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9.2: Osciladores de amplificador operacional

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    87934
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    9.2.1: Retroalimentación positiva y criterio Barkhausen

    En trabajos anteriores, examinamos el concepto de retroalimentación negativa. Aquí, una porción de la señal de salida se envía de vuelta a la entrada y se suma fuera de fase con la señal de entrada. La diferencia entre las dos señales entonces, es lo que se amplifica. El resultado es estabilidad en la respuesta del circuito porque la gran ganancia de bucle abierto obliga efectivamente a que la señal de diferencia sea muy pequeña. Algo bastante diferente sucede si la señal de retroalimentación se suma en fase con la señal de entrada, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). En este caso, la señal combinada se parece a la señal de salida. Siempre que la ganancia de bucle abierto del amplificador sea mayor que el factor de retroalimentación, la señal se puede regenerar constantemente. Esto significa que la fuente de la señal puede ser eliminada. En efecto, la salida del circuito se utiliza para crear su propia entrada. Mientras se mantenga la potencia al circuito, la señal de salida continuará prácticamente para siempre. Este estado autoperpetuante se llama oscilación. La oscilación cesará si el producto de ganancia de bucle abierto y factor de retroalimentación cae por debajo de la unidad o si la señal de retroalimentación no se devuelve perfectamente en fase (0\(^{\circ}\) o algún múltiplo entero de 360\(^{\circ}\)). Esta combinación de factores se llama Criterio de Oscilación de Barkhausen. Podemos afirmar esto de la siguiente manera:

    9.2.1.png

    Figura\(\PageIndex{1}\): Retroalimentación positiva.

    Para mantener la auto-oscilación, la ganancia de bucle cerrado debe ser unidad o mayor, y la fase de bucle debe ser\(N\) 360\(^{\circ}\), donde\(N = 0, 1, 2, 3\dots\)

    Tenga en cuenta que cuando examinamos amplificadores lineales, miramos esto desde el extremo opuesto. Normalmente, no quieres que los amplificadores oscilen, y así intentas garantizar que el Criterio de Barkhausen nunca se cumpla estableciendo márgenes de ganancia y fase apropiados.

    Un buen ejemplo de retroalimentación positiva es el “chillido” que a veces se escucha de sistemas de megafonía mal ajustados. Básicamente, el micrófono capta constantemente el ruido ambiental de la habitación, que luego se amplifica y se alimenta a los altavoces. Si la ganancia del amplificador es lo suficientemente alta o si la pérdida acústica es lo suficientemente baja (es decir, el altavoz está físicamente cerca del micrófono), la señal que el micrófono capta del altavoz puede ser mayor que el ruido ambiental. El resultado es que la señal crece constantemente en la fase adecuada para mantener la oscilación. El resultado es el sonido chillido familiar. Para detener el chillido, se debe interrumpir ya sea la ganancia o la fase. Mover el micrófono puede cambiar la fase relativa, pero suele ser más fácil simplemente reducir un poco el volumen. Es particularmente interesante escuchar un sistema que está al borde de la oscilación. O bien la ganancia o la fase simplemente no es del todo perfecta, y el resultado es un sonido de timbre bastante irritante, ya que la oscilación se extingue después de cada palabra o frase.

    Hay un par de consideraciones prácticas a tener en cuenta a la hora de diseñar osciladores. En primer lugar, no es necesario proporcionar una fuente de señal de “arranque” como se ve en la Figura\(\PageIndex{1}\). Normalmente, hay suficiente energía en el nivel de ruido de entrada o posiblemente en un transitorio de encendido para iniciar el oscilador. Tanto el transitorio de encendido como la señal de ruido son señales de amplio espectro, por lo que la frecuencia de oscilación deseada está contenida dentro de cualquiera de ellas. La señal de oscilación comenzará a aumentar a medida que avanza el tiempo debido a que la ganancia de bucle cerrado es mayor que uno. Eventualmente, la señal llegará a un punto donde más aumentos de nivel son imposibles debido al recorte del amplificador. Para un oscilador de baja distorsión más controlado, es deseable que la ganancia comience a rodar antes de que ocurra el recorte. En otras palabras, la ganancia de bucle cerrado debería volver a caer exactamente a una. Finalmente, para minimizar la deriva de frecuencia a lo largo del tiempo, la red de retroalimentación debe ser selectiva. Las frecuencias ya sea por encima o por debajo de la frecuencia objetivo deberían ver mayor atenuación que la frecuencia objetivo. Generalmente, cuanto más selectiva (es decir, mayor\(Q\)) sea esta red, más estable y precisa será la frecuencia de oscilación. Una solución simple es usar un circuito de\(RLC\) tanque en la red de retroalimentación. Otra posibilidad es utilizar un cristal piezoeléctrico. Un diagrama de bloques de un oscilador práctico se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

    9.2.2.png

    Figura\(\PageIndex{2}\): Oscilador práctico

    9.2.2: Un oscilador básico

    Un circuito del mundo real que encarna todos los elementos se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). Este circuito no es particularmente eficiente ni rentable, pero sí ilustra los puntos importantes. Recuerde, para mantener la oscilación la ganancia de bucle cerrado del circuito oscilador debe ser mayor que 1, y la fase de bucle debe ser un múltiplo de 360\(^{\circ}\).

    9.2.3.png

    Figura\(\PageIndex{3}\): Un oscilador básico.

