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# 27.3: Imagen de estructura probabilística y estadística

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Podemos utilizar diagramas simples para ilustrar diversos conceptos probabilísticos. En efecto, muchas veces podemos utilizarlas para mostrar por qué ciertas reglas probabilísticas son correctas. Algunos de los diagramas aparecieron en capítulos anteriores, pero será útil recopilarlos juntos aquí y agregar algunos trucos nuevos.

## Probabilidades de Disyunciones

Comenzamos con dos diagramas que encontramos antes, para recordarnos cómo las imágenes pueden ayudarnos a pensar en probabilidades. Recordemos que una disyunción es una sentencia de uno u otro o. ¿Cuál es la probabilidad de que una disyunción, A o B, tenga disyunciones incompatibles?

Podemos representar la situación con la subfigura izquierda en la Figura 27.3.1. Para saber cuánta área está cubierta ya sea por A o por B, simplemente agregaríamos las dos áreas juntas. Representamos el hecho de que los disjuntos son incompatibles por una imagen en la que los dos círculos que los representan no se superponen, por lo que es fácil ver que no contábamos ninguna porción del área dos veces cuando sumamos cosas.

Por el contrario, si los disjuntos A y B son compatibles, entonces pueden ocurrir juntos. Representamos el hecho de que son compatibles por una imagen en la que los dos círculos que los representan sí se superponen. Y esto hace que sea fácil ver que si simplemente agregamos el área de A a las áreas de B, contaremos el área superpuesta (rayada) dos veces (una vez cuando consideramos A y una segunda vez cuando consideramos B). La solución es restar la probabilidad de que A y B ocurran ambos para que esta área solo se cuente una vez.

Pasamos ahora a problemas más difíciles que son mucho más fáciles de resolver con imágenes que con números.

## Wilbur falla su prueba de detector de mentiras

La policía tiene noticia de que hay una gran conspiración para vender software robado. Para detener las ventas de estos bienes robados, reúnen a cien sospechosos al azar y les hacen pruebas de detector de mentiras. Supongamos, hipotéticamente, que los siguientes números son correctos.

• La máquina dice que una persona está acostada en el 90% de los casos en los que realmente están mintiendo.
• La máquina dice que una persona está acostada en el 20% de los casos donde no está mintiendo.
• El 10% de los personajes sospechosos de la ciudad son realmente culpables. Wilbur reprobó su prueba; la máquina dice que mintió. ¿Cuál es la probabilidad de que sea culpable?

Es tentador razonar así: la prueba es 90% confiable, por lo que debe haber alrededor de un 90% de posibilidades de que Wilbur sea culpable. El 90% aquí es la probabilidad condicional de que alguien repruebe la prueba si es culpable.

Pero esto no es lo que queremos saber. Queremos saber lo contrario o inverso de esto; queremos la probabilidad de que alguien sea culpable, dado que falló. La primera figura es Pr (Fails| Guilt), pero queremos saber la inversa de esto, Pr (Guilt |Fails). Las dos probabilidades pueden ser muy diferentes; compare: Pr (Masculino|Jugador de fútbol profesional) ≠ Pr (Jugador de fútbol profesional |Masculino)

En el apéndice de este capítulo veremos cómo usar nuestras reglas para calcular la probabilidad de culpabilidad de Wilbur. Pero una imagen simple se puede utilizar para resolver el problema, y es mucho más fácil de entender.

La figura 27.3.2, que se dibuja a escala, representa la información relevante. Recuerda que hay 100 personas en nuestro grupo.

• El 90% de ellos no son culpables, y están representados por la columna ancha a la izquierda del diagrama. Diez por ciento son culpables, y están representados por la columna mucho más delgada de la derecha.
• El 90% de los culpables reprueban la prueba, e indicamos esto con un menos, en 90% de las filas en la columna delgada.
• El 20% de las personas que no son culpables reprueban la prueba (quizás están nerviosas), y esto lo indicamos con un menos en 20% del área de la columna ancha, no culpable.

Ahora sólo tenemos que consultar la cifra y verificar los porcentajes. Cuando lo hacemos, encontramos que 9 de las 10 personas culpables reprueban la prueba, pero 18 de las personas inocentes también fallan (18 es 20% de las 90 personas que son inocentes). Por lo que sólo una persona de cada tres que repasa la prueba es culpable. Si no tenemos información adicional para continuar, la probabilidad de que Wilbur sea un conspirador es 1/3. Es importante que cuentes, literalmente, el número de signos menos en la figura para verificar esto.

