1.2: Dígitos significativos y resolución

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Un elemento clave de cualquier medida o valor derivado es la resolución resultante. La resolución se refiere al cambio o variación más fina que puede ser discernida por un sistema de medición. Para los sistemas de medición digital, este suele ser el último o el dígito de nivel más bajo mostrado. Por ejemplo, una báscula de baño puede mostrar pesos en libras enteras. Así, una libra sería la resolución de la medición. Aunque la báscula fuera por lo demás perfectamente precisa, no podríamos estar seguros del peso de una persona a menos de una libra usando esta báscula ya que no hay forma de indicar fracciones de una libra.

Relacionado con la resolución es el número de dígitos significativos de un valor. Se puede considerar que los dígitos significativos representan la precisión porcentual potencial en la medición o el cálculo. Continuando con el ejemplo de báscula de baño, considera lo que sucede cuando se pesa un adulto de 156 libras versus un niño pequeño de 23 libras. Como la báscula sólo resuelve a una libra, eso nos presenta una incertidumbre de una libra sobre 156 para el adulto, pero una incertidumbre mucho mayor de una libra de 23 para el niño. La medida de 156 libras tiene tres dígitos significativos (es decir, unidades, decenas y cientos) mientras que la medición de 23 libras tiene solo dos dígitos significativos (unidades y decenas).

En general, los ceros inicial y final no se consideran significativos. Por ejemplo, el valor 173.58 tiene cinco dígitos significativos mientras que el valor 0.00143 tiene solo tres dígitos significativos (la porción “143”) al igual que 0.000000143. De igual manera, si calculamos el valor 63/3.0, llegamos a 21, con dos dígitos significativos. Si su calculadora muestra 21.0 o 21.00, esos ceros finales adicionales no aumentan la precisión y no se consideran significativos. Una excepción a esta regla es cuando se miden valores en el laboratorio. Si un voltímetro de alta resolución indica un valor de, digamos, 120.0 voltios, esos dos últimos ceros se consideran significativos ya que reflejan la resolución de la medición (es decir, el medidor es capaz de leer hasta décimas de voltios).

Al realizar cálculos, los resultados generalmente no serán más precisos que la precisión de las mediciones iniciales. En consecuencia, no tiene sentido dividir dos valores medidos obtenidos con tres dígitos significativos y reportar el resultado con diez dígitos significativos, aunque eso sea lo que aparece en la calculadora. Lo mismo sería cierto para la multiplicación. Para este tipo de cálculos, no podemos esperar que el resultado sea mejor que el “eslabón más débil” en términos de resolución y dígitos significativos resultantes. Por ejemplo, considere el valor 3.5 dividido entre 2.3. Ambos valores tienen dos dígitos significativos. Usando una calculadora estándar, encontramos una respuesta de 1.52173913. El resultado tiene nueve dígitos significativos, lo que implica una precisión y resolución mucho mayores de lo que comenzamos, y por lo tanto es engañoso. A dos dígitos significativos, la respuesta se redondearía a 1.5. En una larga cadena de cálculos puede ser aconsejable redondear los resultados intermedios a otro dígito y luego redondear la respuesta final como se indicó anteriormente. Esto ayudará a mitigar los errores acumulados.

Cuando se trata de suma y resta, el valor mayor tenderá a indicar el número de dígitos significativos disponibles, particularmente en el laboratorio. Esto se debe a la resolución de la medición (es decir, su mejor dígito). Por ejemplo, supongamos que tenemos que sumar dos distancias. Conducimos un auto desde un estacionamiento hasta su salida, una distancia que grabamos con una cinta métrica como siendo 51.17 pies. Luego conducimos desde la salida a la siguiente ciudad, que el odómetro del automóvil registra como de 60.0 millas. ¿Es justo decir que la distancia total es de 60 millas más 51.17 pies? No, no lo es. ¿Por qué? Porque no podemos esperar que el odómetro del auto sea preciso dentro de 0.01 pies, como la cinta métrica. De hecho, el odómetro está leyendo un valor con resolución de una décima milla. Una décima de milla es 528 pies, o más de diez veces la medida completa dada por la cinta. Simplemente ignoraríamos la cinta métrica porque es menor que la resolución del odómetro. El resultado adecuado es de 60.0 millas. Ahora en contraste, si la cinta métrica hubiera indicado 552.7 pies, o un poco más de 0.1 millas, podríamos decir con seguridad que la distancia total era de 60.1 millas, redondeando el resultado al dígito de resolución más fina del valor medido más groseramente. Por supuesto, este ejemplo es un poco ideado pero está diseñado para mostrar las limitaciones de los dispositivos de medición. También se complica por el hecho de que estamos utilizando la unidad habitual de Estados Unidos (millas, pies), completa con sus factores de conversión impares. Afortunadamente, prácticamente todo el trabajo actual en ciencia y tecnología utiliza el sistema métrico mucho más simple, que estaremos examinando en breve.

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Ejemplo 1.2.1

Determinar el número de dígitos significativos en los siguientes valores.

A. 12.6

B. 0.0034

C. 43.001

D. 5400

Respuestas:

A. Los tres dígitos son significativos.

B. Dos. Sólo los 3 y 4 cuentan porque los ceros a la izquierda no son significativos.

C. Cinco. Los ceros incrustados son significativos.

D. Dos. Los ceros finales generalmente no se consideran significativos.

Ejemplo 1.2.2

Realizar los siguientes cálculos, dejando la respuesta con el número apropiado de dígitos significativos.

A.\(55 \cdot 10.1\)

B. 2312.5/16.2

C. 1756.2 + 345.1

D. 750.2 − 0.004

Respuestas:

A. 555.5 que redondea a 560 (55 tiene sólo dos dígitos significativos).

B. 142.7469136... que redondea a 143 (16.2 tiene tres dígitos significativos).

C. 2101.3 (ambos valores tienen resolución a décimas lugar).

D. 750.2 (no extender la respuesta más allá de la resolución más gruesa de décimas lugar).

Resumen

Los ceros a la izquierda no son significativos
Los ceros finales generalmente no son significativos, pero pueden ser cuando el equipo de medición de mayor resolución proporciona ceros finales en la medición
Todos los dígitos distintos de cero son significativos y todos los dígitos cero entre dígitos distintos de cero son significativos
Al multiplicar y dividir, el valor con el menor número de dígitos significativos indica el número de dígitos significativos en el resultado
Al sumar y restar, el valor con menor resolución (es decir, el más grueso) establecerá el límite de resolución en el resultado