    Para proporcionar ganancia, se utiliza un par de amplificadores inversores. Nota op amp 2 sirve para amortiguar la señal de salida. Como cada etapa produce un\(^{\circ}\) desplazamiento de 180, el cambio para el par es de 360\(^{\circ}\). El producto de las ganancias tiene que ser mayor que la pérdida producida por la red de selección de frecuencia. Esta red está conformada por\(R_3\),\(L\), y\(C\). Debido a que la\(LC\) combinación produce un pico de impedancia a la frecuencia resonante\(f_o\), allí se producirá una pérdida mínima. Además, a la resonancia, el circuito es básicamente resistivo, por lo que no se produce ningún cambio de fase. En consecuencia, este circuito debe oscilar en la fo establecida por\(L\) y\(C\). Este circuito se puede probar fácilmente en laboratorio. Por ejemplo, si bajas la ganancia de una de las etapas del amplificador operacional, no habrá suficiente ganancia del sistema para sobrevenir la pérdida del circuito del tanque, y así, la oscilación cesará. También puede verificar el requisito de fase reemplazando uno de los amplificadores inversores por un amplificador no inversor de igual ganancia. La fase de bucle resultante de 180\(^{\circ}\) detendrá la oscilación. Este circuito no incluye ninguna forma de ajuste automático de ganancia, por lo que la señal de salida puede ser recortada. Si se elige correctamente, la velocidad de giro del amplificador operacional se puede usar como factor límite. (Un 741 funcionará aceptablemente\(f_o\) en el rango de kHz bajo). Aunque este circuito funciona y señala los detalles, ciertamente no es una opción superior para un diseño de oscilador basado en amplificadores operacionales.

    9.2.3: Oscilador Puente Wien

    Un diseño relativamente sencillo útil para trabajos de propósito general es el oscilador puente Wien. Este oscilador es mucho más simple que el diseño generalizado que se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\), y ofrece muy buen rendimiento. La red de selección de frecuencia es un circuito simple de plomo/retraso, como el que se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\). Este circuito es un divisor de voltaje sensible a la frecuencia. Combina la respuesta tanto de las redes simples de plomo como de lag. Normalmente, ambas resistencias se establecen en el mismo valor. Lo mismo puede decirse de los dos capacitores. A frecuencias muy bajas, la reactancia capacitiva es esencialmente infinita, y así, el condensador de serie superior aparece como un circuito abierto. Debido a esto, el voltaje de salida es cero. Del mismo modo, a frecuencias muy altas la reactancia capacitiva se acerca a cero, y el condensador de derivación inferior efectivamente corta la salida a tierra. Nuevamente, el voltaje de salida es cero. A alguna frecuencia media el voltaje de salida estará en un pico. Esta será la frecuencia preferida, o seleccionada, y se convertirá en la frecuencia de oscilación siempre que se mantenga la relación de fase adecuada. Necesitamos determinar el cambio de fase en este punto así como la relación del divisor de voltaje. Estos artículos son necesarios para garantizar que se cumplan las condiciones de Barkhausen.

    9.2.4.png

    Figura\(\PageIndex{4}\): Red de plomo/lag.

    Primero, tenga en cuenta que

    \[ \beta = \frac{Z_2}{Z_1+Z_2} \nonumber \]

    dónde\(Z_1 = R_1 - jX_{C_1}\), y\(Z_2 = R_2 || -jX_{C_2}\).

    \[ Z_2 = \frac{−j X_{C_2} R_2}{− j X_{C_2} + R_2} \nonumber \]

    \[ Z_2 = \frac{− j X_{C_2} R_2}{− j X_{C_2} ( 1+ \frac{R_2}{− j X_{C_2}} )} \nonumber \]

    \[ Z_2 = \frac{R_2}{1+ \frac{R_2}{− j X_{C_2}}} \nonumber \]

    Recordando eso\(X_C = 1/\omega C\), encontramos

    \[ Z_1 = R_1− \frac{j}{\omega C_1} \nonumber \]

    \[ Z_2 = \frac{R_2}{1+ j\omega R_2C_2} \nonumber \]

    Entonces,

    \[ \beta = \frac{\frac{R_2}{1+ j\omega R_2 C_2}}{\frac{R_2}{1+ j \omega R_2 C_2} + R_1 − \frac{j}{\omega C_1}} \nonumber \]

    \[ \beta = \frac{R_2}{R_2 + R_1 − \frac{j}{\omega C_1} + j \omega R_1 R_2 C_2 + \frac{R_2 C_2}{C_1}} \nonumber \]

    \[ \beta = \frac{R_2}{R_2 \left(1+ \frac{C_2}{C_1}\right) + R_1+ j\left( \omega R_1 R_2 C_2− \frac{1}{\omega C_1} \right)} \label{9.1} \]

    Podemos determinar la frecuencia deseada a partir de la porción imaginaria de la Ecuación\ ref {9.1}.

    \[ \omega R_1 R_2 C_2 = \frac{1}{\omega C_1} \nonumber \]

    \[ \omega ^2 = \frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2} \nonumber \]

    \[ \omega = \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}} \label{9.2} \]

    Normalmente,\(C_1 = C_2\) y\(R_1 = R_2\), así la Ecuación\ ref {9.2} se reduce a

    \[ \omega = \frac{1}{RC} \text{ or,} \nonumber \]

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi RC} \label{9.3} \]

    Para encontrar la magnitud del factor de retroalimentación y, por lo tanto, la ganancia hacia adelante requerida del amplificador operacional, necesitamos examinar la parte real de la Ecuación\ ref {9.1}.

    \[ \beta = \frac{R_2}{R_2 \left( 1+ \frac{C_2}{C_1} \right) +R1} \nonumber \]

    Suponiendo que se utilicen componentes iguales, esto se reduce a

    \[ \beta = \frac{R}{3R} \text{ or simply,} \nonumber \]

    \[ \beta = \frac{1}{3} \nonumber \]

    El resultado final es que la ganancia directa del amplificador debe tener una ganancia ligeramente superior a 3 y una fase\(^{\circ}\) de 0 para mantener la oscilación. También significa que la frecuencia de oscilación es bastante fácil de configurar e incluso se puede ajustar si se utilizan potenciómetros para reemplazar las dos resistencias. El circuito final se muestra en la Figura\(\PageIndex{5}\).

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    Figura\(\PageIndex{5}\): Oscilador puente Wien.