Puntos similares se aplican en muchas otras situaciones. Por ejemplo, es posible que queramos saber sobre la probabilidad de tener cáncer de mama, dado un pequeño bulto y un cierto resultado en una mamografía. Problemas como estos requieren que integremos el conocimiento sobre el presente caso (por ejemplo, lo que dice el detector de mentiras) con información previa sobre las tasas base (proporción de personas culpables entre los sospechosos). A menudo nos enfocamos demasiado en la información actual (Wilbur falló) e ignoramos la información sobre las tasas base de culpables entre los sospechosos (solo 1 de cada 10).

A menudo hay varias formas de mostrar información. También podríamos representar la difícil situación de Wilbur con un gráfico circular en el que cada uno de nuestros cuatro grupos está representado por una porción del pastel (Figura 27.3.3); se dibuja a escala, de manera que el 10% del pastel representa el 10% del grupo). Tales diagramas suelen ser fáciles de leer, pero se necesita un poco más de trabajo para construirlos que los diagramas rectangulares.

Deberías usar cualquier tipo de imágenes que te resulte más útil, pero es importante construir figuras rápidas y sencillas; de lo contrario tomarán tanto trabajo que (si eres como la mayoría de nosotros) rara vez te esforzarás por construir algo en absoluto.

Ejercicios

1. Dibuja una imagen así en la Figura 27.3.2, y determine la probabilidad de culpabilidad de Wilbur si todos los números siguen siendo los mismos, excepto que la probabilidad de reprobar la prueba del detector de mentiras si no eres culpable es solo del 10% (en lugar del 20%, como arriba).
2. Dibuja el cuadro y determina la probabilidad de que Wilbur sea culpable si todos los números siguen siendo los mismos, salvo que la tasa base de personas culpables entre las personas sospechosas es del 20% (en lugar del 10%, como estaba arriba).
3. El personal del Centro de Prevención del Suicidio sabe que 2% de todas las personas que llaman por teléfono a su línea caliente intentan suicidarse. Un psicólogo ha ideado una prueba verbal rápida y sencilla para ayudar a identificar a las personas que llaman que intentarán suicidarse. Ella encontró que:
1. El 80% de las personas que intentarán suicidarse tienen una puntuación positiva en esta prueba.
2. Pero sólo el 5% de los que no intentarán suicidarse tienen una puntuación positiva en esta prueba.

Si obtiene una identificación positiva de una persona que llama en esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que intente suicidarse?

1. Supongamos que tenemos una prueba para el virus VIH. La probabilidad de que una persona que realmente tiene el virus dé positivo es de .90, mientras que la probabilidad de que una persona que no lo tiene dé positivo es de .20. Por último, supongamos que la probabilidad de que una persona en la población general tenga el virus (la tasa base del virus) es de .01. La prueba de Smith dio positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente esté infectado? Construya un diagrama para determinar la respuesta (la resolveremos por los números del apéndice, para que pueda verificar su respuesta con la respuesta allí).

## Correlaciones revisadas

La discusión de las correlaciones en el Capítulo 15 enfatizó las imágenes, por lo que simplemente recordaremos aquí los puntos básicos. Vimos que la manera más fácil de entender los fundamentos de la correlación es usar un diagrama como la Figura 27.3.4 en la siguiente página. Representa cuatro relaciones hipotéticas entre fumar y contraer cáncer de pulmón. El hecho de que la línea porcentual sea mayor en la columna del fumador que en la columna del no fumador en los dos diagramas superiores de la Figura 27.3.4 indica que existe una correlación positiva entre ser fumador y tener un ataque cardíaco. Es la relación entre estas dos líneas horizontales lo que significa una correlación positiva. Y los otros diagramas funcionan de la misma manera. Cabe repetir que no es necesario conocer porcentajes exactos para dibujar la mayoría de estos diagramas. Solo necesitas saber qué columna tiene el porcentaje más alto, es decir, la línea horizontal más alta.

## Árboles de probabilidad

Los diagramas rectangulares son muy claros, pero solo funcionan bien cuando estamos considerando dos factores, variables o resultados. La figura 27.3.5 muestra cómo representar tres variables; aquí los resultados de tres volteos sucesivos de una moneda justa, con cada volteo es una variable separada.

