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# 6.2: Linealización

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Un método directo y potente para el análisis de sistemas no lineales implica la aproximación del sistema real por uno lineal. Si el sistema de aproximación se elige correctamente, predice con precisión el comportamiento del sistema real en algún rango restringido de niveles de señal. Esta técnica de linealización basada en una aproximación tangente a una relación no lineal es familiar para los ingenieros eléctricos, ya que se utiliza para modelar muchos dispositivos electrónicos. Por ejemplo, el transistor bipolar es un elemento altamente no lineal. Con el fin de desarrollar un modelo de región lineal como el modelo híbrido pi para predecir el comportamiento del circuito de este dispositivo, se linealizan las relaciones entre la tensión base a emisor y el colector y la corriente base. De igual manera, si el rendimiento dinámico del transistor es de interés, las capacitancias linealizadas que relacionan los cambios incrementales en la carga almacenada con los cambios incrementales en las tensiones de los terminales se incluyen en el modelo.

## Función de aproximación

La aproximación tangente se basa en el uso de una estimación de la función de interés en la serie de Taylor. En general, se supone que la variable de salida de un elemento es una función de las variables de$$N$$ entrada

$v_O = F(v_{I1}, v_{I2}, ..., v_{IN}) \nonumber$

La variable de salida se expresa para una pequeña variación$$v_{i1}, v_{i2}, ..., v_{iN}$$ sobre los puntos operativos de la variable de entrada$$V_{I1}, V_{I2}, ..., V_{IN}$$ al señalar que

$\begin{array} {rcl} {v_O} & = & {V_O + v_o = F(V_{I1}, V_{I2}, ..., V_{IN})} \\ {} & \ & {+ \sum_{j = 1}^{N} \left.\dfrac{\partial V_O}{\partial V_{Ij}} \right|_{\begin{array} {c} {v_{ij}} \\ {V_{I1}, V_{I2}, ..., V_{IN}} \end{array}}} \\ {} & \ & {+ \dfrac{1}{2!} \sum_{k,l = 1}^{N} \left. \dfrac{\partial^2 V_O}{\partial V_{Ik} \partial V_{Il}} \right |_{\begin{array} {c} {v_{ik}v_{il}} \\ {V_{I1}, V_{I2}, ..., V_{IN}} \end{array}} + \cdots +} \end{array}\label{eq6.2.2}$

(Recordemos que la notación de variable y subíndice utilizada indica que$$V_o$$ es una variable total,$$V_o$$ es su valor de punto operativo y$$v_o$$ su componente incremental).

La expansión de la Ecuación$$\ref{eq6.2.2}$$ es válida en cualquier punto operativo donde existan las derivadas.

$V_O + v_o \simeq F(V_{I1}, V_{I2}, ..., V_{IN}) + \sum_{j = 1}^{N} \left. \dfrac{\partial V_O}{\partial V_{Ij}}\right|_{\begin{array} {c} {v_{ij}} \\ {V_{I1}, V_{I2}, ..., V_{IN}} \end{array}}\label{eq6.2.3}$

Los términos constantes en Ecuación$$\ref{eq6.2.3}$$ se substraen, dejando

$v_o \simeq \sum_{j = 1}^{N} \dfrac{\partial V_O}{\partial V_{Ij}}|_{\begin{array} {c} {v_{ij}} \\ {V_{I1}, V_{I2}, ..., V_{IN}} \end{array}}\label{eq6.2.4}$

La ecuación se$$\ref{eq6.2.4}$$ puede utilizar para desarrollar ecuaciones de sistema lineal que relacionan variables incrementales en lugar de totales y que aproximan el comportamiento incremental del sistema real en algún rango restringido de operación. En la Figura 6.1 se muestra un diagrama de bloques de las relaciones implícitas por la Ecuación$$\ref{eq6.2.4}$$.

## Análisis de un Divisor Analógico

Ciertos tipos de operaciones de procesamiento de señales requieren que se determine la relación de dos variables analógicas, y esta función puede ser realizada por un divisor. La división se logra frecuentemente aplicando retroalimentación alrededor de un multiplicador analógico, y varios multiplicadores disponibles comercialmente se pueden convertir en divisores haciendo conexiones en puente apropiadas al amplificador de salida incluido en estas unidades. Una posible conexión divisora de este tipo se muestra en la Figura 6.2$$a$$.

