx\) debe ser también (por la parte 3 de la definición de satisfacción). Como tal, (a\(x\))\(Hx\) se satisface por cualquier asignación variable (por la parte 7 de la definición de satisfacción) y verdadero en\(\mathbb{M}\) (por la definición de la verdad). Como no asumimos nada acerca de que\(\mathbb{M}\) además de que [\(Hx\)y]\(x\) (&\(Jx\)) fuera cierto, ([\(x\)])\(Hx\) debe ser cierto en cualquier modelo en el que [p\(x\)] (\(Hx\)&\(Jx\)) sea verdadero. Entonces,\(x\) [\(Hx\)&\(Jx\)] |= f\(xHx\).

    Incluso para un argumento sencillo como éste, el razonamiento es algo complicado. Para argumentos más largos, el razonamiento puede ser asegurable. El problema surge porque hablar de una infinidad de modelos requiere razonar las cosas en inglés. ¿Qué vamos a hacer?

    Podríamos tratar de formalizar nuestro razonamiento sobre los modelos, codificando las estrategias de dividir y conquistar que usamos anteriormente. Este enfoque, originalmente llamado tableaux semánticos, fue desarrollado en la década de 1950 por Evert Beth y Jaakko Hincikka. Sus tableaux ahora se llaman más comúnmente árboles de la verdad.

    Un enfoque más tradicional es considerar los argumentos deductivos como pruebas. Un sistema de prueba consiste en reglas que distinguen formalmente entre argumentos legítimos e ilegítimos, sin considerar modelos ni los significados de los símbolos. En el siguiente capítulo, desarrollamos sistemas de prueba para SL y QL.


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