En el árbol, los números a lo largo de cada ruta representan las probabilidades de los resultados. La probabilidad de una cabeza en la primera vuelta (representada por el primer nodo de la ruta superior) es 1/2, y la probabilidad de una segunda cabeza a medida que nos movemos hacia la derecha a lo largo de ese camino también es 1/2. Hay ocho caminos completos a través del árbol, y para evaluar la probabilidad de cualquiera de ellos (por ejemplo, H1T2H3) simplemente multiplicamos los números a lo largo del camino. Dado que la moneda es justa, la probabilidad para cada uno de los ocho resultados representados por los ocho caminos completos es de 18.

Los árboles también se pueden usar cuando tenemos menos de tres variables. En la Figura 27.3.6, representamos en formato de árbol los datos sobre la prueba del detector de mentiras de Wilbur que mostramos arriba en un diagrama rectangular. Aquí representamos las probabilidades como etiquetas en las ramas.

Por ejemplo, la sucursal que comienza con Sospechosos y corriendo a Culpable está etiquetada con el 10%, para indicar que el 10% de los sospechosos son culpables. Y la rama inferior, de Sospechosos a No Culpable, está etiquetada con el 90%, para indicar que el 90% de las personas redadas son inocentes. Las etiquetas adicionales representan las probabilidades adicionales. Por ejemplo, la rama superior derecha está etiquetada con el 10%, para indicar que el 10% de las personas culpables logran engañar a la máquina y pasar la prueba.

Las flechas apuntan al número de personas que reprueban la prueba. Hay 9 personas culpables que reprueban más 18 inocentes que reprueban, para un total de 27 pruebas fallidas. De estas 27 fallas 18, o 2/3, son inocentes. Entonces, si no tenemos información adicional, nuestra mejor conjetura es que la probabilidad de que Wilbur sea culpable es 1/3.

Ejercicios

1. Representar la información sobre los funcionarios del Centro de Prevención del Suicidio arriba como un árbol y utilícela para resolver el problema.
2. Representar la información sobre la prueba de VIH anterior como un árbol, y utilícela para resolver el problema.

## Enumeración bruta de porcentajes

### Solución pictórica al problema de Monty Hall

En el apéndice de este capítulo resolveremos el Problema de Monty Hall usando reglas de probabilidad, pero la mayoría de la gente encuentra una imagen de la situación más esclarecedora. Recuerda el problema: hay tres puertas frente a ti. No hay nada que valga la pena tener detrás de dos de ellos, pero hay mil millones de dólares detrás del tercero. Escoge la puerta correcta y el dinero es tuyo.

Supongamos que eliges la puerta 1. Pero antes de que Monty Hall abra esa puerta, abre una de las otras dos puertas, escogiendo una que sabe que no tiene nada detrás de ella. Supongamos que abre la puerta 2. Esto saca a 2 de la carrera, por lo que la única pregunta ahora es sobre la puerta 1 contra la puerta 3.

Monty entonces te permite reconsiderar tu elección anterior: puedes pegarte con la puerta 1 o cambiar a la puerta 3. ¿Qué debes hacer? Más generalmente, sea cual sea la puerta que una persona escoja originalmente, ¿deberían cambiar cuando se le da la opción?

Es mejor apagar el interruptor. La idea básica es que cuando Monte abre una de las dos puertas hayas adquirido nueva información. Para representar las cosas pictóricamente, comenzamos por averiguar las diversas cosas que podrían ocurrir en este juego. Podrías escoger cualquiera de las tres puertas, y el dinero podría estar detrás de cualquiera de las tres. Representamos esta situación en la Figura 27.3.7 (ignora los signos pulgares arriba por ahora). Los tres primeros números de la izquierda representan la puerta que seleccione (ya sea 1, 2 o 3). Y por cada selección que pudieras hacer, hay tres lugares donde podría estar el dinero. Entonces, hay nueve posibilidades. En la figura, la flecha apunta a la situación en la que seleccionaste la puerta 2, pero el dinero estaba detrás de la puerta 3.

## Cómo leer la tabla

Las filas que involucran el cambio de puertas y sus resultados están sombreadas. Aún así, la Figura 27.3.8 contiene una buena cantidad de información así que, consideremos un par de ejemplos.

