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13.2: Compensación cuando se fija la función de transferencia del amplificador operacional

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    Muchos amplificadores operativos disponibles tienen funciones de transferencia de bucle abierto que no pueden ser alteradas por el usuario. Esta inflexibilidad es la regla general en el caso de los amplificadores de componentes discretos, y muchos diseños de circuitos integrados también incluyen redes de compensación internas (y por lo tanto fijas). Si la elección de los fabricantes de la función de transferencia de bucle abierto es aceptable en la aplicación prevista, estos amplificadores son fáciles de usar. Por el contrario, si la dinámica de bucle debe modificarse para un rendimiento aceptable, las opciones disponibles para el diseñador son relativamente limitadas. En esta sección se indican algunas de las posibilidades.

    Compensación de entrada

    La compensación de entrada consiste en derivar una red pasiva entre los terminales de entrada de un amplificador operacional de manera que las características de la red agregada, a menudo combinadas con las propiedades de la red de retroalimentación, alteren ventajosamente la transmisión en bucle del sistema. Esta forma de compensación no cambia la función ideal de transferencia de bucle cerrado de la combinación amplificador-red de retroalimentación. Ya hemos visto un ejemplo de esta técnica en la discusión de la compensación de lag utilizando la topología mostrada en la Figura 5.13. Ese ejemplo particular utilizó una conexión de amplificador no inversor, pero se pueden obtener resultados similares para una conexión de amplificador inversor derivando una impedancia desde el terminal de entrada inversor a tierra.

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    Figura 13.1 Compensación de retardo para la conexión del amplificador inversor.

    La Figura 13.1 ilustra la topología para compensar el retraso de la conexión inversora. La transmisión en bucle para este sistema (suponiendo que la carga en la entrada y la salida del amplificador es insignificante) es

    \[L(s) = -\dfrac{a(s) R_1}{(R_1 + R_2)} \dfrac{(RCs + 1)}{[(R_1 ||R_2 + R) Cs + 1]} \nonumber \]

    La dinámica de esta transmisión en bucle incluye una función de transferencia de retraso con un polo ubicado en\(s = -[1/(R_1 || R_2 R) C]\) y un cero ubicado en\(s = -1/RC\).

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    Figura 13.2 Compensación de plomo para la conexión del amplificador inversor.

    El ejemplo de compensación de plomo usando la topología mostrada en la Figura 5.11 obtuvo la función de transferencia de cables al poner en paralelo una de las resistencias de la red de retroalimentación con un condensador. Una dificultad potencial con este enfoque es que se cambia la función de transferencia de bucle cerrado ideal. Una alternativa se ilustra en la Figura 13.2. Dado que los valores de los componentes se seleccionan de modo que\(R_1 C_1 = R_2 C_2\), la función de transferencia de bucle cerrado ideal es

    \[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = -\dfrac{}{} = -\dfrac{R_2}{R_1} \nonumber \]

    La transmisión en bucle para esta conexión en ausencia de carga y siguiendo alguna manipulación algebraica es

    \[L(s) = -\dfrac{a(s) R_1 R}{(R_1 R_2 + R_1 R + R_2 R)} \dfrac{[(R_1 C_1)s + 1]}{[(R_1 || R_2 || R)(C_1 + C_2)s + 1]} \nonumber \]

    Una desventaja de este método es que disminuye la magnitud de transmisión de bucle d-c en comparación con la topología que deriva\(R_2\) solo con un condensador. La atenuación adicional que introduce este método más allá de la proporcionada por la\(R_1 -R_2\) red es igual a la relación de las dos frecuencias de interrupción de la función de transferencia de plomo.

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    Figura 13.3 Compensación de plomo y retardo para la conexión del amplificador no inversor.

    Este enfoque básico también se puede utilizar para combinar funciones de transferencia de plomo y retraso en una transmisión de bucle. La Figura 13.3 ilustra una posibilidad para una conexión no inversora. La igualdad de constantes de tiempo en la red de retroalimentación asegura que la ganancia ideal para esta conexión es

    \[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = \dfrac{R_1 + R_2}{R_1} \nonumber \]

    Alguna reducción algebraica indica que la transmisión de bucle (asumiendo una carga insignificante) es

    \[L(s) = -\dfrac{a(s)R_1}{(R_1 + R_2)} \dfrac{(RCs + 1)(R_1 C_1 s + 1)}{\{R R_1 C C_1 s^2 + [(R_1 || R_2 + R)C + R_1 C_1]s + 1\}} \nonumber \]

    Las restricciones entre los coeficientes en la función de transferencia relacionadas con las redes de retroalimentación y derivación garantizan que esta expresión pueda ser factorizada en una función de transferencia lead y lag, y que las relaciones de las ubicaciones de singularidad serán idénticas para las funciones lead y lag.

