Sección 5: La verdad en QL
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Para SL, dividimos la definición de la verdad en dos partes: una asignación de valor de verdad (a) para letras de oración y una función de verdad (v) para todas las oraciones. La función de verdad cubría la forma en que las oraciones complejas podían construirse a partir de letras de oración y conectivos.
De la misma manera que la verdad para SL es siempre verdad dada una asignación de valor de verdad, verdad para QL es verdad en un modo l La oración atómica más simple de QL consiste en un predicado de un solo lugar seguido de una constante, comoPj. Es cierto en un modeloM si y sólo si el referente dej está en la extensión deP inM.
Podríamos continuar de esta manera para definir la verdad para todas las oraciones atómicas que contengan solo predicados y constantes: Considere cualquier oración de la formaRC 1... cn dondeR es un predicado n-lugar y lasc s son constantes. Es cierto enM si y solo si hreferent (c1),... , el referente (cn) i está en extensión (R) enM.
Entonces podríamos definir la verdad para oraciones construidas con conectivos sentenciales de la misma manera que lo hicimos para SL. Por ejemplo, la oración (Pj→Mda) es verdadera enM si cualquieraPj es falso enM oMda es verdadero enM.
Desafortunadamente, este enfoque fracasará cuando consideremos oraciones que contengan cuantificadores. Considerar a [xPx. ¿Cuándo es cierto en un modeloM? La respuesta no puede depender de siPx es verdadera o falsa inM, porque elx inPx es una variable libre. Pxno es una sentencia. No es ni verdadero ni falso.
Pudimos dar una definición recursiva de la verdad para SL porque cada fórmula bien formada de SL tiene un valor de verdad. Esto no es cierto en QL, así que no podemos definir la verdad comenzando con la verdad de las oraciones atómicas y construyendo. También hay que considerar las fórmulas atómicas que no son oraciones. Para ello definiremos la satisfacción; toda fórmula bien formada de QL será satisficida o no satisficida, aunque no tenga un valor de verdad. Entonces podremos define la verdad para sentencias de QL en términos de satisfacción.
Satisfacción
La fórmulaPx dice, aproximadamente, quex es una de lasPs. Esto no puede ser del todo correcto, sin embargo, porquex es una variable y no una constante. No nombra a ningún miembro en particular de la UD. En cambio, su significado en una oración viene determinado por el cuantificador que la une. La variablex debe suplente por cada miembro de la UD en la oraciónxPx [a], pero solo necesita suplente para un miembro enxPx. Como queremos que la definición de satisfacción cubraPx sin ningún cuantificador alguno, comenzaremos diciendo cómo interpretar una variable libre como lax inPx.
Esto lo hacemos introduciendo una asignación variable. Formalmente, esta es una función que empareja cada variable con un miembro de la UD. Llama a esta función '\a.' (El 'a' es para 'asignación', pero esto no es lo mismo que la asignación de valor de verdad que usamos para determinar la verdad para SL.)
La fórmulaPx se satisface en un modeloM por una asignación de variablesa si y solo ifa (x), el objeto quea asigna ax, está en la extensión deP inM.
¿Cuándo estáxPx satisfified? No es suficiente siPx se satisface enM pora, porque eso solo significa quea (x) está en extensión (P). AxPx requiere que todos los demás miembros de la UD también estén en extensión (P).
Entonces necesitamos otro poco de notación técnica: Para cualquier miembro Ω de la UD y cualquier variablex, que un [Ω|x] sea la asignación de variables que asigna Ω ax pero concuerdaa en todos los demás aspectos. Hemos utilizado Ω, la letra griega Omega, para subrayar el hecho de que es algún miembro de la UD y no algún símbolo de QL. Supongamos, por ejemplo, que la UD es presidentes de Estados Unidos. La funcióna [Grover Cleveland|x] asigna Grover Cleveland a la variablex, independientemente de lo quea asigne ax; para cualquier otra variable,a [Grover Cleveland|x] está de acuerdo cona.