• Fila uno: Escogí la puerta 1, y ahí es donde está el dinero. Monty puede abrir ya sea la puerta 2 o la puerta 3, ya que el dinero tampoco está detrás. El único lugar al que puedo trasladarme es la puerta que no abrió. Si abrió la puerta 2 puedo pasar a 3; si abrió 3. Puedo pasar a 2. En este caso, si cambio, pierdo.
• Fila dos: Escogí la puerta 2 y el dinero está detrás de la puerta 1. La única puerta que Monty puede abrir es la puerta 3. Si me quedo con la puerta 2 pierdo; si me cambio a la puerta 1, gano. Si siempre me quedo con mi pick original, ganaré solo en 3 de los 9 casos (filas 1, 5 y 9). Si adopto la política de cambio, ganaré en 6 de 9 casos (todas las demás filas). Entonces, tengo el doble de probabilidades de ganar el dinero si me cambio. Podemos presentar la información de forma más compacta en la Figura 27.2.1. Cada columna indica lo que sucede en cada una de las nueve situaciones si me quedo o si me cambio.

También podemos representar estos resultados con un árbol; en efecto, los letreros pulgares arriba en la Figura 27.3.9 indican los casos en los que ganará si cambia de puerta. Al igual que nuestras otras representaciones, demuestran que duplicas tus posibilidades de ganar si cambias.

Como es habitual, es útil pensar en términos de proporciones o frecuencias. Imagina que juegas al juego muchas veces. ¿Qué debes esperar que suceda, en promedio, cada cien veces jugadas? Ganarías alrededor de sesenta y seis de los cien juegos si cambias. Perderías sesenta y seis si te quedas con tu puerta original.

## Solución pictórica al problema de los dos ases

Retira todas las cartas excepto los ases y ochos de una baraja. Esto te deja con una baraja de ocho cartas: cuatro ases y cuatro ochos. De esta baraja, repartir dos cartas a un amigo. Es honesto y responderá exactamente una pregunta sobre sus tarjetas. El tema no es uno sobre qué orden en el que consiguió sus dos cartas; en efecto, supongamos que las barajó antes de mirarlas para que ni siquiera sepa cuál de sus cartas se repartió primero.

1. Se pregunta si su mano contiene al menos un as. Responde que sí. ¿Cuál es la probabilidad de que sus dos cartas sean ases?
2. Se pregunta si su mano contiene un as rojo. Responde que sí. ¿Cuál es la probabilidad de que sus dos cartas sean ases?
3. Se pregunta si su mano contiene el as de espadas. Responde que sí. ¿Cuál es la probabilidad de que sus dos cartas sean ases? Usando un poco de notación improvisada pero obvia, queremos saber:

1* Pr (2 aces|al menos 1 as)

2* Pr (2 aces| al menos 1 as rojo)

3* Pr (2 aces|as de espadas)

Las tres probabilidades son diferentes. Podemos ver el punto básico con menos cartas, pero el objetivo aquí es examinar un problema que necesita un diagrama un poco más grande de lo que requerirían menos tarjetas.

La parte más difícil de este problema es averiguar cómo representar las distintas manos posibles. Observamos que hay ocho cartas que uno podría obtener en el primer sorteo y siete en el segundo, así que cuando tomamos en cuenta el orden, tenemos 8 x 7 = 56 manos. El orden no es relevante aquí, sin embargo, ya que no nos preocupa qué carta vino primero, así podemos cortar 56 por la mitad (contando el resultado de ocho de corazones en el primer sorteo y as de corazones en el segundo, y el orden inverso con las mismas dos cartas que la misma mano; si quieres considerar los 56 casos puedes , pero significará más trabajo).

En efecto, si lo peor llegara a lo peor, simplemente podrías anotar todas las manos posibles de alguna manera sistemática, y terminarías con las mismas 28 manos con las que empezaremos aquí. Esto requiere trabajo en el presente caso, pero con problemas más simples es totalmente factible.

Hay formas más eficientes de resolver este problema que enumerando las manos, pero tal enumeración a veces puede darnos una mejor idea de la situación. Tal enumeración se da en la Figura 27.3.10, y una vez que la tenemos, podemos determinar las respuestas simplemente inspeccionando las proporciones de varios tipos de manos (unas con al menos un as, unas con al menos un as rojo, etc.).

En los tres escenarios Wilbur tiene al menos un as, por lo que aquí solo son relevantes las manos con al menos un as. Un pequeño cálculo, o un poco de garabatos de prueba y error, demostrará que hay 22 manos con al menos un as. Ya que el as de espadas apareció en el problema, podemos comenzar por enumerar todas las manos de dos cartas que lo contienen. Entonces podemos enumerar aquellos con el as de corazones, diamantes, y palos, teniendo cuidado de no enumerar la misma mano dos veces (si peor viene a peor, simplemente puedes enumerar todas las manos y luego pasar y tachar cualquier duplicación).

