6.7: Conversiones Delta-Y
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Ciertas configuraciones de componentes, como las redes puenteadas, no se pueden reducir a una sola resistencia utilizando técnicas básicas de conversión serie-paralelo. Un método de simplificación consiste en convertir secciones en formas más convenientes. Las configuraciones en cuestión son redes de tres puntos que contienen tres resistencias. Debido a la manera en que dibujaron, se les conoce como redes delta y redes Y 1. Estas configuraciones se muestran en las Figuras 6.7.1 . En este caso particular la versión delta se dibuja al revés para que sus designaciones terminales coincidan con las de la configuración Y.
Figura 6.7.1 : Redes Delta e Y (\(\Delta\)-Y).
Como alternativa, si son ligeramente redibujados se les conoce como redes pi (también llamadas “\(\pi\)”) y redes T (también llamadas “tee”). Estas configuraciones se muestran en la Figura 6.7.2 .
Figura 6.7.2 : Forma alternativa: Redes Pi y T (\(\pi\)-T).
Es posible convertir ida y vuelta entre las redes delta e Y. Es decir, por cada red delta, existe una red Y tal que las resistencias vistas entre los terminales X, Y y Z son idénticas, y viceversa. En consecuencia, una configuración puede reemplazar a otra para simplificar un circuito más grande.
\(\Delta\)-Y Conversión
Un verdadero circuito equivalente presentaría la misma resistencia entre dos terminales cualesquiera que el circuito original. Considere el caso descargado para los circuitos de la Figura 6.7.1 (es decir, solo estas redes sin nada más conectado a ellas). Las resistencias equivalentes observadas entre cada par de terminales para el delta e Y respectivamente son:
\[R_{XY} = R_a || (R_b+R_c) = R_d + R_e \label{6.1} \]
\[R_{XZ} = R_b || (R_a+R_c) = R_d + R_f \label{6.2} \]
\[R_{ZY} = R_c || (R_b+R_a) = R_e + R_f \label{6.3} \]
Suponiendo que tenemos el delta y estamos buscando el equivalente Y, tenga en cuenta que tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas (\(R_d\),\(R_e\) y\(R_f\)). Así, se pueden resolver mediante un proceso de eliminación de término. Si restamos la Ecuación\ ref {6.3} de la Ecuación\ ref {6.1} eliminamos la segunda resistencia (\(R_e\)) y llegamos a una diferencia entre la primera y la tercera resistencias desconocidas (\(R_d − R_f\)). Esta cantidad puede entonces ser añadida a la Ecuación\ ref {6.2} para eliminar la tercera resistencia (\(R_f\)), dejando solo la primera resistencia desconocida (\(R_d\)).
\[(R_d + R_e) − (R_e + R_f) = (R_d − R_f) = R_a || (R_b+R_c) − R_b || (R_a+R_c) \nonumber \]
\[(R_d + R_f) + (R_d − R_f) = 2R_d = 2( R_b || (R_a+R_c) + R_a || (R_b+R_c) − R_c || (R_a+R_b) ) \nonumber \]
Por lo tanto,
\[R_d = R_b || (R_a+R_c) + R_a || (R_b+R_c) − R_c || (R_a+R_b) \nonumber \]
que, después de simplificar, es:
\[R_d = \frac{R_a R_b}{R_a+R_b+R_c} \label{6.4} \]
Del mismo modo, podemos demostrar que
\[R_e = \frac{R_a R_c}{R_a+R_b+R_c} \label{6.5} \]
\[R_f = \frac{R_b R_c}{R_a+R_b+R_c} \label{6.6} \]
Tenga en cuenta que si se utilizan tres resistencias idénticas, los valores del equivalente Y serán todos un tercio de ese valor.
Insinuación útil para recordar\(\Delta\)-Y Conversion Equations
Examine las ecuaciones para\(R_d\),\(R_e\), y\(R_f\). Notarás que todas tienen el mismo denominador. Qué tipo de mnemotécnico (ayudante de memoria) se te ocurre para ayudarte a recordar la relación entre la resistencia cuyo valor estás tratando de calcular y las resistencias en el numerador en el lado derecho de la ecuación.
Sugerencia
- Las resistencias en el numerador son las dos resistencias en la red delta que están conectadas al mismo nodo que la resistencia en la red Wye cuyo valor está intentando determinar.