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    Figura 13.4 Seguidor de ganancia unitaria con compensación de entrada.

    La forma en que se utilicen topologías del tipo descrito anteriormente depende de la dinámica del amplificador a compensar y de la carga conectada al mismo. Por ejemplo, el HA2525 es un amplificador operacional monolítico (hecho por un proceso más involucrado que el proceso epitaxial de seis máscaras) que combina una frecuencia de ganancia unitaria de 20 MHz con una velocidad de giro de 120 voltios por microsegundo. La dinámica de este amplificador es tal que la estabilidad está garantizada solo para transmisiones en bucle que combinan la función de transferencia de bucle abierto del amplificador con una atenuación de tres o más. La Figura 13.4 muestra cómo se puede construir un seguidor estable de ganancia unitaria usando este amplificador. Los valores de los componentes se seleccionan para que el cero de la red de retardo se ubique aproximadamente una década por debajo de la frecuencia de cruce de transmisión de bucle compensada. Por supuesto, el condensador podría ser reemplazado por el cortocircuito, disminuyendo así la magnitud de la transmisión de bucle en todas las frecuencias. Sin embargo, las ventajas de la red de retardo mostrada incluyen mayor desensitividad a frecuencias intermedias y bajas y menor desplazamiento de salida para un desplazamiento dado referido a la entrada del amplificador.

    Hay muchas variaciones sobre el tema básico de compensar con una red derivada a través de los terminales de entrada de un amplificador operativo. Por ejemplo, muchos amplificadores con funciones de transferencia fija están diseñados para ser estables con retroalimentación directa siempre que la función de transferencia de bucle abierto descargada del amplificador no sea alterada por la carga. Sin embargo, un condensador de carga puede combinarse con la resistencia de salida de bucle abierto del amplificador para crear un polo que comprometa la estabilidad. El rendimiento a menudo se puede mejorar en estos casos mediante el uso de compensación de entrada de plomo para compensar los efectos del segundo polo en las proximidades de la frecuencia de cruce o mediante el uso de compensación de entrada de retardo para forzar el cruce por debajo de la frecuencia donde el polo asociado con la carga se vuelve importante.

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    Figura 13.5 Diferenciador. (\(a\)) No compensado. (\(b\)) Con compensación de plomo de entrada.

    En otras conexiones, un polo adicional que deteriora la estabilidad resulta de la red de retroalimentación. Como ejemplo, considere el diferenciador que se muestra en la Figura 13.5\(a\). La función de transferencia de bucle cerrado ideal para esta conexión es

    \[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = -s \nonumber \]

    Cabe señalar de entrada que esta conexión no es recomendable ya que, además de sus problemas de estabilidad, el diferenciador es un circuito inherentemente ruidoso. La razón es que la diferenciación acentúa el ruido de entrada del amplificador porque la ganancia ideal de un diferenciador es una función de frecuencia que aumenta linealmente.

    Muchos amplificadores están compensados para tener una función de transferencia de bucle abierto aproximadamente unipolar, ya que este tipo de función de transferencia da como resultado una excelente estabilidad siempre que el elemento de carga y la red de retroalimentación no introduzcan polos adicionales. En consecuencia, suponemos que para el amplificador mostrado en la Figura 13.5\(a\)

    \[a(s) = \dfrac{10^5}{0.01s + 1} \nonumber \]

    Si la carga es insignificante, la red de retroalimentación y la función de transferencia de bucle abierto del amplificador se combinan para producir la transmisión en bucle

    \[L(s) = -\dfrac{10^5}{(0.01 s + 1)(s + 1)} \nonumber \]

    La frecuencia de unidad-ganancia de esta función es\(3.16 \times 10^3\) radianes por segundo y su margen de fase es menor que\(2^{\circ}\).

