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1.3: Parcelas de Bode

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    La gráfica Bode es una técnica de predicción de respuesta gráfica que es útil tanto para el diseño como para el análisis de circuitos. Lleva el nombre de Hendrik Wade Bode, un ingeniero estadounidense conocido por su trabajo en teoría de sistemas de control y telecomunicaciones. Una gráfica de Bode es, en la actualidad, un par de gráficas: Una grafica la ganancia de un sistema frente a la frecuencia, mientras que la otra detalla la fase del circuito frente a la frecuencia. Ambos elementos son muy importantes en el diseño de circuitos amplificadores operacionales óptimos y de buen comportamiento.

    Generalmente, las gráficas Bode se dibujan con ejes de frecuencia logarítmica, un eje de ganancia de decibelios y un eje de fase en grados. Primero, echemos un vistazo a la trama de ganancia. Se muestra una gráfica de ganancia típica Figura\(\PageIndex{1}\).

    1.3.1.png

    Figura\(\PageIndex{1}\): Gráfica de ganancia.

    Observe cómo la gráfica es relativamente plana en la región media o banda media. El valor de ganancia en esta región se conoce como ganancia de banda media. En cualquiera de los extremos de la región de banda media, la ganancia comienza a disminuir. La gráfica de ganancia muestra dos frecuencias importantes,\(f_1\) y\(f_2\). \(f_1\)es la frecuencia de ruptura inferior mientras que\(f_2\) es la frecuencia de ruptura superior. La ganancia en las frecuencias de ruptura es de 3 dB menos que la ganancia de banda media. Estas frecuencias también se conocen como los puntos de media potencia, o frecuencias de esquina. Normalmente, los amplificadores solo se utilizan para señales entre\(f_1\) y\(f_2\). La forma exacta de las regiones de rolloff dependerá del diseño del circuito. Es posible diseñar amplificadores sin menor frecuencia de interrupción (es decir, un amplificador de CC), sin embargo, todos los amplificadores exhibirán una ruptura superior. Los puntos de ruptura son causados por la presencia de reactancias de circuito, típicamente capacitancias de acoplamiento y parásitas. La gráfica de ganancia es una suma de la respuesta de banda media con las redes limitadoras de frecuencia superior e inferior. Echemos un vistazo al descanso inferior,\(f_1\).

    1.3.1: Respuesta de Ganancia de Red Lead

    La reducción en la ganancia de baja frecuencia es causada por las redes de plomo. En la Figura se muestra una red de leads genérica\(\PageIndex{2}\). Obtiene su nombre por el hecho de que el voltaje de salida desarrollado a través de los\(R\) cables de la entrada. A frecuencias muy altas el circuito será esencialmente resistivo. Conceptualmente, piense en esto como un simple divisor de voltaje. La relación divisora depende de la reactancia de\(C\). A medida que la frecuencia de entrada cae,\(X_c\) aumenta. Esto hace que\(V_{out}\) disminuya. A frecuencias muy altas, donde\(X_c \ll R\),\(V_{out}\) es aproximadamente igual a\(V_{in}\). Esto se puede ver gráficamente en la Figura\(\PageIndex{3}\). La frecuencia de ruptura (es decir, la frecuencia a la que la señal ha disminuido en 3 dB) se encuentra a través de la ecuación estándar

    1.3.2.png

    Figura\(\PageIndex{2}\): Red de plomo.

    \[ f_c = \frac{1}{2 \pi RC} \nonumber \]

    1.3.3.png

    Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfica de ganancia de plomo (exacta).

    1.3.4.png

    Figura\(\PageIndex{4}\): Gráfica de ganancia de plomo (aproximada).

    La respuesta a continuación\(f_c\) será una línea recta si se utiliza un eje de ganancia de decibelios y un eje de frecuencia logarítmica. Esto hace que el bosquejo sea muy rápido y conveniente de la respuesta del circuito. La pendiente de esta línea es de 6 dB por octava (una octava es una duplicación o halving de frecuencia, por ejemplo, 800 Hz es 3 octavas por encima de 100 Hz). 1 Este rango abarca un factor de dos en frecuencia. Esta pendiente también se puede expresar como 20 dB por década, donde una década es un factor de 10 en frecuencia. Con una precisión razonable, esta curva puede aproximarse como dos segmentos de línea, llamados asíntotas, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\). La forma de esta curva es la misma para cualquier red de leads. Debido a esto, es muy fácil encontrar la ganancia aproximada a cualquier frecuencia dada siempre y cuando\(f_c\) se sepa. No es necesario pasar por cálculos de reactancia y fasores. Para crear una ecuación de respuesta general, comience con la regla del divisor de voltaje para encontrar la ganancia:

    \[\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{R}{R-j\ X_c} \\ \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{R \angle 0}{\sqrt{R^2+X_c^2}\angle −\arctan \frac{X_c}{R}} \nonumber \]

