8.4: Respuesta Transitoria de Circuitos RC
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La pregunta sigue siendo: “¿Qué sucede entre el momento en que se enciende el circuito y cuando alcanza el estado estacionario?” Esto se conoce como la respuesta transitoria. Considere el circuito que se muestra en la Figura 8.4.1 . Tenga en cuenta el uso de una fuente de voltaje en lugar de una fuente de corriente fija, como se examinó anteriormente.
Figura 8.4.1 : Un circuito RC simple.
La clave del análisis es recordar que el voltaje del condensador no puede cambiar instantáneamente. Suponiendo que el condensador está sin carga, se aplica la potencia instantánea, el voltaje del condensador debe ser cero. Por lo tanto, todo el voltaje de la fuente cae a través de la resistencia. Esto crea la corriente inicial, y esta corriente comienza a cargar el condensador (siendo la tasa inicial\(i/C\) igual a la dictada por la Ecuación 8.2.6). De acuerdo con la ley de voltaje de Kirchhoff, a medida que el voltaje del condensador comienza a aumentar, el voltaje de la resistencia debe disminuir porque la suma de los dos debe ser igual al voltaje de fuente fijo. Esto significa que la corriente circulante también debe disminuir. Esto, a su vez, significa que la tasa de aumento de voltaje del condensador comienza a disminuir. A medida que el voltaje del condensador continúa aumentando, hay menos voltaje disponible para la resistencia, lo que provoca reducciones adicionales en la corriente y una mayor ralentización de la tasa de cambio de voltaje del condensador. Eventualmente, el voltaje del condensador será casi igual al voltaje de la fuente. Esto dará como resultado un potencial muy pequeño a través de la resistencia y una corriente igualmente pequeña, lo que ralentiza los aumentos posteriores del voltaje del condensador a un punto de parada cercano. Teóricamente, el voltaje del condensador se acerca al voltaje de la fuente pero nunca lo iguala del todo. De igual manera, la corriente cae cerca de cero, pero nunca se apaga por completo. Esto se ilustra en la Figura 8.4.2 .
Figura 8.4.2 : Curvas normalizadas de carga y descarga.
La línea roja discontinua representa la tasa inicial de cambio del voltaje del condensador. Esta trayectoria es lo que se esperaría si una fuente de corriente ideal impulsara el condensador, como en el Ejemplo 8.2.4. Como se señaló anteriormente, la tasa de cambio de voltaje versus tiempos es igual a\(i/C\), y por lo tanto en este caso,\(E/RC\). Si la tasa inicial de cambio continuara sin disminuir, el voltaje de la fuente,\(E\), se alcanzaría en\(RC\) segundos. En consecuencia, RC se conoce como la constante de tiempo de carga y se denota por\(\tau \) (letra griega tau). Por lo tanto,
\[\text{Time constant, } \tau = RC \label{8.10} \]
Como se señaló, una vez que el condensador comienza a cargarse, la corriente comienza a disminuir y la curva de voltaje del condensador comienza a alejarse de la trayectoria inicial. La curva roja sólida representa el voltaje del condensador. Observe que después de cinco constantes de tiempo el condensador está casi completamente cargado y se considera que el circuito está en estado estacionario (es decir, el condensador se comporta como un circuito abierto).
\[\text{Steady-state is reached in approximately five time constants.} \label{8.11} \]
Este tipo de operación recursivamente dependiente es característica de las funciones exponenciales. La ecuación para la curva de carga de voltaje del condensador es:
\[V_C (t) = E\left(1 − \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \right) \label{8.12} \]
Dónde
\(V_C(t)\)es el voltaje del condensador en el momento\(t\),
\(E\)es el voltaje de la fuente,
\(t\)es el momento de interés,
\(\tau\)es la constante de tiempo,
\(\varepsilon\)(también escrito\(e\)) es la base de logaritmos naturales, aproximadamente 2.718.
La línea azul discontinua muestra la pendiente inicial del cambio actual. La curva azul sólida muestra la corriente circulante (y por extensión de la ley de Ohm, el voltaje de la resistencia). La ecuación para esta curva, que sigue la forma general\(\varepsilon^{ −t}\), es:
\[I (t)= \frac{E}{R} \epsilon^{ − \frac{t}{\tau}} \label{8.13} \]
y
\[V_R (t) = E \epsilon^{- \frac{t}{\tau}} \label{8.14} \]
Una vez que se elimina o se pasa por alto la energía, la carga almacenada en el condensador se disipará a través de cualquier resistencia asociada creando una corriente de descarga que terminará con el voltaje del condensador drenado de nuevo a cero. Durante la fase de descarga, tanto el voltaje como la corriente del condensador seguirán la curva azul sólida; siendo apropiadas las ecuaciones\ ref {8.13} y\ ref {8.14}. La constante de tiempo de descarga puede ser diferente de la constante de tiempos de carga, dependiendo de las resistencias asociadas.
