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5.3: Producto Ganancia-Ancho de Banda

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    87927
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    La respuesta de frecuencia de bucle abierto de un amplificador operacional de propósito general se muestra en la Figura\(\PageIndex{1a}\). Aunque los valores exactos de frecuencia y ganancia diferirán de un modelo a otro, todos los dispositivos exhibirán esta misma forma general y pendiente de vuelco de 20 dB por década. Esto se debe a que la frecuencia de ruptura de retardo\((f_c)\) está determinada por un solo condensador llamado condensador de compensación. Este condensador suele estar en la posición Miller (es decir, a horcajadas de entrada y salida) de una etapa intermedia, como\(C\) en la Figura\(\PageIndex{1b}\). Aunque este condensador es bastante pequeño, el efecto Miller aumenta drásticamente su valor aparente. La frecuencia crítica resultante es muy baja, a menudo en el rango de 10 a 100 Hz. Las otras redes de retardo de circuito causadas por capacitancias parásitas o de carga son mucho mayores, generalmente superiores a 1 MHz. Como resultado, se mantiene un rolloff constante de 20 dB por década desde frecuencias\(f_c\) hasta muy altas. Las redes de lag restantes no afectarán la respuesta de bucle abierto hasta que la ganancia ya haya caído por debajo de cero dB.

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    Figura\(\PageIndex{1a}\): Respuesta de frecuencia de bucle abierto.

    Este tipo de curva de respuesta de frecuencia tiene dos beneficios: (1) El beneficio más importante es que permite establecer casi cualquier ganancia que desee con estabilidad. Sólo se encuentra activa una sola red, por lo que se mantendrán los márgenes satisfactorios de ganancia y fase. Por lo tanto, su retroalimentación negativa nunca se convierte en retroalimentación positiva (como se señala en el Capítulo Tres). 2) El producto de cualquier frecuencia de ruptura y su ganancia correspondiente es una constante. En otras palabras, la ganancia disminuye a la misma velocidad a la que aumenta la frecuencia. En la Figura\(\PageIndex{1}\), el producto es de 1 MHz. Como habrás adivinado, este parámetro es el producto de ganancia de ancho de banda del amplificador operacional (GBW). GBW también se conoce como\(f_{unity}\) (la frecuencia a la que la ganancia de bucle abierto es igual a uno). Encontrará ambos términos utilizados en las hojas de especificaciones del fabricante.

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    Figura\(\PageIndex{1b}\): Condensador de compensación Miller.

    Como ya sabes, operar un amplificador operacional con retroalimentación negativa disminuye la ganancia de banda media. A una primera aproximación, esta ganancia continuará hasta que alcance la respuesta de bucle abierto. En este punto, la respuesta de bucle cerrado seguirá al rolloff de bucle abierto. Recuerde, esto se debe a la reducción en la ganancia de bucle, como se ve en el Capítulo Tres. Este efecto se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

    5.3.3.png

    Figura\(\PageIndex{2}\): Comparación de respuestas de bucle abierto y bucle cerrado.

    Al conocer GBW y la ganancia, la frecuencia de ruptura asociada se puede determinar rápidamente. Para los amplificadores de voltaje de inversión y no inversión,

    \[ f_2 = \frac{GBW}{A_{noise}} \label{5.1} \]

    El uso de ganancia de ruido versus ganancia de voltaje ordinaria simplifica las cosas y en realidad hace que los resultados sean un poco más precisos. La ganancia de ruido es la misma tanto para los amplificadores de voltaje invertidos como para los no inversores. El uso de la ganancia de ruido nos ayuda a tener en cuenta los verdaderos efectos de retroalimentación (no ideales) y las imperfecciones del circuito. Un ejemplo de estas limitaciones es que la ganancia de bucle abierto de un amplificador operacional nunca es infinita. Para encontrar la ganancia de ruido para cualquier circuito, cortocircuite todas las fuentes de voltaje y abra todas las fuentes de corriente. El único elemento restante para cada fuente debe ser su resistencia interna. En este punto, simplifique el circuito según sea necesario y encuentre la ganancia desde la entrada no inversora hasta la salida del amplificador operacional. Esta ganancia es la ganancia de ruido. Para los amplificadores de voltaje de inversión y no inversión estándar, encontramos