- Por ejemplo, si estás calculando\(R_d\), notarás que está conectado al nodo\(X\). En la configuración delta,\(R_a\) y\(R_b\) están conectados al nodo\(X\), por lo que el producto de\(R_a\) y\(R_b\) se utiliza en el cálculo de\(R_d\)
\(\Delta\)Conversión Y
Para el proceso inverso de convertir Y a delta, comience por anotar las similitudes de las expresiones para\(R_d\),\(R_e\) y\(R_f\). Si dos de estas expresiones están divididas, una sola ecuación para\(R_a\),\(R_b\) o\(R_c\) resultará. Por ejemplo, usando Ecuaciones\ ref {6.4} y\ ref {6.5}:
\[\frac{R_d}{R_e} = \frac{\frac{R_a R_b}{R_a+R_b+R_c}}{\frac{R_a R_c}{R_a+R_b+R_c}} \nonumber \]
\[\frac{R_d}{R_e} = \frac{R_a R_b}{R_a R_c} \nonumber \]
\[\frac{R_d}{R_e} = \frac{R_b}{R_c} \nonumber \]
Por lo tanto,
\[\frac{R_b}{R_c} = \frac{R_d}{R_e} \nonumber \]
\[R_b = \frac{R_c R_d}{R_e} \nonumber \]
Este proceso se puede repetir para Ecuaciones\ ref {6.4} y\ ref {6.6} para obtener una expresión para\(R_a\). Las dos expresiones para\(R_a\) y luego\(R_b\) pueden ser sustituidas en la Ecuación\ ref {6.4} para obtener una expresión para\(R_c\) que utilice solamente\(R_d\),\(R_e\) y\(R_f\). Se sigue un proceso similar\(R_a\) y\(R_b\) resulta en:
\[R_a = \frac{R_d R_e+R_e R_f +R_d R_f}{R_f} \label{6.7} \]
\[R_b = \frac{R_d R_e+R_e R_f +R_d R_f}{R_e} \label{6.8} \]
\[R_c = \frac{R_d R_e+R_e R_f +R_d R_f}{R_d} \label{6.9} \]
Si se utilizan tres resistencias idénticas, los valores del equivalente delta serán tres veces ese valor, el inverso de la situación al convertir de delta a Y.
Pista útil para recordar Y-\(\Delta\) Conversion Equations
Examine las ecuaciones para\(R_a\),\(R_b\), y\(R_c\). Notarás que todos tienen el mismo numerador.
¿Qué tipo de mnemotécnico se te ocurre para ayudarte a recordar la relación entre la resistencia cuyo valor estás tratando de calcular y la resistencia en el denominador en el lado derecho de la ecuación?
Sugerencia
- La resistencia en el denominador es el valor de la resistencia en la red Wye que está conectada al nodo opuesto a la resistencia en la red Delta cuyo valor está tratando de determinar
- Por ejemplo, si estás calculando\(R_a\), notarás que el nodo opuesto es es\(Z\) y en la red delta,\(R_f\) está conectado a\(Z\), por lo que\(R_f\) se usa en el denominador para el cálculo de\(R_a\)
Así, las ecuaciones\ ref {6.4},\ ref {6.5} y\ ref {6.6} se pueden usar para convertir una red delta en una red Y, y las ecuaciones\ ref {6.7},\ ref {6.8} y\ ref {6.9} se pueden usar para convertir una red Y en una red delta. Un ejemplo de cómo esto domará una red serie-paralela que de otro modo sería incorregible es el siguiente.
Determine el equivalente del circuito puente que se muestra en la Figura 6.7.3 .
Figura 6.7.3 : Circuito por ejemplo 6.7.1 .
Este circuito utiliza un puente de cinco resistencias que no se puede simplificar aún más usando combinaciones básicas de serie-paralelo. En consecuencia, las técnicas presentadas en el Capítulo 5 no serán suficientes para obtener una solución. Se propone una conversión delta-Y para simplificar el circuito en su lugar. Comenzamos definiendo una configuración delta usando las tres resistencias superiores (mostradas en azul). Al ser reemplazados por una configuración Y, tendremos resistencias en serie con los 2 k\( \Omega \) y 4 k\( \Omega \), y una tercera resistencia en serie con la fuente. Esta nueva red se puede resolver utilizando técnicas básicas de serie-paralelo.
Tenga en cuenta que un delta Y no es una opción tan buena. Por ejemplo, usando el 1 k\( \Omega \), 2 k\( \Omega \) y el 5k\( \Omega \) como Y lateral, la versión delta deja resistencias en paralelo con el 3 k\( \Omega \) y el 4 k\( \Omega \), y otro en paralelo con la fuente. Esto es sencillo de resolver, pero desafortunadamente, el nodo\(b\) desaparece en el proceso.
Utilizaremos las Ecuaciones\ ref {6.4},\ ref {6.5} y\ ref {6.6} para realizar la conversión delta-Y. La orientación en la Figura 6.7.3 está sesgada en comparación con la referencia de la Figura 6.7.1 . Para que coincidan, imagina rotar las redes de la Figura 6.7.1 ligeramente en el sentido de las agujas del reloj para que el punto X esté en la parte superior (nodo coincidente\(a\)), dejando Y y Z en la parte inferior (coincidente\(c\) y\(b\), respectivamente). Dada esta nueva orientación,\(R_a\) es el 3 k\( \Omega \),\(R_b\) es el 1 k\( \Omega \) y\(R_c\) es el 5 k\( \Omega \).