    La estabilidad se mejora considerablemente si la red que se muestra en la Figura 13.5\(b\) se agrega en la entrada del amplificador. En las proximidades de la frecuencia de cruce, la impedancia del\(10-\mu F\) condensador (que es aproximadamente igual a la impedancia equivalente a Thevenin enfrentada a la red de compensación) es mucho menor que la de la propia red. En consecuencia, la función de transferencia de\(V_o (s)\) a no\(V_a (s)\) está influenciada por la red de entrada en estas frecuencias. La función de transferencia de plomo que se\(V_b (s)\) relaciona con se\(V_a (S)\) combina con otros elementos en el bucle para producir una transmisión de bucle en las proximidades de la frecuencia de cruce

    \[L(s) \simeq -\dfrac{10^6 (1.8 \times 10^{-3} s + 1)}{s^2 (1.8 \times 10^{-4} s + 1)}\label{eq13.2.9} \]

    (Obsérvese que esta expresión se ha simplificado al reconocer que a frecuencias muy superiores a 100 radianes por segundo, los dos polos de baja frecuencia pueden considerarse ubicados en el origen con la modificación apropiada del factor de escala). La frecuencia de unidad-ganancia de la Ecuación\(\ref{eq13.2.9}\) es\(1.8 \times 10^3\) radianes por segundo, o aproximadamente la media geométrica de las singularidades de la red principal. Así (a partir de la Ecuación 5.2.6) el margen de fase de este sistema es\(55^{\circ}\).

    Un problema con el circuito mostrado en la Figura 13.5\(b\) es que su desplazamiento de voltaje de salida es 20 veces mayor que el desplazamiento referido a la entrada del amplificador. El desplazamiento de salida se puede hacer igual al desplazamiento de entrada del amplificador al incluir un condensador en serie con la\(10-k\Omega\) resistencia, introduciendo así funciones de transferencia tanto de plomo como de retardo con la red de entrada. Si el condensador agregado tiene una impedancia insignificante baja a la frecuencia de cruce, el margen de fase no se cambia por esta modificación. Para evitar la estabilidad condicional este condensador debe hacerse lo suficientemente grande para que el desplazamiento de fase del negativo de la transmisión en bucle no exceda\(-180^{\circ}\) a bajas frecuencias.

    Otros métodos

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    Figura 13.6 Diferenciador con compensación de red de retroalimentación.

    La sección anterior se centró en el uso de una red de derivación en la entrada del amplificador operacional para modificar la transmisión en bucle. En ciertos otros casos, la red de retroalimentación se puede cambiar para mejorar la estabilidad sin alterar significativamente la función de transferencia de bucle cerrado ideal. Como ejemplo, considere el circuito que se muestra en la Figura 13.6. La función de transferencia de bucle cerrado ideal para este circuito es

    \[\dfrac{V_o (s)}{V_i (s)} = -\dfrac{s}{3 \times 10^{-4} s + 1} \nonumber \]

    y así funciona como un diferenciador a frecuencias muy por debajo de\(3.3 \times 10^3\) radianes por segundo. La función de transferencia desde la salida del amplificador operacional a su entrada inversora a través de la red de retroalimentación incluye un cero debido a la\(30-\Omega\) resistencia. La transmisión de bucle resultante es

    \[L(s) = -\dfrac{a(s) (3 \times 10^{-4} s + 1)}{s + 1} \label{eq13.2.11} \]

    Si se supone que la función de transferencia de bucle abierto del amplificador es la misma que en el ejemplo de diferenciador anterior\([a(s) = 10^5/(0.01s + 1)]\), la ecuación\(\ref{eq13.2.11}\) se convierte

    \[L(s) \simeq -\dfrac{10^7 (3 \times 10^{-4} s + 1)}{s^2}\label{eq13.2.12} \]

    en las proximidades de la frecuencia de ganancia de unidad. La frecuencia de ganancia unitaria para Ecuación\(\ref{eq13.2.12}\) es aproximadamente\(4 \times 10^3\) radianes por segundo y el margen de fase es\(50^{\circ}\). Así, la conexión diferenciadora de la Figura 13.6 combina estabilidad comparable a la del ejemplo anterior con una frecuencia de cruce más alta. Mientras que la ganancia ideal de bucle cerrado incluye un polo, la ubicación del polo está por encima de la frecuencia de cruce de la conexión anterior. Dado que la ganancia real de bucle cerrado de cualquier sistema de retroalimentación se aparta sustancialmente de su valor ideal a la frecuencia de cruce, este enfoque puede producir un rendimiento superior al del circuito mostrado en la Figura 13.5.