    \[ A_{noise} = 1+ \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    La ganancia de ruido es la misma que la ganancia de voltaje ordinaria para el amplificador de voltaje no inversor, pero es una unidad más grande que la ganancia ordinaria del amplificador inversor\((R_f/R_i)\). La desviación solo se nota a menores ganancias. Sin embargo, esto implica que para la misma ganancia, los amplificadores no inversores exhibirán una frecuencia de ruptura más alta que los tipos de inversión. Por lo tanto, para un ancho de banda máximo con circuitos de baja ganancia, generalmente se prefiere la forma no inversora. El peor de los casos ocurre con una ganancia de voltaje ordinaria de 1. Para la configuración no inversora, la ganancia de ruido también será igual a 1, y el ancho de banda de bucle cerrado será igual\(f_{unity}\). Por otro lado, un amplificador inversor con una ganancia de voltaje de 1 producirá una ganancia de ruido de 2 y exhibirá un ancho de banda de señal pequeña de\(f_{unity}/2\). ¡Nunca utilices la ganancia en forma de dB para este cálculo!

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Usando un amplificador operacional 741, ¿cuál es la frecuencia de ruptura superior para un amplificador no inversor con una ganancia de 20 dB?

    Una hoja de datos 741 muestra un GBW típico de 1 MHz. La ganancia de ruido para un amplificador no inversor es la misma que su ganancia ordinaria. Convertir 20 dB en forma ordinaria produce una ganancia de 10.

    \[ f_2 = \frac{GBW}{A_{noise}} \nonumber \]

    \[ f_2 = \frac{1 MHz}{10} \nonumber \]

    \[ f_2 = 100 kHz \nonumber \]

    Entonces, la ganancia es constante a 10 hasta 100 kHz. Por encima de esta frecuencia la ganancia se balancea a 20 dB por década.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Esbozar la respuesta de frecuencia del circuito en la Figura\(\PageIndex{3}\)

    5.3.3.1.png

    Figura\(\PageIndex{3}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

    Se trata de un amplificador de voltaje inversor. La ganancia es

    \[ A_v = − \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ A_v = − \frac{10 k}{2 k} \nonumber \]

    \[ A_v = − 5 \nonumber \]

    \[ A_v ^{'} = 14 dB \nonumber \]

    Para ganancia de ruido

    \[ A_{noise} = 1+ \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ A_{noise} = 1+ \frac{10 k}{2 k} \nonumber \]

    \[ A_{noise} = 6 \nonumber \]

    De una hoja de datos, se encuentra que el GBW para un 741 es de 1 MHz.

    \[ f_2 = \frac{GBW}{A_{noise}} \nonumber \]

    \[ f_2 = \frac{1 MHz}{167 kHz} \nonumber \]

    \[ f_2 = 167 kHz \nonumber \]

    5.3.3.2.png

    Figura\(\PageIndex{4a}\): Gráfica de Bode para el circuito.

    La gráfica Bode de ganancia resultante se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\). Tenga en cuenta que si se usa un amplificador operacional “más rápido” (es decir, uno con un GBW más alto, como el LF411), la respuesta se extenderá aún más. Como puedes adivinar, los amplificadores operacionales más rápidos son más caros.

    Simulación por Computadora

    Los resultados de simulación para Ejemplo también\(\PageIndex{2}\) se muestran en la Figura\(\PageIndex{4}\). La ganancia de baja frecuencia concuerda con el cálculo manual de aproximadamente 14 dB. El punto descendente de 3 dB\((f_2)\) también concuerda con la ruptura calculada de aproximadamente 167 kHz.

    5.3.4.png

    Figura\(\PageIndex{4b}\): Esquema Multisim para simulación de parcela Bode.

    5.3.5.png

    Figura\(\PageIndex{4c}\): Simulación de la gráfica Bode.