\[R_d = \frac{R_a R_b}{R_a+R_b+R_c} \nonumber \]
\[R_d = \frac{3k \Omega 1 k \Omega }{3 k \Omega +1 k \Omega +5k \Omega } \nonumber \]
\[R_d \approx 333.333 \Omega \nonumber \]
\[R_e = \frac{R_a R_c}{R_a+R_b+R_c} \nonumber \]
\[R_e = \frac{3 k \Omega 5k \Omega }{3k \Omega +1k \Omega +5k \Omega } \nonumber \]
\[R_e \approx 1.666667 k \Omega \nonumber \]
\[R_f = \frac{R_b R_c}{R_a+R_b+R_c} \nonumber \]
\[R_f = \frac{1 k \Omega 5k \Omega }{3 k \Omega +1 k \Omega +5 k \Omega } \nonumber \]
\[R_f \approx 555.556 \Omega \nonumber \]
Figura 6.7.4 : Equivalente para el circuito de la Figura 6.7.3 .
La red equivalente se vuelve a colocar en el circuito original como se muestra en la Figura 6.7.4 (el rojo reemplaza al azul). Ahora tenemos un 333.333\( \Omega \) en serie con 2.555556 k\( \Omega \)\(||\) 5.666667 k\( \Omega \). Para determinar\(V_b\) y\(V_c\) la resistencia equivalente total se puede utilizar para encontrar la corriente fuente. A partir de ahí, se puede emplear un divisor de corriente junto con la ley de Ohm para encontrar los voltajes de los nodos.
\[R_{Total} = 333.333 \Omega +2.555556 k \Omega ||5.666667 k \Omega \nonumber \]
\[R_{Total} \approx 2.0946 k \Omega \nonumber \]
\[I_s = \frac{E}{R_{Total}} \nonumber \]
\[I_s \approx \frac{12 V}{2.0946 k \Omega } \nonumber \]
\[I_s \approx 5.729mA \nonumber \]
\[I_b = I_s \frac{R_{right}}{R_{left}+R_{right}} \nonumber \]
\[I_b \approx 5.729mA \frac{5.666667 k \Omega }{2.555556 k \Omega +5.666667 k \Omega } \nonumber \]
\[I_b \approx 3.9484 mA \nonumber \]
\[V_b = I_b \times R \nonumber \]
\[V_b \approx 3.948mA \times 2k \Omega \nonumber \]
\[V_b \approx 7.8968V \nonumber \]
Por proceso similar,\(V_c\) es aproximadamente 7.1226 voltios.
Para verificar los resultados del Ejemplo 6.7.1 , podemos tomar los dos voltajes de nodo, aplicarlos de nuevo al circuito original y determinar si satisfacen o no KVL o KCL.
Por ejemplo, examinando nodo\(b\), la corriente que fluye a través de la\( \Omega \) resistencia de 1 k tiene que igualar la suma de las corrientes que fluyen a través de las\( \Omega \) resistencias de 2 k\( \Omega \) y 5 k, vía KCL.
\[I_{1k} = \frac{V_a−V_b}{R} \nonumber \]
\[I_{1k} \approx \frac{12 V−7.8968V}{1k \Omega } \nonumber \]
\[I_{1k} \approx 4.1032 mA \nonumber \]
\[I_{5k} = \frac{V_b−V_c}{R} \nonumber \]
\[I_{5k} \approx \frac{7.8968 V−7.1226 V}{5 k \Omega } \nonumber \]
\[I_{5k} \approx 0.1548mA \nonumber \]
\[I_{2k} = I_{1k} −I_{5k} \nonumber \]
\[I_{2k} \approx 4.1032 mA −0.1548mA \nonumber \]
\[I_{2k} \approx 3.9484 mA \nonumber \]
Este resultado coincide con la corriente\(I_b\) calculada previamente. En aras de la integridad, el proceso se puede replicar para el nodo\(c\).
Simulación por Computadora
Para una mayor verificación, tanto el circuito original de la Figura 6.7.3 como el circuito convertido de la Figura 6.7.4 se introducen en un simulador, como se muestra en la Figura 6.7.5 .
Figura 6.7.5 : Circuitos puente originales y convertidos en simulador.
Ambas redes resistivas están conectadas a una fuente de alimentación común. Los nodos 2 y 4 corresponden a\(V_b\), mientras que los nodos 3 y 5 corresponden a\(V_c\). Los resultados de una simulación de punto operativo de CC se muestran en la Figura 6.7.6 .
Figura 6.7.6 : Resultados de simulación para puentes originales y convertidos.
Los voltajes coinciden perfectamente entre sí, junto con el cálculo manual. Para cerrar, vemos que es posible intercambiar redes delta con redes Y, y lograr resultados idénticos.
Referencias
1 En algunas fuentes se utiliza la letra griega mayúscula delta (\(\Delta\)) en lugar de deletrear “delta” y la letra Y se deletrea como “wye”. Así, puede encontrarse con la discusión de las redes “\(\Delta\)-Y”, “\(\Delta\)-wye” o “delta-wye”. Todo son las mismas cosas.