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1.2: La ganancia de bucle cerrado de un amplificador operacional

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    Como se mencionó en la introducción, la mayoría de las conexiones de amplificador operacional implican retroalimentación. Por lo tanto, el usuario normalmente está interesado en disuadir la minería de la ganancia de bucle cerrado o la función de transferencia de bucle cerrado del amplificador, que resulta cuando se incluye retroalimentación. Como veremos, esta cantidad puede hacerse dependiente principalmente de las características de los elementos de retroalimentación en muchos casos de interés.

    Un requisito previo para el material presentado en el resto de este libro es la capacidad de determinar la ganancia de la combinación de la red amplificador-retroalimentación en conexiones simples. Las técnicas utilizadas para evaluar la ganancia de bucle cerrado se describen en esta sección.

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    Figura 1.1 Símbolo para un amplificador operacional.

    Cálculo de ganancia de bucle cerrado

    El símbolo utilizado para designar un amplificador operacional se muestra en la Figura 1.1. El amplificador mostrado tiene una entrada diferencial y una salida única. Los terminales de entrada marcados - y + se denominan terminales de entrada inversora y no inversora respectivamente. La relación lineal-región implícita entre las variables de entrada y salida (*) es

    * La notación utilizada para designar variables del sistema consiste en un símbolo y un subíndice. Esta combinación sirve no sólo como etiqueta, sino también para identificar la naturaleza de la cantidad de la siguiente manera: Variables instantáneas
    totales: símbolos en
    minúscula con subíndices mayúsculas.
    Variables quiescentes o de punto operativo: símbolos
    mayúsculas con subíndices mayúsculas.
    Variables instantáneas incrementales: símbolos
    en minúscula con subíndices en minúscula.
    Amplitudes complejas o transformaciones de Laplace de variables incrementales: símbolos en
    mayúsculas con subíndices en minúscula.
    Usando esta notación escribiríamos\(v1 = V_1 + v_i\), indicando que el valor instantáneo de vi consiste en un componente quiescente más un componente incremental. La transformación de vi es Vi. La notación\(V_i (s)\) se utiliza a menudo para reforzar el hecho de que\(V_i\) es una función de la variable compleja\(s\).

    \[V_o = a(V_a - V_b) \nonumber \]

    La cantidad a en esta ecuación es la ganancia de bucle abierto o la función de transferencia de bucle abierto del amplificador. (Tenga en cuenta que se asume una ganancia de a, incluso si no se indica explícitamente dentro del símbolo del amplificador). La dinámica normalmente asociada a esta función de transferencia se enfatiza frecuentemente por escrito\(a(s)\).

    También es necesario proporcionar energía de funcionamiento al amplificador operativo a través de terminales de fuente de alimentación. Muchos amplificadores operacionales utilizan voltajes de alimentación balanceados (igual positivo y negativo). Las diversas señales suelen ser referenciadas a la conexión a tierra común de estas fuentes de alimentación. Las conexiones de alimentación normalmente no se incluyen en diagramas en tendidos únicamente a indicar relaciones entre variables de señal, ya que eliminar estas conexiones simplifica el diagrama.

    Aunque los amplificadores operacionales se utilizan en una miríada de configuraciones, muchas aplicaciones son variaciones de la conexión inversora (Figura 1.2a) o la conexión no inversora (Figura 1.2b). Estas conexiones com bine el amplificador con impedancias que proporcionan retroalimentación.

    La función de transferencia de bucle cerrado se calcula de la siguiente manera para la conexión de inversión. Debido a la polaridad de referencia elegida para la variable intermedia\(V_a\),

    \[V_o = -aV_a \nonumber \]

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    Figura 1.2 Conexiones de amplificador operacional. (a) Invertir. b) No inversión.

    donde se ha supuesto que la tensión de salida del amplificador no es modificada por la carga de la\(Z_1-Z_2\) red. Si la impedancia de entrada del amplificador en sí es lo suficientemente alta como para que la\(Z_1 - Z_2\) red no se cargue significativamente, el voltaje\(V_a\) es

    \[V_a = \left ( \dfrac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \right ) V_i + \left ( \dfrac{Z_1}{Z_1 + Z_2} \right ) V_o \nonumber \]

    Combinando los rendimientos de las ecuaciones 1.2 y 1.3

    \[V_o = -\left ( \dfrac{a Z_2}{Z_1 + Z_2} \right ) V_i - \left ( \dfrac{a Z_1}{Z_1 + Z_2} \right ) V_o \nonumber \]

    o, resolviendo la ganancia de bucle cerrado,

    \[\dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{-aZ_2/(Z_1 + Z_2)}{1 + [aZ_1/(Z_1 + Z_2)]} \nonumber \]