    Es importante señalar que el modelo fuente dependiente simple presentado en el Capítulo Dos no se puede utilizar porque no tiene la respuesta de frecuencia adecuada. En cambio, los fabricantes ofrecen modelos precisos para sus amplificadores operacionales. Hay varias variaciones sobre el tema. El modelo que aquí se presenta es típico. Es bastante complejo y es bastante preciso. El modelo de amplificador operacional se compone de dos partes básicas, una porción de entrada de amplificador diferencial y una sección de salida de fuente dependiente. La porción de entrada utiliza un par de transistores NPN con resistencias simples para las cargas (\(R_{C1}\)y\(R_{C2}\)). Resistencias\(R_{E1}\) y\(R_{E2}\) sirven como resistencias de pantano o degeneración de emisores. La fuente de corriente de cola es establecida por la fuente independiente\(I_{EE}\). La impedancia interna no ideal y las limitaciones de frecuencia de esta fuente de corriente son tomadas en cuenta por\(R_E\) y\(C_E\), mientras que\(C_1\) ayuda a modelar la carga de alta frecuencia de la salida del amplificador diferencial. La porción de salida gira alrededor de una serie de fuentes de corriente controladas por voltaje. GCM modela ganancia de modo común, GA modela la ganancia ordinaria y\(R_2\) sirve como impedancia interna combinada de estas fuentes. \(C_2\)es el condensador de compensación del sistema y tiene un valor de 30 pF. \(R_{O1}\)y\(R_{O2}\) sirven para modelar la impedancia de salida del amplificador operacional. Diodos\(D_1\) a través\(D_4\) y fuentes de voltaje\(E_C\)\(V_C\), y\(V_E\) modele los límites de la etapa de salida de clase AB del amplificador operacional.

    5.3.6.png

    Figura\(\PageIndex{4d}\): Modelo típico de amplificador operacional.

    A pesar de su precisión, modelos como este consumen mucho tiempo y son tediosos de recrear. Afortunadamente, muchos fabricantes ofrecen modelos de simulación para sus componentes en forma de biblioteca. Para utilizar estos modelos, todo lo que necesita hacer es hacer referencia al número de pieza apropiado de la biblioteca. Los modelos de amplificador operacional normalmente usan valores típicos en lugar del peor de los casos.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Determinar el mínimo aceptable\(f_{unity}\) para el circuito de la Figura\(\PageIndex{5}\) si la respuesta debe extenderse a al menos 50 kHz.

    5.3.7.png

    Figura\(\PageIndex{5}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{3}\).

    \[ A_{noise} = 1+ \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ A_{noise} = 1+ \frac{20 k}{500} \nonumber \]

    \[ A_{noise} = 41 \nonumber \]

    \[ f_{unity} = A_{noise} f_2 \nonumber \]

    \[ f_{unity} = 41\times 50 kHz \nonumber \]

    \[ f_{unity} = 2.05 MHz \nonumber \]

    Para esta aplicación, un stock 741 no sería lo suficientemente rápido; sin embargo, un 411 estaría bien. De lo anterior, es evidente que existe una compensación directa entre la ganancia del circuito y el rendimiento de alta frecuencia para un dispositivo dado. Para una aplicación que requiera tanto alta ganancia como ancho de banda, se debe considerar un enfoque multietapa.