Estamos ante las probabilidades condicionales, aquí. Recuerda cómo éstas reducen el conjunto de posibilidades (lo que a veces se llama el espacio muestral). Tiras un dado y no puedes ver dónde aterrizó. Cuando Wilma verifica que se le ocurrió un número par, esto elimina de consideración todos los números impares, y la probabilidad de que rodes un dos sube de 1/6 a 1/3. De igual manera, cuando Wilbur te dice que tiene al menos un as, esto elimina todas las manos sin ningún ases, y también cambia diversas probabilidades.

## Probabilidad de dos ases, dado al menos uno

Primero, veremos cuál es la probabilidad de que Wilbur tenga dos ases, dado que tiene al menos un as. Las 22 manos enumeradas en nuestro diagrama contienen al menos un as, y 6 de ellas (las sombreadas en la Figura 27.3.11) tienen dos ases. Entonces, hay 6 formas de salir de las 22 de tener dos ases, para una probabilidad de 6/22 (que reduce a 3/11 = .27).

## Probabilidad de dos ases, dado el as de espadas

Ahora veremos cuál es la probabilidad de dos ases, dado que una de las cartas es el as de espadas. Esto reduce los casos que consideramos, nuestro espacio de muestra, a solo esas manos con el as de espadas. Estos ocupan la primera fila de nuestro diagrama, y son exactamente siete de ellos. Están encerrados con una línea discontinua en la Figura 27.3.12.

De las siete manos que contienen el as de espadas, sólo tres contienen dos ases (estos están encerrados con una línea sólida y sombreados). Entonces, hay 3 manos de dos as de 7. Esto arroja una probabilidad de 3/7 (= 0.43). De ahí que la probabilidad de dos ases dados un as de espadas es sustancialmente mayor que la probabilidad de dos ases dados al menos un as. Dejamos el último de los tres acertijos como ejercicio.

## Árboles de decisión

A menudo podemos representar situaciones en las que debemos tomar una decisión difícil con los árboles. En los casos en que tengamos una buena estimación de las probabilidades y pagos relevantes, también podemos representarlos en el árbol, y usarlo para ayudarnos a calcular los valores esperados. Aquí simplemente notaremos la forma en que los árboles, incluso en ausencia de dicha información, pueden ayudarnos a ordenar las alternativas relevantes y ayudarnos a enfocar las que más importan.

Consideraremos un ejemplo hipotético, pero situaciones como esta son comunes; en algún momento, prácticamente todos debemos tomar decisiones difíciles, muy posiblemente de vida o muerte, sobre el tratamiento médico, ya sea para nosotros mismos, o para un hijo o un padre anciano. Los resultados de las pruebas de John no son buenos. Sugieren alguna posibilidad de un tumor cerebral, aunque la probabilidad es considerablemente inferior al 50%. Si es cáncer y no se extirpa quirúrgicamente, John morirá en el próximo año más o menos. Pero también existe un riesgo genuino por la cirugía; en unos pocos casos es fatal, y conlleva daños duraderos en otros casos. A menos que John se someta a la cirugía dentro de los dos meses, será demasiado tarde, por lo que la decisión debe tomarse pronto. Por supuesto, John podría optar simplemente por no pensarlo, pero esto equivale a la decisión de no operarse.

Podemos representar la situación de Juan con un árbol como ese en la Figura 27.3.13. Esto nos ayuda a trazar las diversas posibilidades. En la vida real, rara vez podemos obtener valores muy precisos de probabilidades, pero en algunas situaciones médicas se sabe mucho sobre el porcentaje o proporción de quienes tienen cáncer que dieron ciertos resultados de pruebas o tasas de mortalidad en cirugías de un determinado tipo. Donde los tengamos, aunque no sean del todo precisos, podemos incorporarlos a nuestro árbol. Tales árboles se pueden desarrollar con considerable detalle, pero no los exploraremos más aquí.

## Diagramas rectangulares para lógica y probabilidad

En esta sección, desarrollamos un método sencillo para representar importantes relaciones lógicas y probabilísticas con diagramas de 2 por 2. Se necesitan unos minutos de práctica para llegar a ser hábil con estos diagramas, pero es una buena inversión, porque nos permite ver muchas relaciones lógicas y probabilísticas importantes. Donde solo hay dos variables o factores, digamos A y B, muchas veces es muy útil representarlos con un rectángulo de 2 x 2 como el de la Figura 27.3.14.

Las columnas representan A y su negación ~A.

Las filas representan B y su negación ~B.