    Este circuito utiliza una combinación de retroalimentación negativa y retroalimentación positiva para lograr la oscilación. El bucle de retroalimentación positiva utiliza\(R_t\) y\(C\). El bucle de retroalimentación negativa utiliza\(R_a\) y\(R_b\). \(R_b\)debe ser aproximadamente el doble del tamaño de\(R_a\). Si es más pequeño, el\(A\beta \) producto será menor que la unidad y la oscilación no se puede mantener. Si la ganancia es significativamente mayor, puede resultar una distorsión excesiva. De hecho, se desea alguna forma de reducción de ganancia a voltajes de salida más altos para este circuito. Una posibilidad es reemplazar\(R_a\) con una lámpara. A medida que la amplitud de la señal aumenta a través de la lámpara, su resistencia aumenta, disminuyendo así la ganancia. En cierto punto la resistencia de la lámpara será suficiente para producir un\(A\beta \) producto de exactamente 1. Otra técnica se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\). Aquí se toma un enfoque opuesto. \(R_b\)La resistencia se divide primero en dos partes, la parte más pequeña,\(R_{b2}\), es desviada por un par de diodos de señal. Para amplitudes más bajas, los diodos están apagados y no afectan el funcionamiento del circuito. A amplitudes más altas, los diodos comienzan a encenderse, y así comienzan a cortoplejarse\(R_{b2}\). Si se implementa correctamente, esta acción no es instantánea y no produce recorte. Simplemente sirve para reducir la ganancia a amplitudes más altas.

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    Figura\(\PageIndex{6}\): Oscilador puente Wien con ajuste de ganancia.

    Otra forma de dibujar el oscilador puente Wien se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\). Esta forma muestra claramente la configuración del puente de Wien. Tenga en cuenta que la salida del puente es el voltaje de entrada diferencial (es decir, voltaje de error). En funcionamiento, el puente está equilibrado, y por lo tanto, el voltaje de error es cero.

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    Figura\(\PageIndex{7}\): Oscilador puente Wien redibujado.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Determinar la frecuencia de oscilación para el circuito de la Figura\(\PageIndex{8}\).

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi RC} \nonumber \]

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi \times 50 k\times .01 \mu F} \nonumber \]

    \[ f_o = 318Hz \nonumber \]

    9.2.8.png

    Figura\(\PageIndex{8}\): Oscilador por Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

    Para otras frecuencias, cualquiera\(R\) o\(C\) puede ser alterada según sea necesario. Además, tenga en cuenta que la ganancia hacia adelante funciona exactamente a 3, compensando así perfectamente el factor de retroalimentación positiva de 1/3. En realidad, las tolerancias de los componentes hacen que este circuito sea poco práctico. Para superar esta dificultad, se puede colocar una pequeña combinación de resistencia/diodo en serie con los 20 k\(\Omega\), como se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\). Un valor de resistencia típico sería de aproximadamente un cuarto a la mitad del valor de\(R_f\), o de aproximadamente 5 k\(\Omega\) a 10 k\(\Omega\) en este ejemplo. \(R_f\)también se disminuiría ligeramente (o,\(R_i\) podría aumentarse).

    La máxima precisión de\(f_o\) depende de las tolerancias de\(R\) y\(C\). Si se utilizan 10% partes en producción, es posible una varianza de aproximadamente 20%. Además, a frecuencias más altas, el circuito de amplificador operacional producirá un desplazamiento de fase moderado propio. Por lo tanto, la suposición de un amplificador perfecto no inversor ya no es válida, y se producirá algún error en la frecuencia de salida. Con valores extremos en la red de retroalimentación positiva, también es posible que se produzca algún cambio de la frecuencia de salida debido a los efectos de carga capacitiva y resistiva del amplificador operacional. Normalmente, este tipo de carga no es un problema, ya que la resistencia de entrada del amplificador operacional es muy alta, y su capacitancia de entrada es bastante baja.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    La figura\(\PageIndex{9}\) muestra un oscilador ajustable. Se utilizan tres conjuntos de condensadores para cambiar el rango de frecuencia, mientras que se usa un potenciómetro de doble banda para ajustar la frecuencia dentro de un rango dado. Determinar la frecuencia máxima y mínima de oscilación dentro de cada rango.

    9.2.9.png

    Figura\(\PageIndex{9}\): Oscilador ajustable.

    Primero, tenga en cuenta que los capacitores están espaciados por décadas. Esto significa que los rangos de frecuencia resultantes también cambiarán por factores de 10. El condensador 0.1\(\mu\) F producirá el rango más bajo, el 10 nF producirá un rango 10 veces mayor, y el rango de 1 nF será 10 veces mayor aún. Así, solo necesitamos calcular el rango producido por el 0.1\(\mu\) F.

    La frecuencia máxima de oscilación dentro de un rango dado se producirá con la menor resistencia posible. La resistencia mínima se ve cuando el\(\Omega\) bote de 10 k está completamente cortocircuitado, siendo el resultado 1.1 k\(\Omega\). Por el contrario, la frecuencia mínima ocurrirá con la mayor resistencia. Cuando el bote está completamente en el circuito, la suma resultante es de 11.1 k\(\Omega\). Tenga en cuenta que un potenciómetro de doble banda significa que ambas unidades están conectadas a un eje común; por lo tanto, ambas macetas siguen en tándem.