    La magnitud de esto es,

    \[|A_v| = \frac{R}{\sqrt{R^2+X_c^{2}}} \\ |A_v| = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{X_c^{2}}{R^2}}} \label{1.5} \]

    Recordando que,

    \[ f_c = \frac{1}{2 \pi R\ C} \nonumber \]

    podemos decir,

    \[ R = \frac{1}{2 \pi f_c\ C} \nonumber \]

    Para cualquier frecuencia de interés\(f\),

    \[ X_c = \frac{1}{2 \pi f_c\ C} \nonumber \]

    Al igualar las dos ecuaciones precedentes,

    \[ \frac{f_c}{f} = \frac{X_c}{R} \label{1.6} \]

    Sustituyendo la ecuación\ ref {1.6} en la ecuación\ ref {1.5} da,

    \[ A_v = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{f_c^2}{f^2}}} \label{1.7} \]

    Para expresar\(A_v\) en dB, sustituya la Ecuación\ ref {1.7} en la Ecuación 1.2.2

    \[ A_v^{'} = 20 \log_{10} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{f_c^2}{f^2}}} \nonumber \]

    Después de la simplificación, el resultado final es:

    \[ A_v^{'} = -10 \log_{10} \left(1+\frac{f_c^2}{f^2}\right) \label{1.8} \]

    Dónde

    \(f_c\)es la frecuencia crítica,

    \(f\)es la frecuencia de interés,

    \(A^{'}_v\)es la ganancia de decibelios a la frecuencia de interés.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Un amplificador tiene una frecuencia de interrupción más baja de 40 Hz. ¿Cuánta ganancia se pierde a 10 Hz?

    \[A_v^{'} = - 10 \log_{10} \left(1+\frac{f_c^2}{f^2}\right) \\ A_v^{'} = -10 \log_{10} \left(1+\frac{40^2}{10^2}\right) \\ A_v^{'} = -12.3\ dB \nonumber \]

    En otras palabras, la ganancia es 12.3 dB menor que en la banda media. Tenga en cuenta que 10 Hz está 2 octavas por debajo de la frecuencia de ruptura. Debido a que la pendiente de corte es de 6 dB por octava, cada octava pierde 6 dB. Por lo tanto, el resultado aproximado es -12 dB, lo que verifica dos veces el resultado exacto. Sin la red principal, la ganancia se mantendría en 0 dB hasta DC (0 Hz.)

    1.3.2: Respuesta de Fase de Red de Plomo

    A frecuencias muy bajas, el circuito de la Figura\(\PageIndex{2}\) es en gran parte capacitivo. Debido a esto, el voltaje de salida se desarrolló a través de los\(R\) cables en 90 grados. A frecuencias muy altas el circuito será en gran parte resistivo. En este punto\(V_{out}\) estará en fase con\(V_{in}\). A la frecuencia crítica,\(V_{out}\) conducirá por 45 grados. En la Figura se muestra una gráfica general de fases\(\PageIndex{5}\). Al igual que con la gráfica de ganancia, la forma de la gráfica de fase es la misma para cualquier red de leads. La ecuación de fase general se puede obtener del divisor de voltaje:

    \[ \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{R}{R-j\ X_c} \\ \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{R\angle 0}{\sqrt{R^2 + X_c^2}\angle −\arctan \frac{X_c}{R}} \nonumber \]

    La parte de la fase de esto es,

    \[ \theta = \arctan \frac{X_c}{R} \nonumber \]

    Al usar la ecuación\ ref {1.6}, esto simplifica a,

    \[ \theta = \arctan \frac{f_c}{f} \label{1.9} \]

    Dónde

    \(f_c\)es la frecuencia crítica,

    \(f\)es la frecuencia de interés,

    \(\theta\)es el ángulo de fase a la frecuencia de interés.

    1.3.5.png

    Figura\(\PageIndex{5}\): Fase de plomo (exacta).

    A menudo, una aproximación como la Figura\(\PageIndex{6}\) utilizada en lugar de\(\PageIndex{5}\). Al usar la ecuación\ ref {1.9}, puede mostrar que la aproximación está desactivada en no más de 6 grados en las esquinas.

    1.3.6.png

    Figura\(\PageIndex{6}\): Fase de plomo (aproximada).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Un amplificador telefónico tiene una frecuencia de interrupción más baja de 120 Hz. ¿Cuál es la respuesta de fase una década por debajo y una década por encima?

