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6.4: Teorema de Thévenin

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    El teorema de Thévenin, llamado así por Léon Charles Thévenin, es una poderosa herramienta de análisis. Para CC, establece:

    \[\text{Any single port linear network can be reduced to a simple voltage source, } E_{th}, \text{in series with an internal resistance, } R_{th}. \nonumber \]

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    Figura 6.4.1 : Circuito equivalente Thévenin.

    Un ejemplo se muestra en la Figura 6.4.1 . La frase “red de puerto único” significa que el circuito está cortado de tal manera que solo existen dos conexiones al resto del circuito (dos puntos de conexión constituyen un puerto). El resto del circuito puede ser un solo componente o un subcircuito multicomponente grande. Como hay muchas formas de cortar un circuito típico, hay muchos equivalentes posibles de Thévenin. Lo importante es que solo hay dos puntos de conexión entre las dos partes del circuito y ninguno de los dos puntos tiene que estar a tierra.

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    Figura 6.4.2 : Ejemplo de circuito.

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    Figura 6.4.3 : Encontrar\(E_{th}\)..

    Considere el circuito que se muestra en la Figura 6.4.2 . Supongamos que cortamos el circuito inmediatamente a la izquierda de\(R_4\). Es decir, encontraremos el equivalente Thévenin que impulsa\(R_4\). El primer paso es hacer el corte, quitando el resto del circuito (en este caso, solo\(R_4\)). Luego determinamos el voltaje de salida de circuito abierto. Este es el voltaje máximo que podría aparecer entre los puntos de corte y se llama el voltaje Thévenin,\(E_{th}\). Esto se muestra en la Figura 6.4.3 . En un circuito como este, se puede utilizar el análisis básico serie-paralelo para encontrar\(E_{th}\). Este proceso resulta ser bastante sencillo en este circuito en particular. Debido a la apertura, no fluye corriente\(R_3\), por lo tanto no se desarrolla voltaje a través\(R_3\), y por lo tanto\(E_{th}\) debe ser igual al voltaje desarrollado a través del\(R_2\) cual se puede obtener a través de un divisor de voltaje con resistencia\(R_1\) y fuente\(E\).

    La segunda parte es encontrar la resistencia Thévenin,\(R_{th}\). Comenzando con el circuito de “corte”, reemplace todas las fuentes con su resistencia interna ideal (cortocircuitando así las fuentes de voltaje y abriendo las fuentes de corriente). Desde la perspectiva del punto de corte, mire hacia atrás en el circuito y simplifique haciendo combinaciones adecuadas en serie y paralelo para determinar su resistencia equivalente. Esto se muestra en la Figura 6.4.4 . Mirando desde donde se realizó el corte (de derecha a izquierda aquí), nos encontramos con eso\(R_1\) y\(R_2\) estamos en paralelo, y esta combinación es entonces en serie con\(R_3\). Así,\(R_{th} = R_3 + (R_1 || R_2)\). Un error común es determinar la resistencia equivalente que impulsa la fuente. Recuerda, todo está determinado desde el punto de vista del corte o puerto.

    Los equivalentes de Thévenin no se limitan a circuitos de fuente única. Es posible encontrar el equivalente de una red con varias fuentes. Encontrar el voltaje de salida de circuito abierto sin duda requerirá algún trabajo extra, por ejemplo el uso de superposición de conversiones de fuente. Encontrar la resistencia Thévenin no ha cambiado, solo recuerde reemplazar cada fuente con su resistencia interna ideal antes de simplificar la red.

    Como se señaló anteriormente, el circuito original podría cortarse de varias maneras diferentes. Podríamos, por ejemplo, querer determinar el equivalente Thévenin que impulsa\(R_2\) en el circuito de la Figura 6.4.2 . Este corte aparece en la Figura 6.4.5 . Claramente, esto dará como resultado valores diferentes para ambos\(E_{th}\) y\(R_{th}\). Por ejemplo,\(R_{th}\) es ahora\(R_1 || (R_3 + R_4)\).

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    Figura 6.4.4 : Encontrar\(R_{th}\).

    Encontrar equivalentes de Thévenin en laboratorio

    El procedimiento para determinar experimentalmente un equivalente en el laboratorio imita el enfoque analítico. El primer paso es cortar figurativamente el circuito y aislar la sección que se va a convertir. En este punto tenemos la versión de circuito abierto del circuito y todo lo que necesitamos hacer es conectar un multímetro al puerto abierto para determinar\(E_{th}\).

    Existen dos métodos para determinar\(R_{th}\). El primer método funciona bien para circuitos simples que utilizan solo resistencias y fuentes de corriente y/o voltaje. El segundo método es de aplicación más general y funcionará para circuitos con dispositivos activos como transistores. Para utilizar el primer método, las fuentes se eliminan físicamente del circuito y se reemplazan con su resistencia interna ideal. Por lo tanto, las fuentes de voltaje se reemplazan con un cable de cortocircuito y las fuentes de corriente se dejan como abiertas. No coloque simplemente cables de cortocircuito a través de los terminales de las fuentes de voltaje, ya que al hacerlo, se causará una sobrecarga y potencialmente dañará las fuentes. Una vez completado esto, se coloca un multímetro en el puerto abierto y se ajusta para leer resistencia. El valor indicado es\(R_{th}\).

