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Sección 05: Reglas para la identidad

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    El predicado de identidad no forma parte de QL, sino que lo agregamos cuando necesitamos simbolizar ciertas oraciones. Para las pruebas que involucran identidad, agregamos dos reglas de prueba.

    Supongamos que sabe que muchas cosas de las que\(a\) son ciertas también son ciertas\(b\). Por ejemplo:\(Aa\) &\(Ab\),\(Ba\) &\(Bb\), ¬\(Ca\)\(Cb\),\(Da\) &\(Db\), ¬\(Ea\)\(Eb\), y así sucesivamente. Esto no bastaría para justificar la conclusión\(a\) =\(b\). (Véase la p. 89.) En general, no hay frases que no contengan ya el predicado de identidad que pudiera justificar la conclusión\(a\) =\(b\). Esto significa que la regla de introducción de identidad no justificará\(a\) =\(b\) ni ninguna otra reivindicación de identidad que contenga dos constantes diferentes.

    No obstante, siempre es cierto que\(a\) =\(a\). En general, no se requieren premisas para concluir que algo es idéntico a sí mismo. Entonces esta será la regla de introducción de identidad, abreviada =I:

    Observe que la regla =I no requiere referirse a ninguna línea previa de la prueba. Para cualquier constante\(\mathcal{c}\), puedes escribir\(\mathcal{c}\) =\(\mathcal{c}\) en cualquier punto con solo la regla =I como justificación.

    Si has demostrado que\(a\) =\(b\), entonces cualquier cosa de lo que sea cierto también\(a\) debe ser verdad de\(b\). Para cualquier oración con\(a\) en ella, se pueden sustituir algunas o todas las ocurrencias de\(a\) con\(b\) y producir una oración equivalente. Por ejemplo, si ya lo sabes\(Raa\), entonces estás justificado para concluir\(Rab\),\(Rba\),\(Rbb\).

    La regla de eliminación de identidad (=E) nos permite hacer esto. Justifica sustituir términos por otros términos que le sean idénticos.

    Para escribir la regla, vamos a introducir un nuevo poco de simbolismo. Para una oración\(\mathcal{A}\) y constantes\(\mathcal{c}\) y\(\mathcal{d}\),\(\mathcal{d}\) es\(\mathcal{Ac}\) una oración producida reemplazando algunas o todas las instancias de\(\mathcal{c}\) in\(\mathcal{A}\) con\(\mathcal{d}\) o reemplazando instancias de\(\mathcal{d}\) con\(\mathcal{c}\). Esto no es lo mismo que una instancia de sustitución, porque una constante no necesita reemplazar cada ocurrencia de la otra (aunque puede ser).

    Ahora podemos escribir concisamente =E de esta manera:

    Para ver las reglas en acción, considere esta prueba:


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