Ahora podemos decir de manera concisa que [Ω|]xPx se satisface en un modeloM por una asignación de variablesa si y solo si,M por cada objeto Ω en la UD deM,Px se satisface ena [Ω|x].
Te puede preocupar que esto sea circular, porque da las condiciones de satisfacción para la oración axPx usando la frase 'para cada objeto'. Sin embargo, es importante recordar la diferencia entre un símbolo lógico como 'p' y una palabra en inglés como 'every'. La palabra es parte del metalenguaje que utilizamos en la definición de condiciones de satisfacción para frases en lenguaje objeto que contienen el símbolo.
Ahora podemos dar una definición general de satisfacción, extendiéndose a partir de los casos que ya hemos discutido. Define una funcións (para 'satisfacción') en un modeloM tal que para cualquier asignación deA wy variablea, s (A,a) = 1 siA se satisface enM pora; de lo contrario s (A,a) = 0.
1. SiA es un atómico wde la formaPt 1... tn y Ω i es el objeto escogido port i, entonces
s(A,a)={1 if ⟨Ω1…Ωn⟩ is in extension (P) in M0 otherwise.
Para cada términot i: Sit i es una constante, entonces Ω i = referente (ti). Sit i es una variable, entonces Ω i =a (ti).
2. SiA es ¬B para algunosB w, entonces
s(A,a)={1 if s(B,a)=00 otherwise
3. SiA es (B&C) para algunos wsB,C, entonces
s(A,a)={1 if s(B,a)=1 and s(C,a)=10 otherwise
4. SiA esB (C) para algunos wsB,C, entonces
s(A,a)={0 if s(B,a)=0 and s(C,a)=01 otherwise
5. SiA es (B→C) para algunos wsB,C, entonces
s(A,a)={0 if s(B,a)=1 and s(C,a)=01 otherwise
6. SiA es (B↔C) para algunas frasesB,C, entonces
s(A,a)={1 if s(B,a)=s(C,a)0 otherwise
7. SiA es [xBp] para algunas variablesB y algunas variablesx, entonces
s(A,a)={1 if s(B,a[Ω|x])=1 for every member Ω of the UD, 0 otherwise.
8. SiA esxB para algunas variablesB y algunas variablesx, entonces
s(A,a)={1 if s(B,a[Ω|x])=1 for at least one member Ω of the UD, 0 otherwise.
Esta definición sigue la misma estructura que la definición de una w para QL, por lo que sabemos que cada w de QL estará cubierta por esta definición. Para un modeloM y una asignación de variablesa, cualquier w será satisfecho o no. No se dejan fuera ni se le asignan valores de contraste.
Verdad
Considera una frase simple comopxPx. Por la parte 7 en la definición de satisfacción, esta frase se satisface sia [Ω|x] satisfaceM porPx cada Ω en la UD. Por la parte 1 de la definición, este será el caso si cada Ω está en la extensión deP. xPxEl hecho de que a se satisfaga no depende de la asignación de variables en particulara. Si esta frase se satisface, entonces es verdad. Se trata de una formalización de lo que hemos dicho todo el tiempo: axPx es cierto si todo en la UD está en la extensión deP.
Lo mismo cabe para cualquier sentencia de QL. Debido a que todas las variables están enlazadas, una oración se satisface o no independientemente de los detalles de la asignación de variables. Entonces podemos definir la verdad de esta manera: Una oraciónA es verdadera enM si y solo si alguna asignación variable satisfaceA enM;A es falsa enM lo contrario.
La verdad en QL es verdad en un modelo. Las oraciones de QL no son verdaderas ni falsas como meros símbolos, sino únicamente relativas a un modelo. Un modelo proporciona el significado de los símbolos, en la medida en que hace alguna diferencia a la verdad y a la falsedad.