Una derivación precisa de las ecuaciones exponenciales de carga/descarga se da en el Apéndice C.
Dado el circuito de la Figura 8.4.3 , supongamos que el switch está cerrado en el momento\(t = 0\). Determine la constante de tiempo de carga, la cantidad de tiempo después de que el interruptor se cierre antes de que el circuito alcance el estado estacionario, y el voltaje del condensador en\(t = 0\),\(t = 50\) milisegundos y\(t = 1\) segundo. Supongamos que el condensador está inicialmente descargado.
Figura 8.4.3 : Circuito por ejemplo 8.4.1 .
Primero, la constante de tiempo:
\[\tau = RC \nonumber \]
\[\tau = 50 k \Omega 2 \mu F \nonumber \]
\[\tau = 100ms \nonumber \]
El estado estacionario se alcanzará en cinco constantes de tiempo, o 500 milisegundos. Por lo tanto sabemos que\(V_C(0) = 0\) voltios y\(V_C(1) = 100\) voltios. Para encontrar simplemente\(V_C(50 ms)\) resolvemos la Ecuación\ ref {8.12}.
\[V_C (t) = E \left(1 − \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \right) \nonumber \]
\[V_C (50 ms) = 100 V \left( 1 − \epsilon^{− \frac{50 ms}{100 ms}} \right) \nonumber \]
\[V_C (50 ms) \approx 39.35 V \nonumber \]
Este valor también se puede determinar gráficamente a partir de la Figura 8.4.2 . El tiempo de 50 milisegundos representa una constante de medio tiempo. Encuentre este valor en el eje horizontal y luego siga recto hasta la curva roja sólida que representa el voltaje del condensador de carga. El punto de intersección se encuentra aproximadamente en 40% del valor máximo en el eje vertical. El valor máximo aquí es el voltaje de la fuente de 100 voltios. Por lo tanto, el condensador habrá alcanzado aproximadamente 40% de 100 voltios, o apenas alrededor de 40 voltios.
Simulación por Computadora
El circuito de la Figura 8.4.3 se introduce en un simulador, como se muestra en la Figura 8.4.4 . Para reflejar la noción de un circuito variable en el tiempo con un interruptor, la fuente de voltaje CC de 100 voltios ha sido reemplazada por una fuente de voltaje de pulso rectangular. Esta fuente arranca a 0 voltios y luego inmediatamente sube a 100 voltios. Permanece en este nivel durante 500 milisegundos antes de volver a caer a 0 voltios.
Figura 8.4.4 : Circuito de la Figura 8.4.3 en un simulador.
Se ejecuta una simulación transitoria (es decir, en el dominio del tiempo), trazando el voltaje del condensador a lo largo del tiempo durante los primeros 500 milisegundos. Esto se ve en la Figura 8.4.5 . Aquí hay varios elementos a tener en cuenta. Primero, vemos que la forma general se hace eco perfectamente de la curva genérica presentada en la Figura 8.4.2 . Segundo, vemos que después de las cinco constantes de tiempo predichas, o 500 milisegundos, el voltaje del condensador se ha estancado, lo que indica estado estacionario. Tercero, en estado estacionario, el voltaje del condensador prácticamente ha alcanzado el valor máximo establecido como la fuente, o 100 voltios. Por último, a los 50 milisegundos, vemos que el voltaje del condensador ha alcanzado aproximadamente 40 voltios, tal como se predijo.
Figura 8.4.5 : Resultados de simulación para el circuito de la Figura 8.4.2 .
Como se mencionó anteriormente, es posible que un circuito tenga diferentes constantes de tiempo de carga y descarga. Esto podría ocurrir si un interruptor introduce o elimina componente (s) entre las fases de carga y descarga. Además, debido a que el condensador se está descargando, su dirección de corriente será opuesta a la de la corriente de carga. KVL aún debe satisfacerse, pero debido a que el condensador se está comportando ahora como fuente, la magnitud del voltaje de la resistencia de descarga debe ser igual a la magnitud del voltaje del condensador. Por lo tanto, su curva tomará la misma forma (la curva azul sólida de la Figura 8.4.2 ). Estos temas se ilustrarán en el siguiente ejemplo.
Para el circuito de la Figura 8.4.6 , supongamos que el condensador está inicialmente descargado. En\(t = 0\) el momento el interruptor entra en contacto con la posición 1. El interruptor se lanza a la posición 2 en\(t = 50\) milisegundos de tiempo.