    La condición que es necesaria para que la ganancia de bucle cerrado dependa principalmente de las características de la\(Z_i-Z_2\) red y no del rendimiento del propio amplificador se determina fácilmente a partir de la Ecuación 1.5. En cualquier frecuencia en la\(\omega\) que\(|a(j\omega) Z_1 (j\omega)/[Z_1(j\omega) + Z_2 (j\omega)]| \gg 1\) se satisfaga la desigualdad, la Ecuación 1.5 reduce a

    \[\dfrac{V_o (j\omega)}{V_i (j\omega)} \simeq -\dfrac{Z_2 (j\omega)}{Z_1 (j\omega)} \nonumber \]

    El cálculo de ganancia de bucle cerrado para la conexión no inversora es similar. Si asumimos una carga insignificante en la entrada y salida del amplificador,

    \[V_o = a(V_i - V_a) = aV_i - \left ( \dfrac{aZ_1}{Z_1 + Z_2} \right ) V_o \nonumber \]

    o

    \[\dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{a}{1+[aZ_1/(Z_1 + Z_2)]} \nonumber \]

    Esta expresión se reduce a

    \[\dfrac{V_o (j\omega)}{V_i (j\omega)} \simeq \dfrac{Z_1 (j\omega) + Z_2 (j\omega)}{Z_1 (j\omega)} \nonumber \]

    cuando\(|a(j \omega) Z_1 (j \omega)/[Z_1 (j \omega) + Z_2 (j \omega)]| \gg 1\).

    La cantidad

    \[L = \dfrac{-aZ_1}{Z_1 + Z_2} \nonumber \]

    es la transmisión en bucle para cualquiera de las conexiones de la Figura 1.2. La transmisión en bucle es de fundamental importancia en cualquier sistema de retroalimentación porque influye prácticamente en todos los parámetros de bucle cerrado del sistema. Por ejemplo, la discusión anterior muestra que si la magnitud de la transmisión de bucle es grande, la ganancia de bucle cerrado de la conexión del amplificador inversora o no inversora se vuelve prácticamente independiente de a. esta relación es valiosa, ya que los componentes de retroalimentación pasiva que disuadir la ganancia de bucle cerrado para una gran magnitud de transmisión en bucle normalmente son considerablemente más estables con el tiempo y los cambios ambientales que la ganancia de bucle abierto a.

    La transmisión de bucle se puede determinar estableciendo las entradas de un sistema de retroalimentación a cero y rompiendo la trayectoria de la señal en cualquier punto dentro del bucle de retroalimentación. (Existen dificultades prácticas, como asegurar que los diversos elementos en el bucle permanezcan en sus regiones lineales de operación y que la carga se mantenga. Estas dificultades complican la determinación de la transmisión en bucle en sistemas físicos. Por lo tanto, la técnica aquí descrita debe considerarse un experimento conceptual. Los métodos que son útiles para el hardware real se introducen en secciones posteriores). La transmisión de bucle es la relación de la señal devuelta por el bucle a una prueba aplicada en el punto donde se abre el bucle. La Figura 1.3 indica una manera de determinar la transmisión en bucle para las conexiones de la Figura 1.2. Tenga en cuenta que la topología mostrada es común tanto a la conexión inversora como a la no inversora cuando los puntos de entrada están conectados a tierra.

    Es importante enfatizar la diferencia entre la transmisión en bucle, que depende de las propiedades tanto de los elementos de retroalimentación como del amplificador operacional, y la ganancia de bucle abierto del amplificador operacional en sí.

    Ganancia ideal de bucle cerrado

    Los cálculos detallados de ganancia similares a los de la última sección siempre son posibles para las conexiones operacional-amplificador. Sin embargo, los amplificadores operacionales se usan frecuentemente en conexiones de retroalimentación donde las características de bucle son tales que la ganancia de bucle cerrado está determinada principalmente por los elementos de retroalimentación. Por lo tanto, aproximaciones que indican la ganancia ideal de bucle cerrado o la ganancia que resulta con características de amplificador perfectas simplifican el análisis o diseño de muchas conexiones prácticas.

    Es posible calcular la ganancia ideal de bucle cerrado suponiendo que solo se cumplan dos condiciones (además de la condición implícita de que la combinación amplificador-red de retroalimentación es estable (La estabilidad se discute en detalle en el Capítulo 4.)).