    Una década por debajo de 120 Hz es de 12 Hz, mientras que una década por encima es de 1.2 kHz.

    \[\theta = \arctan \frac{f_c}{f} \\ \theta = \arctan \frac{120\ Hz}{12\ Hz} \nonumber \]

    \(\theta = 84.3\)grados una década por debajo\(f_c\) (es decir, acercándose a 90 grados)

    \[ \theta = \arctan \frac{120}{1.2\ kHz} \nonumber \]

    \(\theta = 5.71\)grados una década por encima\(f_c\) (es decir, acercándose a 0 grados)

    Recuerde, si un amplificador está acoplado directamente, y no tiene redes de cables, la fase permanecerá en 0 grados derecho de nuevo a 0 Hz (CC).

    1.3.3: Respuesta de red de retraso

    A diferencia de su contraparte de red principal, todos los amplificadores contendrán redes lag. En esencia, es poco más que una red de leads invertida. Como puede ver en Figura\(\PageIndex{7}\), simplemente transpone las\(C\) ubicaciones\(R\) y. Debido a esto, la respuesta tiende a invertirse también. En términos de ganancia,\(X_c\) es muy grande a bajas frecuencias, y por lo tanto\(V_{out}\) es igual\(V_{in}\). A altas frecuencias,\(X_c\) disminuciones y\(V_{out}\) caídas. El punto de ruptura ocurre cuando\(X_c\) es igual\(R\). La gráfica de ganancia general se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\). Al igual que la respuesta de la red principal, la pendiente de esta curva es de -6 dB por octava (o -20 dB por década). Tenga en cuenta que la pendiente es negativa en lugar de positiva. Una aproximación en línea recta se muestra en la Figura\(\PageIndex{9}\). Podemos derivar una Ecuación de ganancia general para este circuito prácticamente de la misma manera que hicimos para la red principal. La derivación se deja como ejercicio.

    1.3.7.png

    Figura\(\PageIndex{7}\): Red de rezago.

    \[ A_v^{'} = -10 \log_{10} \left(1+\frac{f^2}{f_c^2} \right) \label{1.10} \]

    Dónde

    \(f_c\)es la frecuencia crítica,

    \(f\)es la frecuencia de interés,

    \(A^{'}_v\)es la ganancia de decibelios a la frecuencia de interés.

    Tenga en cuenta que esta Ecuación es casi la misma que la Ecuación\ ref {1.8}. La única diferencia es eso\(f\) y\(f_c\) han sido transpuestos.

    1.3.8.png

    Figura\(\PageIndex{8}\): Ganancia de retraso (exacta).

    1.3.9.png

    Figura\(\PageIndex{9}\): Ganancia de retraso (aproximada).

    En una línea similar, podemos examinar la respuesta de fase. A frecuencias muy bajas, el circuito es básicamente capacitivo. Debido a que la salida se toma a través\(C\),\(V_{out}\) estará en fase con\(V_{in}\). A frecuencias muy altas, el circuito es esencialmente resistivo. En consecuencia, el voltaje de salida a través\(C\) se rezagará 90 grados. A la frecuencia de ruptura la fase será de -45 grados. En la Figura se muestra una gráfica general de fases\(\PageIndex{10}\), con la respuesta aproximada detallada en la Figura\(\PageIndex{11}\). Al igual que con la red de leads, podemos derivar una ecuación de fase. Nuevamente, los pasos exactos son muy similares, y se dejan como ejercicio.

    \[ \theta = -90 + \arctan \frac{f_c}{f} \label{1.11} \]

    ¿Dónde\(f_c\) está la frecuencia crítica,

    \(f\)es la frecuencia de interés,

    \(\theta \)es el ángulo de fase a la frecuencia de interés.

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    Figura\(\PageIndex{10}\): Fase de retraso (exacta).

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    Figura\(\PageIndex{11}\): Fase de retraso (aproximada).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Un transductor médico de ultra sonido alimenta una red de retardo con una frecuencia de ruptura superior de 150 kHz. ¿Cuáles son los valores de ganancia y fase a 1.6 MHz? Debido a que esto representa un incremento de poco más de 1 década, los valores aproximados son -20 dB y -90 grados, de Figuras\(\PageIndex{9}\) y\(\PageIndex{11}\), respectivamente. Los valores exactos son:

    \[A_v^{'} = -10 \log_{10} \left(1+\frac{f^2}{f_c^2}\right) \\ A_v^{'} = -10 \log_{10} \left(1+\frac{1.6\ MHz^2}{150\ MHz^2}\right) \\ A_v^{'} = -20.6\ dB \nonumber \]

    1.3.12.png

    Figura\(\PageIndex{12}\): Gráfica de Bode para desfase de 150 kHz.

    \[\theta = -90 + \arctan \frac{f_c}{f} \\ \theta = -90 + \arctan \frac{150\ kHz}{1.6\ MHz} \\ \theta = -84.6\ degrees \nonumber \]