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    Figura 6.4.5 : Una ubicación alternativa de corte o puerto.

    El segundo método utiliza una resistencia variable, es decir, ya sea un reóstato o una caja de una década, y explota la regla del divisor de voltaje. En esta versión, las fuentes se dejan activas (encendidas) y no se reemplazan con aperturas o cortos. Una vez que\(E_{th}\) se mide, la resistencia variable se coloca a través de las conexiones del puerto. Esta resistencia se ajusta hasta que el voltaje del puerto cae exactamente a la mitad de\(E_{th}\). En el circuito equivalente, solo hay dos resistencias de preocupación,\(R_{th}\) y esta resistencia de carga variable, y están en serie. En consecuencia, si el voltaje de carga es ahora la mitad del voltaje de circuito abierto (\(E_{th}\)), entonces la otra mitad del voltaje debe estar cayendo a través de la resistencia interna equivalente (\(R_{th}\)). Para que esto sea cierto en un circuito en serie, las dos resistencias deben tener el mismo valor. Así, simplemente retiramos el reóstato del circuito y utilizamos un multímetro para determinar su valor preciso. Si en su lugar se usa una caja de una década, el valor se determina directamente leyendo los ajustes de la perilla.

    Ya sea que se determine analítica o empíricamente, el circuito equivalente de Thévenin puede reemplazar la red de puerto único original independientemente de a qué estaba conectado el original. Los mismos voltajes y corrientes se verán en esta otra porción, y no importará si la otra porción está compuesta por una sola resistencia, múltiples resistencias, múltiples resistencias y múltiples fuentes, o incluso múltiples resistencias y fuentes cableadas a una selección de quesos picantes. El equivalente Thévenin es un verdadero equivalente funcional y puede ser utilizado en cualquier red lineal bilateral.

    Ejemplo 6.4.1

    Determine el equivalente Thévenin del circuito que acciona el 1 k\(\Omega\) en la Figura 6.4.6 . Verifique que el equivalente produzca el mismo voltaje en esta resistencia que el circuito original.

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    Figura 6.4.6 : Circuito por ejemplo 6.4.1 .

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    Figura 6.4.7 : Encontrar\(E_{th}\).

    Primero, volveremos a dibujar el circuito mostrando la porción a ser Théveninized, como se muestra en la Figura 6.4.7 . El voltaje de salida de circuito abierto será el voltaje a través de la\(\Omega\) resistencia 800 ya que no habrá caída de voltaje a través de la\(\Omega\) resistencia 200 (ya que no fluye corriente a través de ella hacia el circuito abierto). Esto se encuentra a través de un simple divisor de voltaje.

    \[E_{th} = E \frac{R_x}{R_x+R_y} \nonumber \]

    \[E_{th} = 10 V \frac{800 \Omega}{800\Omega +100 \Omega} \nonumber \]

    \[E_{th} \approx 8.889 V \nonumber \]

    La resistencia equivalente se encuentra cortocircuitando la fuente de voltaje y luego simplificando el circuito. El resultado es 200\(\Omega\) en serie con la combinación paralela de los 100\(\Omega\) y 800\(\Omega\). \(200 + 100 || 800 \approx 288.89 \Omega\).

    Para determinar Vc, podemos usar un divisor de voltaje entre el 1 k\(\Omega\) y el 288.89\(\Omega\) junto con el voltaje de fuente equivalente de 8.889 voltios.

    \[V_c = E_{th} \frac{R_L}{R_L+R_{th}} \nonumber \]

    \[V_c = 8.889V \frac{1k \Omega}{ 1 k\Omega +288.89\Omega} \nonumber \]

    \[V_c \approx 6.897V \nonumber \]

    Ahora determinemos\(V_c\) en el circuito original utilizando técnicas de análisis serie-paralelo. Quizás el enfoque más rápido es un par de divisores de voltaje. \(V_b\)se encuentra a través de un divisor entre la combinación paralela del 1 k\(\Omega\) + 200\(\Omega\) y el 800\(\Omega\), contra el 100\(\Omega\). \(V_c\)se encuentra entonces usando ese voltaje con un divisor entre el 1 k\(\Omega\) y 200\(\Omega\). Usando este enfoque,\(V_b\) es aproximadamente 8.276 voltios y\(V_c\) es aproximadamente 6.897 voltios, proporcionando una excelente coincidencia.

    Podría parecer que el método Thévenin es el “largo camino a casa” en este ejemplo, y lo es, pero tiene la ventaja de ser más eficiente si se están considerando varias cargas diferentes. Por ejemplo, supongamos que decidimos determinar el voltaje de salida no sólo para el 1 k\(\Omega\), sino para un grupo de media docena de resistencias diferentes. El divisor de doble voltaje tendría que determinarse para cada resistencia de carga utilizando el método recto serie-paralelo, pero solo se necesita calcular un solo divisor para cada carga cuando se usa el método Thévenin. El método Thévenin también es de gran utilidad a la hora de determinar la transferencia máxima de potencia, como veremos más adelante en este capítulo.