    1. Un voltaje diferencial insignificante aplicado entre los dos terminales de entrada del amplificador es suficiente para producir cualquier voltaje de salida deseado.

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    Figura 1.3 Transmisión en bucle para conexiones de la Figura 1.2. La transmisión en bucle es\(V_r/V_t = -a Z_1/(Z_1 + Z_2)\).

    2. La corriente requerida en cualquiera de los terminales del amplificador es insignificante.

    El uso de estos supuestos para calcular la ganancia de bucle cerrado ideal se ilustra primero para la conexión del amplificador inversor (Figura 1.2a). Dado que el terminal de entrada del amplificador no inversor está conectado a tierra en esta conexión, la condición 1 implica que

    \[V_a \simeq 0 \nonumber \]

    La ley actual de Kirchhoff combinada con la condición 2 muestra que

    \[I_a + I_b \simeq 0 \nonumber \]

    Con la Ecuación 1.11 satisfecha, las corrientes\(I_a\) y\(I_b\) se determinan fácilmente en términos de los voltajes de entrada y salida.

    \[I_a \simeq \dfrac{V_i}{Z_1} \nonumber \]

    \[I_b \simeq \dfrac{V_o}{Z_2} \nonumber \]

    Combinando las ecuaciones 1.12, 1.13 y 1.14 y resolviendo la relación de\(V_o\) a\(V_i\) produce la ganancia ideal de bucle cerrado

    \[\dfrac{V_o}{V_i} = -\dfrac{Z_2}{Z_1} \nonumber \]

    La técnica utilizada para determinar la ganancia de bucle cerrado ideal se denomina método de tierra virtual cuando se aplica a la conexión inversora, ya que en este caso se supone que el terminal de entrada inversora del amplificador operacional está a potencial de tierra.

    El amplificador no inversor (Figura 1.2b) proporciona un segundo ejemplo de determinación de ganancia ideal. La condición 2 asegura que el voltaje no\(V_a\) está influenciado por la corriente en la entrada inversora. Por lo tanto,

    \[V_a \simeq \dfrac{Z_1}{Z_1 +Z_2} V_o \nonumber \]

    Dado que la condición 1 requiere igualdad entre\(V_a\), y\(V_i\), la ganancia de bucle cerrado ideal es

    \[\dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{Z_1 + Z_2}{Z_1} \nonumber \]

    Las condiciones se pueden utilizar para determinar valores ideales para características distintas a la ganancia. Consideremos, por ejemplo, la impedancia de entrada de las dos conexiones de amplificador mostradas en la Figura 1.2. En la Figura 1.2a, el terminal de entrada inversora y, en consecuencia, el extremo derecho de la impedancia\(Z_1\), se encuentra a potencial de tierra si las características del amplificador son ideales. Por lo tanto, la impedancia de entrada vista por la fuente de accionamiento es simplemente\(Z_1\). La fuente de entrada está conectada directamente a la entrada no inversora del amplificador operacional en la topología de la Figura 1.2 b. Si el amplificador satisface la condición 2 y tiene corriente de entrada insignificante requerida en este terminal, la impedancia que carga la fuente de señal será muy alta. La conexión no inversora se utiliza a menudo como amplificador de búfer por esta razón.

    Las dos condiciones utilizadas para determinar la ganancia de bucle cerrado ideal son engañosamente simples, ya que se requiere una combinación compleja de tics de caracteres de amplificador para asegurar la satisfacción de estas condiciones. Considera la primera condición. La ganancia de voltaje de bucle abierto alta a frecuencias de operación anticipadas es necesaria pero no suficiente para garantizar esta condición. Tenga en cuenta que la ganancia a la frecuencia de interés es necesaria, mientras que la ganancia alta de bucle abierto especificada por el fabricante normalmente se mide en d-c. Esta especificación es algo engañosa, ya que la ganancia puede comenzar a disminuir a una frecuencia del orden de un hercio o menos.

    Además de la alta ganancia de bucle abierto, el amplificador debe tener un desplazamiento de bajo voltaje (Offset y otros problemas con los amplificadores d-c se discuten en el Capítulo 7. ) referida a la entrada para satisfacer la primera condición. Esta cantidad, definida como el voltaje que se debe aplicar entre los terminales de entrada del amplificador para hacer cero el voltaje de salida, generalmente surge debido a las coincidencias erróneas entre varios componentes del amplificador.