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    Figura 13.7 Inversor cargado capacitivamente. (\(a\)) Circuito. (\(b\)) Modelo de amplificador.

    En los ejemplos de diferenciación, la estabilidad del bucle se vio comprometida por un polo introducido por la red de retroalimentación. Otra posibilidad es que una carga capacitiva agregue un polo a la expresión de transmisión de bucle. Considere el inversor de carga capacitiva que se muestra en la Figura 13.7. El polo adicional resulta porque el amplificador tiene una resistencia de salida distinta de cero (ver el modelo de amplificador de la Figura 13.7\(b\)). Si el valor de la resistencia\(R\) es mucho mayor que\(R_o\) y la carga en la entrada del amplificador es insignificante, la transmisión en bucle es

    \[L(s) = -\dfrac{a(s)}{2(R_o C_L s + 1)} \nonumber \]

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    Figura 13.8 Compensación de red de retroalimentación para inversor cargado capacitivamente. (\(a\)) Circuito. (\(b\)) Diagrama de bloques.

    La conexión de la trayectoria de retroalimentación se puede modificar como se muestra en la Figura 13.8\(a\) para mejorar la estabilidad. Se supone que los valores de los parámetros se seleccionan de manera que\(R \gg R_o + R_C\) y que la impedancia del condensador\(C_F\) es mucho mayor en magnitud que\(R_o\) en todas las frecuencias de interés. Con estos supuestos, las ecuaciones para el circuito son

    \[V_a = \dfrac{(V_i + V_o)}{2[(RC_F/2)s + 1]} + \dfrac{V_b (RC_F/2)s}{(RC_F/2)s + 1} \nonumber \]

    \[V_b = \dfrac{a(s) V_a (R_C C_L s + 1)}{(R_o + R_C) C_L s + 1} \nonumber \]

    \[V_o = -\dfrac{a(s) V_a}{(R_o + R_C) C_L s + 1} \nonumber \]

    Estas ecuaciones conducen al diagrama de bloques que se muestra en la Figura 13.8\(b\).

    Dos características importantes son evidentes a partir del diagrama de bloques o de argumentos físicos basados en la configuración del circuito. En primer lugar, dado que las funciones de transferencia de los bloques ① y ② son idénticas y dado que las salidas de ambos de estos bloques se suman con el mismo signo para obtener\(V_a\), la salida ideal es la negativa de la entrada a frecuencias donde la señal propagada a través de la ruta 1 es insignificante. Podemos argumentar el mismo resultado físicamente, ya que la Figura 13.8\(a\) indica una función de transferencia ideal\(V_o = - V_i\) si la retroalimentación a través\(C_F\) es insignificante.

    La segunda conclusión involucra la estabilidad del sistema. Si el bucle se rompe en el punto indicado, la transmisión de bucle es

    \[\begin{array} {rcl} {L(s)} & = & {-a(s) \underbrace{\dfrac{[(RC_F/2)s]}{[(RC_F/2)s + 1]} \dfrac{(R_C C_L s + 1)}{[(R_o + R_C) C_L s + 1]}}_{\text{term from feedback via path 1}}} \\ {} & \ & {-\underbrace{\dfrac{a(s)}{2[(R_o + R_C)C_L s + 1][(RC_F/2)s + 1]}}_{\text{term from feedback via path 2}}}\end{array} \label{eq13.2.15} \]

    A frecuencias suficientemente altas, la ecuación se\(\ref{eq13.2.15}\) reduce a

    \[L(s) \simeq -\dfrac{a(s) R_C}{R_o + R_C}\label{eq13.2.16} \]

    porque la transmisión de ruta de la trayectoria 1 alcanza un valor constante, mientras que la de la ruta 2 se atenúa progresivamente con frecuencia. Si se eligen parámetros para que se produzca el cruce donde la aproximación de la ecuación\(\ref{eq13.2.16}\) es válida, la estabilidad del sistema esencialmente no se ve afectada por el condensador de carga. El mismo resultado se puede obtener directamente del circuito de la Figura 13.8\(a\). Si los parámetros se eligen de manera que en la frecuencia de cruce\(\omega_c\)

    \[\dfrac{1}{C_L \omega_c} \ll R_o + R_C \ \ \text{ and } \ \ R_o \ll \dfrac{1}{C_F \omega_c} \ll \dfrac{R}{2}\nonumber \]

    la ruta de retroalimentación alrededor del amplificador es independiente de la frecuencia en el cruce.