    5.3.1: Consideraciones multietapa

    Al combinar dos o más etapas de ancho de banda amplio y baja ganancia, se puede producir un único sistema de gran ancho de banda y alta ganancia. Aunque la ganancia general del sistema será simplemente la combinación de las ganancias de etapa individuales, el cálculo de la frecuencia de ruptura superior puede ser un poco complicado. Lo más probable es que en un diseño de amplificador operacional multietapa todas las etapas no exhiban la misma frecuencia de ruptura superior. En este caso la rotura superior del sistema es aproximadamente igual a la más baja de la etapa\(f_cs\). Es decir, el sistema es tratado como si fuera una etapa discreta con múltiples redes de lag. Por otro lado, si las frecuencias de ruptura están cercanas, esta aproximación puede llevar a un error considerable. Esto se ilustra mejor con un ejemplo rápido. Imagina dos etapas que exhiben una ruptura de 100 kHz. Si cada etapa produce una pérdida de 3 dB a 100 kHz, es obvio que el sistema en cascada debe estar produciendo una pérdida de 6 dB a 100 kHz. Por lo tanto, la frecuencia crítica del sistema (es decir, punto -3 dB) debe ser algo inferior a 100 kHz (para ser exactos, es la frecuencia a la que cada etapa produce una pérdida de 1.5 dB). Llevando esto un paso más allá, si tenemos en cascada tres etapas idénticas, la pérdida total a 100 kHz será de 9 dB. La interrupción del sistema será el punto en el que cada una de las tres etapas produzca una pérdida de 1 dB. Cuantas más etapas idénticas se agreguen, menor será la ruptura efectiva. Si hacemos algunas suposiciones sobre la forma exacta de la curva de rolloff, podemos reducirla a una ecuación simple. En el Capítulo Uno, derivamos la Ecuación general que describe la respuesta de amplitud de una red principal (1.3.3). En una línea similar, se puede determinar que la respuesta para una red de rezago es

    \[ A_v = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{f^2}{f_c^2}}} \label{5.2} \]

    Donde f es la frecuencia de interés y\(f_c\) es la frecuencia crítica.

    Es más conveniente escribir esta Ecuación en términos de una frecuencia normalizada de interés. En lugar de expresarse en Hertz, la frecuencia de interés se representa como un factor relativo a\(f_c\). Si llamamos a esta frecuencia normalizada\(k_n\), podemos reescribir la ecuación de respuesta de amplitud.

    \[ A_v = \frac{1}{\sqrt{1+ k_n^2}} \label{5.3} \]

    Ahora resolvemos para k

    \[ \frac{1}{A_v} = \sqrt{1+ k_n^2} \nonumber \]

    \[ k_n^2 +1 = \frac{1}{A_v^2} \nonumber \]

    \[ k_n^2 = \frac{1}{A_v^2} −1 \nonumber \]

    \[ k_n = \sqrt{\frac{1}{A_v^2}−1} \label{5.4} \]

    Ahora encontraremos el aporte de ganancia de cada etapa. Si todas las etapas son críticas a la misma frecuencia, cada etapa debe producir la misma ganancia que las otras etapas en cualquier otra frecuencia. Debido a que la ganancia combinada de todas las etapas debe ser, por definición, de -3 dB o 0.707 a la frecuencia de interrupción del sistema, podemos encontrar la ganancia de cada etapa en esta nueva frecuencia.

    \[ A_v^n = 0.707 \label{5.5} \]

    Donde n es el número de etapas involucradas.

    Podemos reescribir esto como

    \[ A_v = 0.707^{\frac{1}{n}} \label{5.6} \]

    Combinando\ ref {5.6} con\ ref {5.4} rendimientos

    \[ k_n = \sqrt{ \frac{1}{(0.707^{\frac{1}{n}})^2} −1} \nonumber \]

    \[ k_n = \sqrt{2^{\frac{1}{n}} −1} \label{5.7} \]

    Como no\(k_n\) es más que un factor, esto puede ser reescrito en una forma final conveniente.

    \[ f_{2- system} = f_2 k_n \nonumber \]

    \[ f_{2- system} = f_2\sqrt{2^{\frac{1}{n}} −1} \label{5.8} \]

    donde\(n\) es el número de etapas idénticas.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Suponiendo que todas las etapas de la Figura\(\PageIndex{6}\) usan 741's, ¿cuál es la ganancia del sistema y la frecuencia de ruptura superior?

    5.3.8.png

    Figura\(\PageIndex{6}\): Circuito multietapa por ejemplo\(\PageIndex{4}\).