    Simulación por Computadora

    Para verificar los resultados del Ejemplo 6.4.1 , el circuito original se recrea en un simulador a lo largo de su equivalente Thévenin, como se muestra en la Figura 6.4.8 .

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    Figura 6.4.8 : El circuito original de Example 6.4.1 en un simulador junto con el equivalente.

    Se realiza un análisis de punto de operación DC y los resultados se muestran en la Figura 6.4.9 . Tenga en cuenta que los voltajes a través de las\(\Omega\) cargas idénticas de 1 k (nodos 3 y 5) son prácticamente las mismas, lo que indica equivalencia funcional entre los dos. La ligera desviación se debe al redondeo del voltaje y resistencia Thévenin.

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    Figura 6.4.9 : Resultados de la simulación mostrando equivalencia.

    Como verificación adicional, la simulación se ejecuta de nuevo, pero esta vez usando un valor de resistencia de carga alterna. El valor elegido es el valor de resistencia Thévenin. Al hacer coincidir las resistencias, esto debería producir un divisor de voltaje 50/50 y el voltaje de carga debe ser igual a la mitad del voltaje de la fuente Thévenin, o aproximadamente 4.444 voltios. Eso es precisamente lo que encontramos, como se ve en la Figura 6.4.10 .

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    Figura 6.4.10 : Resultados de la simulación para resistencia emparejada.

    Como se mencionó anteriormente, el teorema de Thévenin se puede aplicar a circuitos multifuente mucho más complejos, y el elemento que se está impulsando no necesita ser solo una sola resistencia. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 6.4.2

    Determine el equivalente Thévenin del circuito que activa el combo resistor/fuente de voltaje en la Figura 6.4.11 . Verifique que el equivalente produzca el mismo voltaje en esta resistencia que el circuito original.

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    Figura 6.4.11 : Circuito para Ejemplo 6.4.2 .

    Determinar no\(R_{th}\) es particularmente difícil aquí. Después de cortocircuitar la fuente de 10 voltios y abrir la fuente de corriente, se puede observar que los 1 k\(\Omega\) y 3 k\(\Omega\) están en paralelo, produciendo 750\(\Omega\). Esto está en serie con los 1250\(\Omega\) para un total de 2 k\(\Omega\), que a su vez está en paralelo con los 6 k\(\Omega\). El resultado final es de 1.5 k\(\Omega\).

    Encontrar\(E_{th}\) es un poco más complicado. Una posibilidad es utilizar una conversión de fuente en la fuente de 10 voltios ya que eso nos dejará con dos fuentes de corriente paralelas que pueden combinarse directamente. La fuente convertida será de 10 V/ 1k\(\Omega\), o 10 mA, en paralelo con 1 k\(\Omega\). Esto da como resultado un total de 25 mA alimentándose hacia arriba con 1 k\(\Omega\)\(||\) 3 k\(\Omega\), o 750\(\Omega\). Podemos usar la regla del divisor de corriente para determinar la corriente que fluye a través de la\(\Omega\) rama 1250\(\Omega\) más 6 k, y luego usar la ley de Ohm para encontrar el voltaje de circuito abierto (es decir, el voltaje a través de los 6 k\(\Omega\)).

    \[I_{6k} = I_S \frac{R_x}{R_x+R_y} \nonumber \]

    \[I_{6k} = 25 mA \frac{750\Omega}{ 750\Omega +7250\Omega} \nonumber \]

    \[I_{6k} = 2.34375 mA \nonumber \]

    \[E_{th} = I_{6k} \times R_{6k} \nonumber \]

    \[E_{th} = 2.34375 mA \times 6 k \Omega \nonumber \]

    \[E_{th} = 14.0625V \nonumber \]

    Otro enfoque para determinar este valor sería utilizar la superposición. Esto se deja como un ejercicio adicional.

    Volviendo nuestra atención al voltaje producido a través de los 6 voltios con\(\Omega\) subcircuito 500, tenemos un bucle en serie simple con\(E_{th}\) oponerse a esta fuente de 6 voltios, dejando 8.0625 voltios para producir una corriente en sentido horario a través\(R_{th}\) en serie con los 500\(\Omega\) (un total de 2 k\(\Omega\)). Esa corriente será de 8.0625 V/2 k\(\Omega\), o 4.03125 mA. Esto producirá una caída a través de los 500\(\Omega\) de 2.015625 voltios con una polaridad de + a − de arriba a abajo. Esto se sumará a la fuente de 6 voltios dando como resultado un potencial final de 8.015625 voltios. Los resultados se verifican mediante la técnica de simulación utilizada anteriormente. Los voltajes de nodo para los circuitos originales y equivalentes se muestran en la Figura 6.4.12 .

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    Figura 6.4.12 : Resultados de la simulación utilizando los circuitos originales y equivalentes.


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