    La gráfica completa de Bode para esta red se muestra en la Figura\(\PageIndex{12}\). Es muy útil examinar ambas parcelas simultáneamente. De esta manera se puede encontrar el cambio de fase exacto para una ganancia determinada con bastante facilidad. Esta información es muy importante cuando se considera la aplicación de retroalimentación negativa (Capítulo Tres). Por ejemplo, si miras cuidadosamente las gráficas de la Figura\(\PageIndex{12}\), notará que a la frecuencia crítica de 150 kHz, el cambio de fase total es de -45 grados. Debido a que este circuito implicaba el uso de una sola red lag, esto es exactamente lo que cabría esperar.

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    Figura\(\PageIndex{13}\): (continuación) Gráfica de Bode para desfase de 150 kHz.

    1.3.4: tiempo de subida versus ancho de banda

    Para las señales de tipo pulso, la velocidad de un amplificador a menudo se expresa en términos de su tiempo de subida. Si un pulso cuadrado como la Figura\(\PageIndex{13a}\) se pasa a una red de retardo simple, el efecto de carga del condensador producirá una variación redondeada, como se ve en la Figura\(\PageIndex{13b}\). Este efecto coloca un límite superior en la duración de los pulsos que un amplificador dado puede manejar sin producir distorsión excesiva.

    1.3.14.png

    Figura\(\PageIndex{14a}\): Efecto del tiempo de subida del pulso: Entrada a la red.

    Por definición, el tiempo de subida es la cantidad de tiempo que tarda la señal en atravesar del 10% al 90% del valor pico del pulso. La forma de este pulso está definida por la Ecuación de carga de condensador estándar examinada en trabajos de curso anteriores, y es válida para cualquier sistema con una sola red de retardo claramente dominante.

    \[ V_{out} = V_{peak}\left(1-\epsilon^{\frac{-t}{RC}}\right) \label{1.12}\tag{1.12} \]

    1.3.15.png

    Figura\(\PageIndex{14b}\): Efecto del tiempo de subida del pulso: Salida de la red.

    Para encontrar el tiempo interno desde el punto inicial de inicio hasta el punto del 10%,\(V_{out}\) establecer\(0.1\ V_{peak}\) en la Ecuación\ ref {1.12} y resolver para\(t_1\).

    \[ 0.1 V_{peak} = V_{peak}\left(1-\epsilon^{\frac{-t_1}{RC}}\right) \\ 0.1 V_{peak} = V_{peak} - V_{peak}\ \epsilon^{\frac{-t_1}{RC}} \\ 0.9 V_{peak} = V_{peak}\ \epsilon^{\frac{-t_1}{RC}} \\ 0.9 = \epsilon^{\frac{-t_1}{RC}} \\ \log\ 0.9 = \frac{-t_1}{RC} \\ t_1 = 0.105\ RC \label{1.13} \]

    Para encontrar el intervalo hasta el 90% punto, siga la misma técnica utilizando\(0.9\ V_{peak}\). Hacerlo rinde

    \[ t_2 = 2.303\ RC \label{1.14} \]

    El tiempo de subida,\(T_r\), es la diferencia entre\(t_1\) y\(t_2\)

    \[T_r = t_1 - t_2 \\ T_r = 2.303\ RC - 0.105\ RC \\ T_r \approx 2.2\ RC \label{1.15} \]

    La ecuación\ ref {1.15} vincula el tiempo de subida con los\(C\) valores\(R\) y los valores de la red de rezago. Estos mismos valores también establecen la frecuencia crítica\(f_2\). Al combinar la Ecuación\ ref {1.15} con la relación básica de frecuencia crítica, podemos derivar una Ecuación relativa\(f_2\) a\(T_r\).

    \[ f_2 = \frac{1}{2 \pi RC} \nonumber \]

    Resolviendo\ ref {1.15} en términos de\(RC\), y sustitución de rendimientos

    \[ f_2 = \frac{2.2}{2 \pi T_r} \\ f_2 = \frac{0.35}{T_r} \label{1.16} \]

    ¿Dónde\(f_2\) está la frecuencia crítica superior,

    \(T_r\)es el tiempo de subida del pulso de salida.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Determine el tiempo de subida para una red de retraso crítico a 100 kHz.

    \[ f_2 = \frac{0.35}{T_r} \\ T_r = \frac{0.35}{f_2} \\ T_r = \frac{0.35}{100\ kHz} \\ T_r = 3.5\ \mu s \nonumber \]

    Referencias

    1 El término octava se toma prestado del campo de la música. Obtiene su nombre por el hecho de que hay ocho notas en la escala occidental estándar: do-re-me-fa-so-la-ti-do.


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