    Etapa 1:

    \[ A_v = 1+ \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ A_v = 1+ \frac{14 k}{2 k} \nonumber \]

    \[ A_v = 8 \nonumber \]

    \[ A_{noise} = 1+ \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ A_{noise} = 8 \nonumber \]

    \[ f_2 = \frac{GBW}{A_{noise}} \nonumber \]

    \[ f_2 = \frac{1 MHz}{8} \nonumber \]

    \[ f_2 = 125 kHz \nonumber \]

    Etapa 2:

    \[ A_v = −\frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ A_v = \frac{−20 k}{10 k} \nonumber \]

    \[ A_v = −2 \nonumber \]

    \[ A_{noise} = 1+ \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ A_{noise} = 3 \nonumber \]

    \[ f_2 = \frac{GBW}{A_{noise}} \nonumber \]

    \[ f_2 = \frac{1 MHz}{3} \nonumber \]

    \[ f_2 = 333 kHz \nonumber \]

    Etapa 3:

    \[ A_v = −\frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ A_v = −\frac{12 k}{4 k} \nonumber \]

    \[ A_v = 4 \nonumber \]

    \[ A_{noise} = −\frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ A_{noise} = 4 \nonumber \]

    \[ f_2 = \frac{GBW}{A_{noise}} \nonumber \]

    \[ f_2 = \frac{1 MHz}{4} \nonumber \]

    \[ f_2 = 250 kHz \nonumber \]

    Sistema:

    \[ A_v = 8\times (−2)\times 4 \nonumber \]

    \[ A_v = −64 \nonumber \]

    \(f_2\)= etapa dominante. La ruptura dominante aquí es de 125 kHz (etapa 1).

    El sistema tiene una ganancia de 64 y una rotura superior de 125 kHz. Si este nivel de rendimiento se va a lograr con un solo amplificador operacional, se necesitaría un producto de ganancia de ancho de banda de 125 kHz por 64 u 8 MHz.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Un amplificador de tres etapas utiliza etapas idénticas de voltaje no inversor con ganancias de 10 cada una. Si los amplificadores operacionales utilizados tienen una\(f_{unity}\) de 4 MHz, ¿cuál es la ganancia del sistema y la rotura superior?

    Debido a que estos son amplificadores no inversores, la ganancia de ruido es igual a la ganancia de señal. La frecuencia de rotura para cada etapa es:

    \[ f_2 = \frac{f_{unity}}{A_{noise}} \nonumber \]

    \[ f_2 = \frac{4 MHz}{10} \nonumber \]

    \[ f_2 = 400 kHz \nonumber \]

    Debido a que las tres etapas son idénticas, el sistema rodará antes de 400 kHz.

    \[ f_{2−system} = f_2 \sqrt{2^{\frac{1}{n}}−1} \nonumber \]

    \[ f_{2−system} = 400 kHz \sqrt{2^{\frac{1}{3}}−1} \nonumber \]

    \[ f_{2−system} = 203.9 kHz \nonumber \]

    Tenga en cuenta que la respuesta del sistema en este caso se reduce aproximadamente una octava de la respuesta de una sola etapa.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Usando solo amplificadores operacionales LF411, diseñe un circuito con una frecuencia de ruptura superior de 500 kHz y una ganancia de 26 dB.

    Una ganancia de 26 dB se traduce en una ganancia ordinaria de 20. Suponiendo una etapa de voltaje no inversor, y señalando que\(A_{noise} = A_v\) para la forma no inversora, un solo amplificador operacional requeriría una\(f_{unity}\) de:

    \[ f_{unity} = f_2 A_v \nonumber \]

    \[ f_{unity} = 500 kHz\times 20 \nonumber \]

    \[ f_{unity} = 10 MHz \nonumber \]

    Debido a que el 411 tiene un típico\(f_{unity}\) de 4 MHz, se requieren al menos dos etapas.

    Hay muchas posibilidades. Una opción es establecer una etapa como escenario dominante y establecer su ganancia para producir lo deseado\(f_2\). La segunda etapa se utilizará entonces para compensar la diferencia de ganancia a la ganancia deseada del sistema.