    Sorprendentemente, la impedancia de entrada incremental de un amplificador operacional a menudo tiene relativamente poco efecto en su corriente de entrada, ya que la tensión que aparece a través de esta impedancia es muy baja si se satisface la condición 1. Una contribución más importante a la corriente de entrada a menudo resulta de la corriente de polarización que se debe suministrar a los transistores de entrada del amplificador.

    Muchas de las técnicas de diseño que se utilizan en un intento de combinar las dos condiciones necesarias para acercarse a la ganancia ideal se describen en secciones subsecuentes.

    La razón por la que la satisfacción de las dos condiciones introducidas anteriormente garantiza que la ganancia real de bucle cerrado del amplificador se acerca al valor ideal es debido a la retroalimentación negativa asociada con las conexiones operacional-amplificador. Supongamos, por ejemplo, que la tensión real de la conexión de amplificador inversor mostrada en la Figura 1.2a es más positiva que el valor predicho por la relación ideal-ganancia para un nivel de señal de entrada particular. En este caso, la tensión\(V_a\) será positiva, y esta tensión positiva aplicada al terminal de entrada inversora del amplificador acciona la tensión de salida negativa hasta alcanzar el equilibrio. Este razonamiento muestra que en realidad es la retroalimentación negativa la que obliga a que el voltaje entre los dos terminales de entrada sea muy pequeño.

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    Figura 1.4 Amplificador sumador.

    Alternativamente, considere la situación que resulta si se utiliza retroalimentación positiva intercambiando las conexiones a los dos terminales de entrada del amplificador. En este caso, el voltaje\(V_a\) vuelve a ser cero cuando\(V_o\) y\(V_i\) están relacionados por la expresión de ganancia de bucle cerrado ideal. Sin embargo, el equilibrio resultante es inestable, y una pequeña perturbación del voltaje de salida ideal da como resultado que este voltaje sea impulsado más lejos del valor ideal hasta que el amplificador se satura. La ganancia ideal no se logra en este caso a pesar de las características perfectas del amplificador porque la conexión es inestable. Como veremos, las conexiones de retroalimentación negativa también pueden ser inestables. La ganancia ideal de estos sistemas inestables no tiene sentido porque oscilan, produciendo una señal de salida que a menudo es casi independiente de la señal de entrada.

    Ejemplos

    La técnica introducida en la última sección se puede utilizar para determinar la función de transferencia de bucle cerrado ideal de cualquier conexión operacional-amplificador. El amplificador sumador mostrado en la Figura 1.4 ilustra el uso de esta técnica para una conexión ligeramente más compleja que los dos amplificadores básicos discutidos anteriormente.

    Dado que el terminal de entrada inversora del amplificador es una tierra virtual, las corrientes se pueden determinar como

    \[\begin{array} {rcl} {I_{i1}} & = & {\dfrac{V_{i1}}{Z_{i1}}} \\ {I_{i2}} & = & {\dfrac{V_{i2}}{Z_{i2}}} \\ {} & \cdot & {} \\ {} & \cdot & {} \\ {} & \cdot & {} \\ {I_{iN}} & = & {\dfrac{V_{iN}}{Z_{iN}}} \\ {I_f} & = & {\dfrac{V_o}{Z_f}} \end{array} \nonumber \]

    Estas corrientes deben sumar a cero en ausencia de corriente significativa en el terminal de entrada inversora del amplificador. Así

    \[I_{i1} + I_{i2} + \cdots + I_{iN} + I_f = 0 \nonumber \]

    Combinando las Ecuaciones 1.18 y 1.19 muestra que

    \[V_o = -\dfrac{Z_f}{Z_{i1}} V_{i1} - \dfrac{Z_f}{Z_{i2}} V_{i2} - \cdots - \dfrac{Z_f}{Z_{iN}} V_{iN} \nonumber \]

    Vemos que este amplificador, que es una extensión de la conexión básica del amplificador inversor, proporciona una salida que es la suma ponderada de varios voltajes de entrada.

    La suma es una de las “operaciones” que operan amplificadores por forma en cómputos analógicos. Un desarrollo posterior (Sección 12.3)

    muestran que si las operaciones de ganancia, suma e integración se combinan, se puede construir una red eléctrica que satisfaga cualquier ecuación diferencial lineal y ordinaria. Esta técnica es la base para la comunicación analógica.

    Los integradores necesarios para la computación analógica o para cualquier otra aplicación se pueden construir usando un amplificador operacional en la conexión de inversión (Figura 1.2a) y haciendo de la impedancia\(Z_2\) un condensador\(C\) y la impedancia\(Z_1\) una resistencia\(R\). En este caso, la Ecuación 1.15 muestra que la función ideal de transferencia de bucle cerrado es

    \[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = -\dfrac{Z_2 (s)}{Z_1 (s)} = -\dfrac{1}{RCs} \nonumber \]

    para que la conexión funcione como integrador inversor.