El factor de escala multiplicador que se muestra en esta figura se usa comúnmente ya que proporciona una salida a escala completa de 10 voltios para dos señales de entrada de 10 voltios. Se supone que el elemento multiplicador en sí no tiene dinámica y así la velocidad de respuesta del sistema está determinada por el amplificador operacional.

La relación ideal entre las variables de entrada y salida se puede determinar fácilmente utilizando el método de tierra virtual-terrestre. Si la corriente en la entrada inversora del amplificador es pequeña y si la magnitud de la transmisión en bucle es lo suficientemente alta como para que el voltaje en este terminal sea insignificante, las relaciones del circuito son

$v_A + v_D = 0\label{eq6.2.5}$

y

$v_D = \dfrac{v_B v_C}{10} = \dfrac{v_Bv_O}{10}\label{eq6.2.6}$

Resolviendo ecuaciones$$\ref{eq6.2.5}$$ y$$\ref{eq6.2.6}$$ para$$v_O$$ en términos de$$v_A$$ y$$v_B$$ rendimientos

$v_O = - \dfrac{10v_A}{v_B} \nonumber$

La dinámica del sistema se determina linealizando las características de los elementos múltiples. Aplicando Ecuación$$\ref{eq6.2.3}$$ a las variables de Ecuación$$\ref{eq6.2.6}$$ muestra que

$V_D + v_d \simeq \dfrac{V_B V_C}{10} + \dfrac{V_B v_c}{10} + \dfrac{V_C v_b}{10} \nonumber$

La porción incremental de esta ecuación es

$v_d = \dfrac{V_B v_c}{10} + \dfrac{V_c v_b}{10} \nonumber$

Esta relación combinada con otras restricciones de circuito (suponiendo que el amplificador operacional tiene impedancia de entrada infinita e impedancia de salida cero) se utiliza para desarrollar el diagrama de bloques incremental que se muestra en la Figura 6.2$$b$$.

La dependencia incremental de$$V_o$$$$V_a$$, asumiendo que$$v_B$$ es constante, es

$\dfrac{V_o (s)}{V_a (s)} = \dfrac{-a(s)/2}{1 + V_B a(s)/20}\label{eq6.2.10}$

Si la función de transferencia del amplificador operacional es aproximadamente de un solo polo, de modo que

$a(s) = \dfrac{a_0}{\tau s + 1} \nonumber$

y$$a_0$$ es muy grande, Ecuación$$\ref{eq6.2.10}$$ reduce a

$\dfrac{V_o (s)}{V_a (s)} \simeq \dfrac{-10/V_B}{(20\tau /V_B a_0)s + 1} \nonumber$

Varias características son evidentes a partir de esta función de transferencia. Primero, si$$V_B$$ es negativo, el sistema es inestable. Segundo, la respuesta escalonada incremental del sistema es de primer orden, con una constante de tiempo de$$20\tau / V_Ba_0$$ segundos. Estas características indican dos de las muchas formas en que las no linealidades pueden afectar el rendimiento de un sistema. La estabilidad del circuito depende de un nivel de señal de entrada. Además, si$$V_B$$ es positiva, la respuesta transitoria del circuito se vuelve más rápida con el aumento$$V_B$$, ya que la transmisión en bucle depende del valor de esta entrada.

## Sistema de Suspensión Magnética

Un sistema electromecánico que proporciona un segundo ejemplo de análisis linealizado se ilustra en la Figura 6.3. El propósito del sistema es suspender una bola de hierro en el campo de un electroimán. Solo se considera el movimiento vertical de la pelota.

Para suspender la bola es necesario cancelar la fuerza gravitacional descendente sobre la bola con una fuerza ascendente producida por el imán. Es evidente que la estabilización con corriente constante es imposible, ya que si bien existe un valor$$x_B$$ para el que no existe una fuerza neta sobre la pelota, una pequeña desviación de esta posición cambia la fuerza magnética de tal manera que se acelera la pelota más lejos del equilibrio. Este efecto se puede cancelar controlando adecuadamente la corriente del imán en función de la posición de la bola medida.