    Para\(f_{minimum}\) con 0.1\(\mu\) F:

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi RC} \nonumber \]

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi \times 11.1 k\times 0.1 \mu F} \nonumber \]

    \[f_o = 143.4 Hz \nonumber \]

    Para\(f_{maximum}\) con 0.1\(\mu\) F:

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi RC} \nonumber \]

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi \times 1.1 k\times 0.1 \mu F} \nonumber \]

    \[ f_o = 1.447 kHz \nonumber \]

    Para el 0.01\(\mu\) F, los rangos serían de 1.434 kHz a 14.47 kHz, y para el 0.001\(\mu\) F, los rangos serían de 14.34 kHz a 144.7 kHz. Tenga en cuenta que cada rango retoma donde lo dejó el anterior. De esta manera, no hay “brechas”, ni frecuencias inalcanzables. Para una oscilación estable, este circuito debe tener una ganancia de 3. Para salidas de bajo nivel, los diodos no estarán activos y la ganancia directa será

    \[ A_v = 1+ \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ A_v = 1+ \frac{10 k+2.7 k}{5.6 k} \nonumber \]

    \[ A_v = 3.27 \nonumber \]

    A medida que aumenta la señal, los diodos comienzan a encenderse, derivando así la\(\Omega\) resistencia de 2.2 k y bajando la ganancia de nuevo a exactamente 3.

    9.2.4: Oscilador de desplazamiento de fase

    Teniendo en cuenta el Criterio de Barkhausen, debería ser posible crear un oscilador mediante el uso de una simple red de desplazamiento de fase en la ruta de retroalimentación. Por ejemplo, si el circuito usa un amplificador inversor (-180\(^{\circ}\) shift), una red de retroalimentación con un\(^{\circ}\) desplazamiento adicional de 180 debería crear oscilación.

    El único otro requisito es que la ganancia del amplificador inversor sea mayor que la pérdida producida por la red de retroalimentación. Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{10}\). La red de retroalimentación puede ser tan simple como tres redes de plomo en cascada. Las redes principales producirán un desplazamiento de fase combinado de 180\(^{\circ}\) a una sola frecuencia. Esto se convertirá en la frecuencia de oscilación. En general, la red de retroalimentación se verá algo así como el circuito de Figura\(\PageIndex{11}\). Esta forma de\(RC\) diseño generalmente se conoce como una red de escalera.

    9.2.10.png

    Figura\(\PageIndex{10}\): Diagrama de bloques del oscilador de desplazamiento de fase.

    Hay muchas formas en las que\(R\) y se\(C\) pueden establecer para crear el\(^{\circ}\) turno deseado de 180. Quizás el esquema más obvio es establecer cada escenario para un\(^{\circ}\) turno de 60. Los componentes se determinan encontrando una combinación que produzca un\(^{\circ}\) desplazamiento de 60 a la frecuencia deseada. Para evitar efectos de carga, cada etapa debe ajustarse a impedancias cada vez más altas. Por ejemplo,\(R_2\) podría establecerse en 10 veces el valor de\(R_1\), y\(R_3\) establecer en 10 veces el valor de\(R_2\). Los condensadores verían una disminución correspondiente. Debido a que la tangente del desplazamiento de fase produce la relación de\(X_C\) a\(R\), a nuestro deseado 60\(^{\circ}\) encontramos

    \[ \tan 60 = \frac{X_C}{R} \nonumber \]

    \[ 1.732 = \frac{X_C}{R} \nonumber \]

    \[ X_C = 1.732 R \nonumber \]

    9.2.11.png

    Figura\(\PageIndex{11}\): Red de desplazamiento de fase

    El uso de esto en la fórmula general de reactancia produce

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi 1.732 RC} \label{9.4} \]

    Asimismo, una mirada a la magnitud muestra la pérdida aproximada por etapa de

    \[ \beta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_C^{2}}} \nonumber \]

    \[ \beta = \frac{R}{\sqrt{R^2 +(1.732 R)^{2}}} \nonumber \]

    \[ \beta = .5 \nonumber \]

    Debido a que hay tres etapas, la pérdida total para la red de retroalimentación sería de 0.125. Por lo tanto, el amplificador inversor necesita una ganancia de 8 para ajustar el\(A\beta \) producto a la unidad. Recuerde, estos resultados son aproximados y dependen de la carga mínima entre etapas. En breve seguirá un análisis más exigente.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Determinar la frecuencia de oscilación en la Figura\(\PageIndex{12}\).

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi 1.732 RC} \nonumber \]

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi \times 1.732\times 1 k\times 100 nF} \nonumber \]

    \[ f_o = 919 Hz \nonumber \]

    9.2.12.png

    Figura\(\PageIndex{12}\): Oscilador de desplazamiento de fase (forma de carga mínima).

    La figura señala\(\PageIndex{12}\) gráficamente el mayor problema con el concepto “60\(^{\circ}\) por etapa”. Para evitar la carga, las resistencias finales deben ser muy altas. En este caso se requiere una resistencia de retroalimentación\(\Omega\) de 8 M. Es posible simplificar un poco el circuito omitiendo el 1 M\(\Omega\) y conectando los 100 k\(\Omega\) directamente al amplificador operacional como se muestra en la Figura\(\PageIndex{13}\). Esto ahorra una parte y permite que la resistencia de retroalimentación caiga en valor, pero la dispersión de componentes resultante aún no es ideal.

    9.2.13.png

    Figura\(\PageIndex{13}\): Oscilador de desplazamiento de fase mejorado.

    Si aceptamos el efecto de carga, podemos simplificar un poco las cosas haciendo que cada resistor y condensador tengan el mismo tamaño, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{14}\). Con estos valores, podemos estar seguros de que la frecuencia resultante ya no será de 919 Hz, ya que la Ecuación\ ref {9.4} ya no es válida. Además, es muy probable que la pérdida producida por la red ya no sea de 0.125.

    9.2.14.png

    Figura\(\PageIndex{14}\): Análisis de desplazamiento de fase.