    También es posible construir integradores no inversores usando un amplificador operacional conectado como se muestra en la Figura 1.5. Esta topología precede a un amplificador no inversor con un filtro de paso bajo. La función de transferencia ideal desde la entrada no inversora del amplificador a su salida es (ver Ecuación 1.17)

    \[\dfrac{V_o (s)}{V_a (s)} = \dfrac{RVs + 1}{RCs} \nonumber \]

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    Figura 1.5 Integrador no inversor.
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    Figura 1.6 Circuito logarítico.

    Dado que las condiciones para un amplificador operacional ideal excluyen la corriente de entrada, la función de transferencia de\(V_i\) a se\(V_a\) puede calcular sin carga, y en este caso

    \[\dfrac{V_a (s)}{V_i (s)} = \dfrac{1}{R_1 C_1 s + 1} \nonumber \]

    La combinación de las ecuaciones 1.22 y 1.23 muestra que la ganancia ideal de bucle cerrado es

    \[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = \left [\dfrac{1}{R_1 C_1s + 1} \right ] \left [\dfrac{RCs + 1}{RCs} \right ] \nonumber \]

    Si las dos constantes de tiempo en la Ecuación 1.24 se hacen iguales, se obtiene la inte gration no inversora.

    La comparación entre las dos conexiones del integrador sugiere la posibilidad de realizar la mayoría de las funciones a través de una conexión inversora o no inversora. Consideraciones prácticas a menudo recomiendan un enfoque ap en preferencia al otro. Por ejemplo, el integrador no inversor requiere más componentes externos que la versión inversora. Esta diferencia es importante porque los capacitores de alta calidad requeridos para una integración precisa suelen ser más grandes y más caros que el amplificador opercional que se utiliza.

    Los ejemplos considerados hasta ahora han involucrado solo elementos lineales, al menos si se asume que el amplificador operacional permanece en su lineal

    región operativa. Los amplificadores operacionales también se utilizan con frecuencia en conexiones intencionalmente no lineales. Una posibilidad es el circuito que se muestra en la Figura 1.6. (Obsérvese que la notación para las variables utilizadas en este caso combina variables minúsculas con subíndices mayúsculas, indicando las señales instantáneas totales necesarias para describir las relaciones no lineales anticipadas). Se supone que la relación corriente-voltaje del diodo es

    \[i_D = I_S (e^{qv_D/kT} - 1) \nonumber \]

    donde\(I_s\) es una constante dependiente de la construcción del diodo,\(q\) es la carga de un electrón,\(k\) es la constante de Boltzmann, y\(T\) es la temperatura absoluta. Si el voltaje en la entrada inversora del amplificador es insignificante, el voltaje del diodo es igual al voltaje de salida. Si la corriente de entrada es insignificante, la corriente del diodo y la corriente se\(i_R\) suman a cero. Por lo tanto, si se cumplen estas dos condiciones,

    \[-\dfrac{v_I}{R} = I_S (e^{qv_O/kT} - 1) \nonumber \]

    Considera la operación con un voltaje de entrada positivo. El valor negativo máximo de la corriente del diodo está limitado a\(-I_s\). Si\(v_I/R > I_S\), la corriente a través del diodo polarizado inverso no puede equilibrar la corriente\(I_R\). En consecuencia, el voltaje de salida del amplificador es accionado negativo hasta que el amplificador se satura. En este caso, el bucle de retroalimentación no puede mantener el voltaje en la entrada del amplificador inversor cerca de tierra debido a la corriente limitada que el diodo puede conducir en la dirección inversa. El problema claramente no es con el amplificador, ya que no existe solución a la Ecuación 1.26 para valores suficientemente positivos de\(v_I\).

    Este problema no existe con valores negativos para\(v_I\). Si la magnitud de iR es considerablemente mayor que Is (los valores típicos para Is son menores que\(10^{-9}\) A), la Ecuación 1.26 reduce a

    \[-\dfrac{v_I}{R} \simeq I_S e^{qv_O/kT} \nonumber \]

    o

    \[v_O \simeq \dfrac{kT}{q} \ln \left (\dfrac{-v_I}{RI_S} \right ) \nonumber \]

    Así, el circuito proporciona una tensión de salida proporcional al log de la magnitud de la tensión de entrada para entradas negativas.


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