Razonamiento sobre todos los modelos (reprise)
Al final de la sección 5.4, nos quedamos obstaculizados cuando intentamos demostrar que [fx] (Rxx→Rxx) es una tautología. Habiendo definado la satisfacción, ahora podemos razonar de esta manera:
Considera algún modelo arbitrarioM. Ahora consideremos a un miembro arbitrario de la UD; por conveniencia, llámalo Ω. Debe darse el caso ya sea que <Ω, Ω> esté en la extensión deR o que no lo sea. Si <Ω, Ω> está en la extensión deR, entoncesRxx se satisface con una asignación variable que asigna Ω ax (por la parte 1 de la definición de satisfacción); ya que el consecuente deRxx →Rxx se satisface, se satisface el condicional (por la parte 5). Si <Ω, Ω> no está en la extensión deR, entonces noRxx se satisface con una asignación variable que asigna Ω ax (por la parte 1); ya que antecedente deRxx → noRxx se satisface, se satisface el condicional (por la parte 5). En cualquier caso,Rxx →Rxx está satisfecho. Esto es cierto para cualquier miembro de la UD, por lo que ax (Rxx→Rxx) le satisface cualquier asignación de valor de verdad (por la parte 7). Entonces [xRxx→Rxx] es cierto enM (por la definición de la verdad). Este argumento se mantiene independientemente de la UD exacta e independientemente de la extensión exacta deR, por lo que ax (Rxx→Rxx) es cierto en cualquier modelo. Por lo tanto, es una tautología.
Dar argumentos sobre todos los modelos posibles generalmente requiere una combinación inteligente de dos estrategias:
1. Dividir los casos entre dos tipos posibles, de tal manera que cada caso debe ser de un tipo u otro. En el argumento de la p. 92, por ejemplo, distinguimos dos tipos de modelos en función de si un par ordenado específico estaba o no en extension (R). En el argumento anterior, distinguimos los casos en los que un par ordenado estaba en extensión (R) y los casos en los que no lo estaba.
2. Considerar un objeto arbitrario como una forma de mostrar algo más general. En el argumento anterior, era crucial que Ω fuera apenas algún miembro arbitrario de la UD. No asumimos nada especial al respecto. Como tal, lo que sea que podamos mostrar para sostener de Ω debe sostenerse de cada miembro de la UD— si pudiéramos mostrarlo por Ω, podríamos mostrarlo para cualquier cosa. De la misma manera, no asumimos nada especial sobre M, y así lo que sea que pudiéramos mostrar sobreM debe sostenerse para todos los modelos.
Considera un ejemplo más. El argumento fx (Hx&Jx).. A obviamentexHx es válido. Sólo podemos demostrar que el argumento es válido considerando lo que debe ser cierto en cada modelo en el que la premisa es cierta.
Consideremos un modelo arbitrarioM en el que la premisax p (Hx&Jx) es verdadera. La conjunciónHx &Jx se satisface independientemente de lo que se le asignex, por lo queHx debe ser también (por la parte 3 de la definición de satisfacción). Como tal, (ax)Hx se satisface por cualquier asignación variable (por la parte 7 de la definición de satisfacción) y verdadero enM (por la definición de la verdad). Como no asumimos nada acerca de queM además de que [Hxy]x (&Jx) fuera cierto, ([x])Hx debe ser cierto en cualquier modelo en el que [px] (Hx&Jx) sea verdadero. Entonces,x [Hx&Jx] |= fxHx.
Incluso para un argumento sencillo como éste, el razonamiento es algo complicado. Para argumentos más largos, el razonamiento puede ser asegurable. El problema surge porque hablar de una infinidad de modelos requiere razonar las cosas en inglés. ¿Qué vamos a hacer?
Podríamos tratar de formalizar nuestro razonamiento sobre los modelos, codificando las estrategias de dividir y conquistar que usamos anteriormente. Este enfoque, originalmente llamado tableaux semánticos, fue desarrollado en la década de 1950 por Evert Beth y Jaakko Hincikka. Sus tableaux ahora se llaman más comúnmente árboles de la verdad.
Un enfoque más tradicional es considerar los argumentos deductivos como pruebas. Un sistema de prueba consiste en reglas que distinguen formalmente entre argumentos legítimos e ilegítimos, sin considerar modelos ni los significados de los símbolos. En el siguiente capítulo, desarrollamos sistemas de prueba para SL y QL.