    Necesitamos determinar la\((V_0 / V_3)\) relación general de entrada/salida de la red de escalera, y a partir de esto, encontrar las relaciones de ganancia y frecuencia para un desplazamiento de fase neto de -180\(^{\circ}\). Una técnica implica el uso de ecuaciones de bucle simultáneas. Debido a que todas las resistencias y condensadores son iguales en esta variación, podremos simplificar nuestras ecuaciones fácilmente. Por inspección, las tres ecuaciones de bucle son (de izquierda a derecha):

    \[ V_0 = (R+ X_C) I_1 − R I_2 \label{9.5} \]

    \[ 0 = −R I_1 + (2 R + X_C) I_2 − R I_3 \label{9.6} \]

    \[ 0 = −R I_2 + (2 R + X_C) I_3 \label{9.7} \]

    También, tenga en cuenta que

    \[ V_3 = I_3 R \label{9.8} \]

    Ahora tenemos expresiones para\(V_0\) y\(V_3\), sin embargo,\(V_0\) es en términos de\(I_1\) y\(I_2\), y\(V_3\) es en términos de\(I_3\). Escribe\(I_1\) y\(I_2\) en términos de\(I_3\) para que podamos sustituirlos de nuevo en Ecuación\ ref {9.5}. Reescribir la ecuación\ ref {9.7} produce una expresión para\(I_2\)

    \[ I_2 = I_3 \left(2+ \frac{X_C}{R}\right) \label{9.9} \]

    Para\(I_1\), reescribir la ecuación\ ref {9.6}

    \[ I_1 = \left( 2+ \frac{X_C}{R} \right) I_2 − I_3 \label{9.10} \]

    Sustituyendo la ecuación\ ref {9.9} en la ecuación\ ref {9.10} rendimientos

    \[ I_1 = I_3 \left(\left( 2+ \frac{X_C}{R} \right)^{2} −1\right) \label{9.11} \]

    Por lo tanto,\(V_0\) puede ser reescrito como

    \[ V_0 = I_3 (R+ X_C) \left( \left( 2 + \frac{X_C}{R} \right)^2 −1 \right)− I_3 R \left( 2+ \frac{X_C}{R} \right) \label{9.12} \]

    La ecuación\ ref {9.12} puede simplificarse a

    \[ V_0 = I_3 \left( R \left( 2 + \frac{X_C}{R} \right)^2 + X_C \left( 2+ \frac{X_C}{R} \right)^2 −3 R−2 X_C \right) \label{9.13} \]

    La expresión de entrada/salida se simplifica de la siguiente manera.

    \[ \frac{V_0}{V_3} = \left( R \left( 2+ \frac{X_C}{R} \right)^2 + X_C \left( 2+ \frac{X_C}{R} \right)^2 −3 R −2 X_C \right) \left( \frac{1}{R} \right) \label{9.14} \]

    \[ \frac{V_0}{V_3} = \left(2+ \frac{X_C}{R} \right)^2 + \frac{X_C}{R} \left(2+ X C R \right)^2 − 3 − 2 \frac{X_C}{R} \nonumber \]

    \[ \frac{V_0}{V_3} = 1+ \frac{6 X_C}{R} + 5 \frac{X_C^2}{R^2} + \frac{X_C^3}{R^3} \label{9.15} \]

    En este punto, casi terminamos con la ecuación general. Todo lo que queda es sustituir\(1 / j\omega C\) en lugar de\(X_C\). Recuerda,\(j^2 = -1\)

    \[ \frac{V_0}{V_3} = 1+ \frac{6}{j\omega C R} − \frac{5}{\omega ^2 C^2 R^2} − \frac{1}{j \omega ^3 C^3 R^3} \label{9.16} \]

    Esta Ecuación contiene términos tanto reales como imaginarios. Para que esta Ecuación se satisfaga, los componentes imaginarios\((6 / j\omega CR\) y\(1 / j\omega ^3 C^3 R^3 )\) deben sumar a cero, y los componentes reales deben sumar de manera similar a cero (ya que solo hay dos términos, sus magnitudes deben ser iguales). Podemos usar estos hechos para encontrar tanto la ganancia como la frecuencia.

    \[ \frac{6}{j\omega CR} = \frac{1}{j \omega ^3 C^3 R^3} \nonumber \]

    \[ \frac{1}{j\omega CR} = \frac{1}{ 6 j \omega ^3 C^3 R^3} \nonumber \]

    \[1 = \frac{1}{ 6 j \omega ^2 C^2 R^2} \nonumber \]

    \[ \omega ^2 = \frac{1}{ 6 C^2 R^2} \label{9.17} \]

    \[ \omega = \frac{1}{\sqrt{6}CR} \ or, \label{9.18} \]

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi \sqrt{6}CR} \label{9.19} \]

    Para la ganancia, resolvemos la Ecuación\ ref {9.16} en términos de la relación de voltaje y cero los términos imaginarios, porque el resultado debe ser real.

    \[ \frac{V_0}{V_3} = 1 − \frac{5}{\omega ^2 C^2 R^2} \label{9.20} \]

    Sustituyendo la ecuación\ ref {9.17} en la ecuación\ ref {9.20} rendimientos

    \[ \frac{V_0}{V_3} = 1 − \frac{5}{\frac{1}{6 C^2 R^2} C^2 R^2} \label{9.21} \]

    \[ \frac{V_0}{V_3} =1 −5\times 6 \nonumber \]

    \[ \frac{V_0}{V_3} =−29 \label{9.22} \]

    La ganancia de la red de escalera es\(V_3 /V_0\), o el recíproco de la ecuación\ ref {9.22}, o

    \[ \beta = \frac{1}{−29} \label{9.23} \]

    La pérdida producida será de 1/29. Esto tiene la desventaja de requerir una ganancia hacia adelante de 29 en lugar de 8 (como en la forma anterior). Esta desventaja es menor en comparación con la ventaja de valores razonables de los componentes.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Determinar un valor para\(R_f\)\(\PageIndex{15}\) en Figura con el fin de mantener la oscilación. También determinar la frecuencia de oscilación.

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    Figura\(\PageIndex{15}\): Oscilador de desplazamiento de fase de igual componente.