Para ciertas geometrías y con la elección adecuada de la posición de referencia para$$x_B$$, la fuerza magnética$$f_M$$ ejercida sobre la bola en dirección ascendente es

$f_M = \dfrac{Ci_M^2}{x_B^2} \nonumber$

donde$$C$$ es una constante.
Suponiendo cambios incrementales$$x_b$$ y$$i_m$$ sobre los valores del punto operativo$$X_B$$ y$$I_M$$, respectivamente,

$f_M = F_M + f_m = \dfrac{CI_M^2}{X_B^2} + \dfrac{2CI_M}{X_B^2} i_m - \dfrac{2CI_M^2}{X_B^3} x_b + \text{ higher-order terms}\label{eq6.2.14}$

La ecuación de movimiento de la pelota es

$\dfrac{Md^2 x_B}{dt^2} = Mg - f_M\label{eq6.2.15}$

donde$$g$$ está la aceleración de la gravedad. Los valores de equilibrio o punto operativo se seleccionan de modo que

$Mg = \dfrac{CI_M^2}{X_B^2} \nonumber$

Cuando combinamos Ecuaciones$$\ref{eq6.2.14}$$$$\ref{eq6.2.15}$$ y asumimos la operación sobre el punto de equilibrio, la relación linealizada entre las variables incrementales se convierte

$\dfrac{Md^2 x_b}{dt^2} - \dfrac{2CI_M^2}{X_B^3} x_b = -\dfrac{2CI_M}{X_B^2}i_m\label{eq6.2.17}$

La ecuación$$\ref{eq6.2.17}$$ se transforma y se reordena como

$\dfrac{s^2 X_b(s)}{k^2} - X_b (s) = X_b(s) \left (\dfrac{s}{k} + 1 \right ) \left (\dfrac{s}{k} - 1 \right ) = -\dfrac{X_B}{I_M} I_m (s)\label{eq6.2.18}$

donde$$k^2 = 2CI_M^2 / MX_B^3$$.

La retroalimentación se aplica al sistema haciendo$$i_m$$ una función lineal de$$x_b$$, o

$I_m (s) = a(s) X_b (s)\label{eq6.2.19}$

Las ecuaciones$$\ref{eq6.2.18}$$ y$$\ref{eq6.2.19}$$ se utilizan para dibujar el diagrama de bloques linealizado que se muestra en la Figura 6.4. [La entrada$$I_m'(s)$$ se utiliza como entrada de prueba más adelante en el análisis.]

La transmisión en bucle para este sistema

$L(s) = -\dfrac{a(s) \dfrac{X_B}{I_M}}{\left (\dfrac{s}{k} + 1 \right ) \left (\dfrac{s}{k} - 1 \right )} \nonumber$

contiene un polo en el plano de la mitad derecha que refleja el hecho de que el sistema es inestable en ausencia de retroalimentación. Un intento ingenuo de estabilización para este tipo de sistema implica la cancelación del polo de medio plano derecho con un cero de$$a(s)$$. Si bien tal cancelación funciona cuando las singularidades en cuestión están en el plano de la mitad izquierda, está condenada al fracaso en este caso. Aunque el polo aparentemente podría ser eliminado de la transmisión en bucle por este método, (Las tolerancias de componentes impiden la cancelación exacta en cualquier sistema excepto matemático) considere la función de transferencia de bucle cerrado que se$$X_b$$ relaciona con una perturbación$$I_m'$$.

Si$$a(s)$$ se selecciona como$$a'(s) (s/k - 1)$$, esta función de transferencia es

$\dfrac{X_b (s)}{I_m' (s)} = \dfrac{\dfrac{-X_B/I_M}{(s/k + 1)(s/k - 1)}}{1 + \dfrac{a'(s) X_B/I_M}{s/k + 1}}\label{eq6.2.21}$

$$\ref{eq6.2.21}$$La ecuación contiene un polo de medio plano derecho que implica respuestas de crecimiento exponencial para Xb aunque este crecimiento no se observe como un cambio en$$i_m$$.

Se puede determinar un método satisfactorio para compensar el sistema considerando los diagramas root-locus mostrados en la Figura 6.5. La Figura 6.5$$a$$ es el diagrama para la retroalimentación independiente de la frecuencia con$$a(s) = a_0$$. A medida$$a_0$$ que se incrementa, los dos polos se juntan y se ramientan a lo largo del eje imaginario. Este diagrama muestra que es posible eliminar el poste de bucle cerrado del plano de la mitad derecha si ao se elige apropiadamente. Sin embargo, los polos no se pueden mover hacia el plano de la mitad izquierda y, por lo tanto, el sistema presenta respuestas oscilatorias intactas. El sistema se puede estabilizar mediante la inclusión de una función de transferencia de plomo en$$a(s)$$. Es posible mover todos los polos de bucle cerrado al plano de la mitad izquierda para cualquier parámetro de red de conductores junto con un valor suficientemente alto de$$a_0$$. La Figura 6.5$$b$$ ilustra las trayectorias de raíz para una posible elección de singularidades de red de plomo.

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