    Ejemplos anteriores han indicado cómo la dinámica relacionada con la red de retroalimentación o la carga puede deteriorar la estabilidad. La estabilidad también puede sufrir si se usa un elemento activo que proporciona ganancia de voltaje mayor que uno en la ruta de retroalimentación, ya que este tipo de elemento de retroalimentación dará como resultado una frecuencia de cruce de transmisión de bucle superior a la frecuencia de ganancia unitaria del propio amplificador operacional. El desplazamiento de fase negativo adicional se produce en el cruce porque los polos de mayor frecuencia de la función de transferencia de bucle abierto del amplificador son significativos a la frecuencia de cruce más alta.

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    Figura 13.9 Evaluación de la estabilidad logarítmica del circuito. (\(a\)) Circuito. (\(b\)) Diagrama de bloques linealizado.

    El circuito logarítmico simple descrito en la Sección 11.5.4 demuestra este tipo de dificultad. El circuito básico se ilustra en la Figura 13.9\(a\). Recordamos que la relación de transferencia de entrada-salida ideal para este circuito es

    \[v_O = -\dfrac{kT}{q} \ln \dfrac{v_I}{RI_S} \nonumber \]

    donde la cantidad\(I_s\) caracteriza al transistor.

    En la Figura 13.9 se muestra un diagrama de bloques linealizado para la conexión, formado asumiendo que la carga en la entrada y la salida del amplificador es despreciable\(b\). Dado que la corriente de colector de reposo del transistor está relacionada con el valor de punto de operación de la tensión de entrada\(V_I\) por\(I_F = V_I/R\), la transconductancia del transistor es

    \[g_m = \dfrac{qV_I}{kTR} \nonumber \]

    En consecuencia, la transmisión en bucle para el sistema linealizado es

    \[L(s) = -a(s) \dfrac{qV_I}{kT} \nonumber \]

    Si se supone que el valor máximo del punto operativo de la señal de entrada es de 10 voltios, la red de retroalimentación puede proporcionar una ganancia de voltaje de hasta 400. Está claro que pocos amplificadores con funciones fijas de transferencia de bucle abierto serán compensados de manera conservadora para mantenerse estables con este aumento en la magnitud de la transmisión de bucle.

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    Figura 13.10 Reducción de la magnitud de transmisión de bucle para circuito logarítmico. (\(a\)) Uso de resistor emisor. (\(b\)) Resistencia de emisor combinada con compensación de retardo de entrada.

    Un método que se puede utilizar para reducir la ganancia de alto voltaje de la red de retroalimentación se ilustra en la Figura 13.10. Al incluir una resistencia de transistor emisor igual en valor a la resistencia de entrada, encontramos que la ganancia de voltaje máxima del amplificador de base común resultante se reduce a uno. Tenga en cuenta que la retroalimentación efectivamente limita el voltaje en el emisor del transistor para que esté logarítmicamente relacionado con el voltaje de entrada independientemente de la corriente de carga, y por lo tanto la relación de transferencia ideal del circuito es independiente de la carga. También tenga en cuenta que al menos en ausencia de un drenaje significativo de corriente de salida, el voltaje máximo a través de la resistencia del emisor es igual al voltaje de entrada máximo, por lo que el rango de voltaje de salida a menudo no cambia por esta modificación.

    Se mencionó en la Sección 11.5.4 que el circuito logarítmico puede exhibir un rango dinámico muy amplio cuando la señal de entrada se suministra desde una fuente de corriente, ya que el desplazamiento de voltaje del amplificador no da lugar a una corriente de error en este caso. La Figura 13.10\(b\) muestra cómo la compensación de retardo de entrada se puede combinar con la degeneración del emisor para restringir la magnitud de la transmisión de bucle sin deteriorar el rango dinámico para las entradas de fuente de corriente.


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