    La ecuación\ ref {9.23} muestra que el amplificador inversor debe tener una ganancia de 29.

    \[ A_v = − \frac{R_f}{R_i} \nonumber \]

    \[ R_f = − \frac{R_i}{A_v} \nonumber \]

    \[ R_f = −1 k \times −29 \nonumber \]

    \[ R_f = 29 k \nonumber \]

    Por supuesto, se utilizará el valor estándar más alto. Además, para controlar la ganancia en niveles más altos, se debe colocar en serie una combinación diodo/resistencia (como se usa en los circuitos puente de Wien)\(R_f\). Sin un circuito limitador de ganancia, puede ocurrir una distorsión excesiva.

    \[ f_o = \frac{1}{2\pi \sqrt{6} RC} \nonumber \]

    \[ f_o = \frac{1}{2 \pi \sqrt{6}\times 1k\times 0.1\mu F} \nonumber \]

    \[ f_o = 650 Hz \nonumber \]

    Simulación por Computadora

    Para verificar las Ecuaciones\ ref {9.3} y\ ref {9.19}, las respuestas de ganancia y fase de las redes de retroalimentación de las Figuras\(\PageIndex{13}\) y\(\PageIndex{15}\) se encuentran en la Figura\(\PageIndex{16}\). Estas gráficas se obtuvieron a través de la ruta estándar Multisim. Tenga en cuenta que la fase para ambos circuitos alcanza -180\(^{\circ}\) muy cerca de las frecuencias predichas. La predicción de red de igual valor es muy precisa, mientras que la predicción de red escalonada está desactivada en solo unos pocos por ciento. Una vez que la fase supera -180\(^{\circ}\), el grafo Multisim lo envuelve de nuevo a +180\(^{\circ}\), por lo que es muy fácil ver esta frecuencia. Asimismo, la respuesta de ganancia concuerda con las derivaciones para atenuación a la frecuencia de oscilación. También puede ser muy instructivo analizar estos circuitos para la respuesta de ganancia y fase en cada etapa.

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    Figura\(\PageIndex{16a}\): Red de igual valor en Multisim.

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    Figura\(\PageIndex{16b}\): Respuesta de red de igual valor.

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    Figura\(\PageIndex{16c}\): Red de valores escalonados en Multisim.

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    Figura\(\PageIndex{16d}\): Respuesta de la red de valores escalonados.

    9.2.5: Generador de Función Cuadrado/Triangular

    Además de generar ondas sinusoidales, se pueden emplear circuitos de amplificador operacional para generar otras formas de onda como rampas, ondas triangulares o pulsos. En términos generales, las formas de onda de tipo cuadrado y pulso pueden derivarse de otras fuentes mediante el uso de un comparador. Por ejemplo, una onda cuadrada puede derivarse de una onda sinusoidal pasándola a través de un comparador, como los que se ven en el Capítulo Siete. Las formas de onda lineales tales como triángulos y rampas pueden derivarse de la acción de carga/descarga de un condensador. Como recordará de la teoría básica de circuitos, el voltaje a través de un condensador aumentará linealmente si es impulsado por una fuente de corriente constante. Una forma de lograr esta subida lineal es con el circuito de la Figura\(\PageIndex{17}\).

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    Figura\(\PageIndex{17}\): Generador de rampa.

    En esencia, este circuito es un amplificador inversor con un condensador que toma el lugar de\(R_f\). La resistencia de entrada,\(R\), convierte el voltaje de entrada aplicado en una corriente. Debido a que la corriente en el amplificador operacional en sí es insignificante, esta corriente fluye directamente al condensador\(C\). Al igual que en un amplificador inversor normal, el voltaje de salida es igual al voltaje a través del elemento de retroalimentación, aunque invertido. La relación entre la corriente del condensador y el voltaje es

    \[ \frac{d_v}{d_t} = \frac{i}{C} \label{9.24} \]

    \[ V(t) = \frac{1}{C} \int i dt \nonumber \]

    \[ V_{out} = − \frac{1}{C} \int i dt \label{9.25} \]

    Como era de esperar, se puede crear un aumento rápido ya sea por un condensador pequeño o una corriente grande. (Como nota al margen, este circuito se llama integrador y será examinado con mayor detalle en el siguiente capítulo).

    Al elegir los valores apropiados para\(R\) y\(C\), la\(V_{out}\) rampa se puede establecer a una velocidad deseada. La polaridad de la pendiente de la rampa está determinada por la dirección de la corriente de entrada; una fuente positiva producirá una rampa negativa y viceversa. Si la polaridad de la entrada cambia a cierta velocidad, la rampa de salida cambiará de dirección en tándem. El efecto neto es una onda triangular. Una forma sencilla de generar la polaridad de entrada alterna es conducir\(R\) con una onda cuadrada. A medida que la onda cuadrada cambia de más a menos, la rampa cambia de dirección. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{18}\).

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    Figura\(\PageIndex{18}\): Formas de onda del generador de rampa.

    Entonces, ahora somos capaces de generar una onda triangular. El único problema es que se necesita una fuente de onda cuadrada. ¿Cómo producimos la fuente cuadrada? Como se mencionó anteriormente, una onda cuadrada puede derivarse haciendo pasar una señal de CA a través de un comparador. Lógicamente entonces, deberíamos poder pasar la onda triangular de salida a un comparador para crear la onda cuadrada necesaria. El circuito resultante se muestra en la Figura\(\PageIndex{19}\). Se utiliza un comparador con histéresis para convertir el triángulo en una onda cuadrada. A continuación, la plaza acciona el circuito de rampa. El circuito produce dos salidas simultáneas: una onda cuadrada que oscila a\(\pm\) saturación y una onda triangular que oscila hacia los umbrales del comparador superior e inferior. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{20}\). Los umbrales podrán determinarse a partir de las ecuaciones presentadas en el Capítulo Siete. Para determinar la frecuencia de salida, la tasa V/s de la rampa se determina a partir de la Ecuación\ ref {9.24}. Conociendo la oscilación pico a pico del triángulo es\(V_{\text{upper thres}} - V_{\text{lower thres}}\), se puede encontrar el período de la ola. La frecuencia de salida es la recíproca del periodo.