Para una fácil referencia, podemos pensar en estas cuatro áreas como regiones numeradas, comenzando con 1 en la parte inferior derecha y trabajando en nuestro camino (Figura 27.3.14).

En el diagrama de la izquierda de la Figura 27.3.15, la región con sombreado horizontal (izquierda-derecha) (cuadrantes 3 y 4) representa el área del rectángulo en la que A es verdadera. El área con sombreado vertical (arriba y abajo) (cuadrantes 1 y 2) representa la región restante donde A es falsa, por lo que la región vertical representa ~A. Del mismo modo, la región horizontal del diagrama a la derecha en la Figura 27.3.15 representa el área donde B es verdadera, y la región vertical representa eso en que B es falso.

Cuando estamos pensando en la probabilidad, interpretamos el área total del rectángulo como 1. Esto nos muestra por qué la probabilidad de una negación como A será cualquier porción de la unidad de probabilidad que no sea tomada por A. A y A debe dividir la unidad de probabilidad entre ellos, por lo que Pr (~A) = 1-Pr (A).

En el diagrama de la izquierda de la Figura 27.3.16 la región blanca, sin sombra (cuadrante 3) es donde tanto A como B son verdaderas, por lo que representa la situación donde la conjunción, A y B, es verdadera. Las regiones sombreadas restantes (1, 2 y 4) son donde esta conjunción es falsa, lo que es solo para decir la región donde la negación de la conjunción, ~ (A y B), es verdadera.

En la subfigura derecha de la Figura 27.3.16, vemos que la disyunción, A o B, es cierta en todas las regiones excepto en la región 1. El área blanca representa el área donde la disyunción es verdadera, por lo que el área sombreada representa el área donde es falsa, es decir, el área (solo cuadrante 1) donde su negación, ~ (A o B) es verdadera. Pero vemos que esta es también la zona exacta en la que A es falsa y B es falsa. Después de todo, A es falso en la columna de la derecha y B es falso en la fila inferior. Y esta columna y fila se superponen en el primer cuadrante. Entonces, esta región inferior derecha es el área donde ~A & ~B es cierto.

Dado que las regiones para ~ (A o B) y ~A y ~B coinciden (diagrama de la derecha en la Figura 27.3.16), dicen lo mismo. Esta es una de las dos equivalencias conocidas como Leyes de De Morgan. En cuanto a nuestras regiones: ~ (A o B) = ~A & ~B La afirmación de que ni A ni B son verdaderas equivale a la afirmación de que tanto A como B son falsas.

Hay otra, imagen especular, versión de las leyes de De Morgan: ~ (A & B) = ~A o ~B. La afirmación de que A y B no son ambas verdaderas equivale a la afirmación de que al menos una u otra es falsa.

Reetiquetamos un diagrama anterior como Figura 27.3.17 para ilustrar esto. Aquí, la región no sombreada es A & B, por lo que la región sombreada es su negación, ~ (A & B) (en otras palabras: no tanto A como B). Pero con un poco de mirada, se puede ver que esto corresponde a la región en la que A es falsa o B es falsa (o ambas), es decir, a ~A o ~B

La equivalencia aquí equivale a validez bidireccional, por lo que nuestros diagramas muestran que cuatro patrones de argumentos separados son válidos (Figura 27.3.18).

Aplicamos todo esto de manera bastante directa a la probabilidad tomando el área total de un rectángulo de 2 x 2 para tener el área 1 (representando la cantidad total de probabilidad). Las oraciones representadas por la misma área deben tener la misma probabilidad. De ahí que por De Morgan's Laws, Pr (~ (A o B)) = Pr (~A & ~B) y Pr (~ (A & B)) = Pr (~A o ~B). También podemos usar diagramas rectangulares para ilustrar varias de nuestras reglas para calcular probabilidades. Recordemos la regla para las disyunciones con desjuntos incompatibles.

Decir que son incompatibles es decir que no hay solapamiento en sus áreas del diagrama.

En el diagrama de la izquierda en la Figura 27.3.19, A se representa por el sombreado horizontal y B por el sombreado vertical. Dado que A y B no se superponen (el cuadrante 3 está vacío), simplemente agregamos sus probabilidades para obtener la probabilidad de A o B. Por el contrario, en el diagrama de la derecha en la Figura 27.3.19, A y B sí se superponen, y así cuando agregamos sus áreas, agregamos A & B (cuadrante 3) dos veces. Para suplir esto debemos restarlo una vez. Pr (A o B) = Pr (A) + Pr (B) - Pr (A & B).

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