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Sección 02: Reglas derivadas

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    Se pretende que las reglas del sistema natural de deducción sean sistemáticas. Hay una introducción y una regla de eliminación para cada operador lógico, pero ¿por qué estas reglas básicas más que algunas otras? Muchos sistemas naturales de deducción tienen una regla de eliminación de disyunciones que funciona así:

    Llamemos a esta regla Dilema (DIL) Podría parecer como si va a haber algunas pruebas que no podemos hacer con nuestro sistema de pruebas, porque no tenemos esto como regla básica. Sin embargo, este no es el caso. Cualquier prueba que puedas hacer usando la regla Dilema se puede hacer con reglas básicas de nuestro sistema natural de deducción. Considera esta prueba:

    \(\mathcal{A}\),\(\mathcal{B}\), y\(\mathcal{C}\) son metavariables. No son símbolos de SL, sino independientes para sentencias arbitrarias de SL. Entonces esto no es, estrictamente hablando, una prueba en SL. Es más como una receta. Proporciona un patrón que puede probar cualquier cosa que la regla del dilema pueda probar, utilizando únicamente las reglas básicas de SL. Esto quiere decir que la regla del dilema no es realmente necesaria. Añadirlo a la lista de reglas básicas no nos permitiría derivar nada que no pudiéramos derivar sin ella.

    Sin embargo, la regla del dilema sería conveniente. Nos permitiría hacer en una línea lo que requiere once líneas y varias subpruebas anidadas con las reglas básicas. Entonces lo agregaremos al sistema de prueba como regla derivada.

    Una regla derivada es una regla de prueba que no hace posible ninguna prueba nueva. Cualquier cosa que pueda probarse con una regla derivada puede probarse sin ella. Se puede pensar en una prueba corta usando una regla derivada como taquigrafía para una prueba más larga que usa solo las reglas básicas. Cada vez que uses la regla del dilema, siempre podrías tomar diez líneas extra y demostrar lo mismo sin ella.

    Por conveniencia, agregaremos varias otras reglas derivadas. Uno es modus tollens (MT).

    Dejamos como ejercicio la prueba de esta regla. Tenga en cuenta que si ya hubiéramos probado la regla MT, entonces la prueba de la regla DIL podría haberse hecho en solo cinco líneas.

    También agregamos silogismo hipotético (HS) como regla derivada. Ya hemos dado una prueba de ello en la p. 109.


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