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    Figura\(\PageIndex{19}\): Generador de triangulo/cuadrado.

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    Figura\(\PageIndex{20}\): Formas de onda de salida del generador de triangulo/cuadrado.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Determinar la frecuencia y amplitudes de salida para el circuito de la Figura\(\PageIndex{21}\). Uso\(V_{sat} = \pm 13 V\).

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    Figura\(\PageIndex{21}\): Generador de señal para Ejemplo\(\PageIndex{5}\).

    Primero, tenga en cuenta que el comparador siempre oscila entre\(+V_{sat}\) y\(-V_{sat}\). Ahora, determine los umbrales superior e inferior para el comparador.

    \[ V_{\text{upper thres}} = V_{sat} \frac{R_2}{R_3} \nonumber \]

    \[ V_{\text{upper thres}} = 13 V \frac{10 k}{20 k} \nonumber \]

    \[ V_{\text{upper thres}} = 6.5 V \nonumber \]

    El umbral inferior será de -6.5 V. Ahora sabemos que la salida de onda triangular será de 13 V pico a pico. A partir de esto podemos determinar el periodo de salida.

    Debido a que el generador de rampa es impulsado por una onda cuadrada con una amplitud de\(V_{sat}\), la Ecuación\ ref {9.24} puede ser reescrita como

    \[ \frac{d_v}{d_t} = \frac{V_{sat}}{RC} \nonumber \]

    \[ \frac{d_v}{d_t} = \frac{13V}{33 k\times 0.01 \mu F} \nonumber \]

    \[ \frac{d_v}{d_t} = 39,394V/s \nonumber \]

    El tiempo requerido para producir la oscilación pico a pico de 13 V es

    \[ T = \frac{13 V}{39,394 V/s} \nonumber \]

    \[ T = 330 \mu s \nonumber \]

    Esto representa un medio ciclo de la onda de salida. Para pasar de +6.5 V a -6.5 V y volver requerirá 660\(\mu\) s. Por lo tanto, la frecuencia de salida es

    \[ f = \frac{1}{T} \nonumber \]

    \[ f = \frac{1}{660 \mu s} \nonumber \]

    \[ f = 1.52 kHz \nonumber \]

    La frecuencia resultante del Ejemplo se\(\PageIndex{5}\) puede ajustar cambiando la\(\Omega\) resistencia de 33 k o el condensador de 10 nF. Cambiar las resistencias del comparador puede alterar los umbrales, y así alterar la frecuencia, pero esto generalmente no es recomendable, ya que también se producirá un cambio en la amplitud de salida. Combinando etapas, el proceso anterior puede reducirse a una sola ecuación:

    \[ f = \frac{1}{\frac{2V_{pp}}{V_{sat}} RC} \label{9.26} \]

    donde\(V_{pp}\) esta la diferencia entre\(V_{upper thres}\) y\(V_{lower thres}\). Tenga en cuenta que si\(R_3\) es 4 veces mayor que\(R_2\) en el comparador, la ecuación\ ref {9.26} se reduce a

    \[ f = \frac{1}{RC} \nonumber \]

    y la amplitud de onda del triángulo pico es de una cuarta parte de\(V_{sat}\).

    Generalmente, circuitos como este se utilizan para trabajos de menor frecuencia. Para ondas cuadradas limpias, se requieren amplificadores operacionales muy rápidos. Finalmente, para cargas de menor impedancia, las salidas deben estar amortiguadas con seguidores de voltaje.

    Simulación por Computadora

    La simulación Multisim para el generador de señal de Ejemplo\(\PageIndex{5}\) se muestra en la Figura\(\PageIndex{22}\). Las salidas cuadradas y triangulares se trazan juntas para que se pueda ver la acción de conmutación. Observe cómo se deriva cada onda de la otra. La gráfica de salida se retrasa 5 milisegundos para garantizar una gráfica de la salida en estado estacionario. Si no se retrasan los tiempos de trazado, se obtendrá una gráfica de los transitorios iniciales de encendido. Pueden pasar muchos milisegundos antes de que las formas de onda finalmente se estabilicen, dependiendo de la frecuencia de oscilación deseada y las condiciones iniciales del circuito. Por último, observe los agudos bordes ascendentes y descendentes de la onda cuadrada. Esto se debe a la velocidad de respuesta moderadamente rápida del amplificador operacional LF411 elegido. Si se hubiera utilizado un dispositivo más lento como el 741, la calidad de las formas de onda de salida habría sufrido.

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    Figura\(\PageIndex{22a}\): Generador de triangulo/cuadrado en Multisim.

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    Figura\(\PageIndex{22b}\): Formas de onda de salida del simulador.

    Si no se necesita una onda triangular precisa, y solo se requiere una onda cuadrada, el circuito de la Figura\(\PageIndex{19}\) puede reducirse a una sola etapa de amplificador operacional. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{23}\). Este circuito es, en esencia, un comparador. Resistencias\(R_1\) y\(R_2\) formar la porción de retroalimentación positiva y establecer el punto de disparo comparador efectivo, o umbral. La señal de medición es el voltaje a través del condensador. Los potenciales de interés se muestran en la Figura\(\PageIndex{24}\). Si la salida está en saturación positiva, la entrada no inversora verá un porcentaje de esto, dependiendo del divisor de voltaje producido por\(R_1\) y\(R_2\). Este potencial lo es\(V_{upper thres}\). Debido a que la salida está en saturación positiva, el condensador\(C\), se cargará hacia él. Debido a que se está cargando a través de resistencia\(R\), la forma de onda es de tipo exponencial. Una vez que el voltaje del condensador alcanza\(V_{upper thres}\), la entrada no inversora ya no será mayor que la entrada inversora, y el dispositivo cambiará al estado negativo. En este punto,\(C\) invertirá su curso y se moverá hacia la saturación negativa. En el umbral inferior, el amplificador operacional volverá a cambiar de estado y el proceso se repite. Para determinar la frecuencia de oscilación, necesitamos encontrar cuánto tiempo tarda el condensador en cargarse entre los dos puntos de umbral. Normalmente el circuito será alimentado a partir de suministros de igual magnitud, y por lo tanto\(+V_{sat} = -V_{sat}\) y\(V_{upper thres} = V_{lower thres}\). Por inspección,

    \[ V_{thres} = V_{sat} \frac{R_1}{R_1+R_2} \label{9.27} \]

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    Figura\(\PageIndex{23}\): Generador de onda cuadrada simple.