    Etapa 1:

    \[ f_2 = \frac{f_{unity}}{A_v} \nonumber \]

    \[ A_v = \frac{f_{unity}}{f_2} \nonumber \]

    \[ A_v = \frac{4 MHz}{500 kHz} \nonumber \]

    \[ A_v = 8 \nonumber \]

    Etapa 2: Para lograr una ganancia final de 20, la etapa dos requiere una ganancia de 2.5. Su\(f_2\) es:

    \[ f_2 = \frac{f_{unity}}{A_v} \nonumber \]

    \[ f_2 = \frac{4 MHz}{2.5} \nonumber \]

    \[ f_2 = 1.6 MHz \nonumber \]

    Tenga en cuenta que si esta frecuencia funcionaba a menos de 500 kHz, se necesitarían tres o más etapas. Para establecer los valores de resistencia, se pueden usar las reglas generales presentadas en el Capítulo Cuatro. Una posible solución se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\).

    5.3.9.png

    Figura\(\PageIndex{7}\): Diseño terminado por Ejemplo\(\PageIndex{6}\).

    5.3.2: Limitaciones de Baja Frecuencia

    Como se mencionó anteriormente, los amplificadores operacionales estándar están acoplados de manera directa. Es decir, su respuesta de ganancia se extiende hasta 0 Hz. En consecuencia, muchos circuitos de amplificador operacional no tienen límite de frecuencia inferior. Amplificarán las señales de CC con la misma facilidad que las señales de CA. A veces es deseable introducir un rolloff de baja frecuencia. Dos casos de esto son la polarización de suministro único (Capítulo Cuatro) y el rechazo de interferencias (la eliminación de señales no deseadas, como el ruido de baja frecuencia). En ambos casos, el diseñador de circuitos produce un rolloff de baja frecuencia (red de conductores) mediante la introducción de capacitores de acoplamiento. Para los circuitos de suministro único, estos capacitores son un mal necesario. Sin ellos, las etapas se sobrecargarían rápidamente de la gran entrada de CC. Además, las fuentes de señal y las cargas pueden ser muy intolerantes con respecto al potencial de polarización de CC. El resultado podría ser distorsión bruta o falla de componente. Incluso si un circuito usa un suministro bipolar normal, se puede usar una red de conductores para reducir las señales de interferencia. Por ejemplo, un condensador de acoplamiento bien elegido puede reducir la interferencia de zumbido de 60 Hz mientras apenas afecta la calidad de una transmisión de voz. Generalmente, estos capacitores de acoplamiento pueden simplificarse en las redes directas de conductores discutidas en el Capítulo Uno. (Recuerde, para las redes de plomo, la frecuencia crítica más alta es la dominante). Además, si son dominantes múltiples redes, la frecuencia crítica resultante será mayor que la frecuencia de ruptura individual. La relación es la imagen especular de la Ecuación\ ref {5.8}. La prueba para la siguiente Ecuación es muy similar a la de la Ecuación\ ref {5.8}, y se deja como ejercicio.

    \[ f_{1-system} = \frac{f_1}{\sqrt{2^{\frac{1}{n}} −1}} \label{5.9} \]

    Si decide agregar capacitores de acoplamiento para reducir la interferencia, recuerde que el amplificador operacional necesitará una resistencia de retorno de CC. Un ejemplo se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\). La\(\Omega\) resistencia de 100 k es necesaria para que la mitad de la etapa de amplificador diferencial de la entrada inversora esté correctamente polarizada. Tenga en cuenta que para un amplificador operacional típico, este 100 k\(\Omega\) también termina configurando la impedancia de entrada. Suponiendo una impedancia de fuente relativamente baja, la simplificación de la red de conductores se reduce al condensador 0.1\(\mu\) F junto con el 100 k\(\Omega\). La frecuencia crítica es:

    5.3.10.png

    Figura\(\PageIndex{8}\): Resistencia de retorno de CC (100 k).

    \[ f_c = \frac{1}{2 \pi RC} \nonumber \]

    \[ f_c = \frac{1}{2\pi \times 100 k\times 0.1 \mu F} \nonumber \]

    \[ f_c = 15.9 Hz \nonumber \]

    En resumen, entonces, cuando se utilizan amplificadores operacionales de uso general, si no se utilizan condensadores de acoplamiento de señal, la respuesta de ganancia se extiende de nuevo a 0 Hz. Si se utilizan capacitores de acoplamiento, se pueden usar técnicas generales de análisis de red de conductores para encontrar las frecuencias críticas.


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