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    Figura\(\PageIndex{24}\): Formas de onda de un generador de onda cuadrada simple.

    El voltaje del condensador es

    \[ V_C (t) = V_k (1 −\epsilon^{\frac{−t}{RC}}) \label{9.28} \]

    donde\(V_k\) está el potencial total aplicado al condensador. Debido a que el condensador comenzará en un umbral e intentará cargarse al límite de saturación opuesto, esto es

    \[ V_k = V_{sat} + V_{thres} \label{9.29} \]

    Combinando Ecuación\ ref {9.27}, Ecuación\ ref {9.28}, y Ecuación\ ref {9.29} rendimientos

    \[ V_C (t) = ( V_{sat} + V_{thres} )\left(1 −\epsilon^{\frac{−t}{RC}}\right) \label{9.30} \]

    En el punto en que el comparador cambia de estado,

    \[ V_C = 2 V_{thres} \label{9.31} \]

    Combinando la Ecuación\ ref {9.30} y la Ecuación\ ref {9.31} produce

    \[ 2 V_{thres} = (V_{sat} + V_{thres}) \left(1−\epsilon^{−t R C} \right) \\ 1−\epsilon^{\frac{−t}{RC}} = \frac{2 V_{thres}}{V_{sat} + V_{thres}} \\ 1−\epsilon^{\frac{−t}{RC}} = \frac{2 V_{sat} \frac{R_1}{R_1+ R_2}}{V_{sat}\left( 1+ \frac{R_1}{R_1+ R_2} \right)} \\ 1−\epsilon^{\frac{−t}{RC}} = \frac{2 R_1}{2 R_1+R_2} \\ \epsilon^{\frac{−t}{RC}} = \frac{R_2}{2 R_1+R_2} \\ \frac{−t}{RC} = \ln \left( \frac{R_2}{2 R_1+R_2} \right) \\ t = RC \ln \left( \frac{2 R_1+ R_2}{R_2} \right) \nonumber \]

    Esto representa el tiempo de carga del condensador. Un periodo requiere de dos de esos trazos, por lo que podemos decir

    \[ T = 2 RC \ \ln \left( \frac{2 R_1+R_2}{R_2} \right) \ or, \nonumber \]

    \[ f_o = \frac{1}{2 RC \ \ln \left( \frac{2 R_1+ R_2}{R_2} \right)} \label{9.32} \]

    Podemos transformar la Ecuación\ ref {9.32} en formas “más agradables” eligiendo valores para\(R_1\) y de\(R_2\) tal manera que el término logarítmico se convierta en un número conveniente, como 1 o 0.5. Por ejemplo, si establecemos\(R_1 = 0.859 R_2\), el término logarítmico es unidad, y consecuentemente la ecuación\ ref {9.32} se convierte en\(f_o = 1 / 2RC\)

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Diseñar un generador de onda cuadrada de 2 kHz utilizando el circuito de la Figura\(\PageIndex{23}\). Para mayor comodidad, establece\(R_1 = 0.859 R_2\). Si\(R_1\) se establece arbitrariamente en 10 k\(\Omega\), entonces

    \[ R_1 = 0.859 R_2 \nonumber \]

    \[ R_2 = \frac{R_1}{0.859} \nonumber \]

    \[ R_2 = \frac{10 k}{0.859} \nonumber \]

    \[ R_2 = 11.64 k \nonumber \]

    Con el fin de establecer la frecuencia de oscilación,\(R\) se establece arbitrariamente en 10 k\(\Omega\), y luego\(C\) se determina.

    \[ f_o = \frac{1}{2 RC} \nonumber \]

    \[ C = \frac{1}{2 R f_o} \nonumber \]

    \[ C = \frac{1}{2\times 10 k\times 2 kHz} \nonumber \]

    \[ C = 25 nF \nonumber \]

    Simulación por Computadora

    En la Figura se muestra una simulación del generador de onda cuadrada del Ejemplo\(\PageIndex{6}\)\(\PageIndex{25}\). Para ilustrar gráficamente la importancia de que el amplificador operacional tenga suficiente ancho de banda y velocidad de respuesta, la simulación se ejecuta dos veces, una usando el LF411 moderadamente rápido y una segunda vez usando el 741 mucho más lento.

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    Figura\(\PageIndex{25a}\): Generador de onda cuadrada en Multisim.

    Tanto los voltajes de salida como los del condensador se representan a partir del Análisis Transitorio. Usando el LF411, la forma de onda de salida es muy nítida con bordes afilados de subida y caída. El voltaje del condensador aparece exactamente como debería. La frecuencia resultante es solo un poco menor que el objetivo de 2 kHz. En contraste, las 741 parcelas muestran algunos problemas. Primero, la onda cuadrada tiene una tasa de giro notable que limita las transiciones. En segundo lugar, debido a los problemas de giro, la forma de onda del voltaje del condensador aparece distorsionada (tenga en cuenta el redondeo excesivo de los picos). Estos efectos se combinan para producir una frecuencia aproximadamente 15 por ciento menor que el objetivo, o aproximadamente 1.7 kHz. El resultado final es una forma de onda de salida deslucida.

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    Figura\(\PageIndex{25b}\): Formas de onda usando LF411.

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    Figura\(\PageIndex{25c}\): Formas de onda usando 741.


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