Figura 8.4.6 : Circuito por ejemplo 8.4.2 .
Determine la constante de tiempo de carga, la cantidad de tiempo después de que el interruptor se cierre antes de que el circuito alcance el estado estacionario, las corrientes máximas de carga y descarga, y el voltaje del condensador en\(t = 0\),\(t = 50\)\(t = 90\) milisegundos, milisegundos y\(t = 1\) segundo.
Comenzamos con la constante de tiempo de carga:
\[\tau_{charge} = RC \nonumber \]
\[\tau_{charge} = 20 k \Omega 220 nF \nonumber \]
\[\tau_{charge} = 4.4 ms \nonumber \]
El estado estacionario se alcanzará en 5 veces 4.4 milisegundos, o 22 milisegundos. El condensador está inicialmente sin carga, por lo que\(V_C(0) = 0\) voltios. Como el condensador habrá alcanzado el estado estacionario en 22 milisegundos,\(V_C(50 ms) = 12\) voltios. La corriente de carga máxima ocurrirá\(t = 0\) cuando toda la fuente de 12 voltios caiga a través de la\( \Omega \) resistencia de 20 k, o 600\(\mu\) amperios, fluyendo de izquierda a derecha.
A los 50 milisegundos el interruptor se lanza a la posición 2. La fuente de 12 voltios y la\( \Omega \) resistencia de 20 k ya no están enganchadas. En este punto el condensador tiene 12 voltios a través de él, de positivo a negativo, de arriba a abajo. Como el voltaje del condensador no puede cambiar instantáneamente, el condensador ahora actúa como una fuente de voltaje y se descarga a través de la\( \Omega \) resistencia de 120 k. Tenga en cuenta que la corriente de descarga fluye en sentido antihorario, lo opuesto a la corriente de carga. La constante de tiempo de descarga es:
\[\tau_{discharge} = RC \nonumber \]
\[\tau_{discharge} = 120 k \Omega 220 nF \nonumber \]
\[\tau_{discharge} = 26.4 ms \nonumber \]
El condensador se descargará completamente hasta 0 voltios en 5 constantes de tiempo, o unos 132 milisegundos después de que el interruptor sea arrojado a la posición 2. Así, el estado estacionario ocurre a los\(t = 182\) milisegundos. La corriente de descarga máxima ocurre en el instante en que el interruptor se lanza a la posición 2 cuando todos los 12 voltios del condensador caen a través de la\( \Omega \) resistencia de 120 k, produciendo 100\(\mu\) amperios, fluyendo de arriba a abajo.
Claramente, a\(t = 90\) milisegundos el condensador está en la fase de descarga. El voltaje y la corriente del condensador durante la fase de descarga siguen la curva azul sólida de la Figura 8.4.2 . El tiempo transcurrido para la descarga es de 90 milisegundos menos 50 milisegundos, o 40 milisegundos netos. Podemos usar una ligera variación en la Ecuación\ ref {8.14} para encontrar el voltaje del condensador en este momento.
\[V_C (t) = E \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \nonumber \]
\[V_C (40 ms) = 12 V− \epsilon^{− \frac{40ms}{26.4 ms}} \nonumber \]
\[V_C (40 ms) \approx 2.637V \nonumber \]
La forma del voltaje del condensador aparecerá algo así como un pulso redondeado, subiendo con una curva y luego cayendo de nuevo a cero con una curva complementaria (las curvas roja y luego azul de la Figura 8.4.2 ).
Los circuitos básicos de una sola resistencia-condensador demuestran ser bastante fáciles de resolver dada un poco de práctica, pero ¿y si se usa un circuito más complejo? En esta situación, la sección que alimenta el condensador puede simplificarse utilizando el teorema de Thévenin para determinar el voltaje efectivo de la fuente y la resistencia de carga. Luego, el circuito vuelve a una simple red RC que puede resolverse directamente.
Si se interrumpe la alimentación antes de que el condensador esté completamente cargado, las ecuaciones presentadas anteriormente pueden usarse para determinar la (s) tensión (es) precisa (s) y la (s) corriente (s) alcanzadas El condensador se comportará entonces como una fuente de voltaje y comenzará a descargarse, su curva de voltaje siguiendo la línea gráfica azul de la Figura 8.4.2 , siendo su voltaje máximo a lo que cargó el condensador, no el voltaje de activación asociado. El siguiente ejemplo y simulaciones abordan estos temas.
Para este ejemplo volveremos a visitar el circuito del Ejemplo 8.3.1. El circuito se vuelve a dibujar en la Figura 8.4.7 para mayor comodidad. Supongamos que el condensador está inicialmente descargado.
Figura 8.4.7 : Circuito para Ejemplo 8.4.3 .
Determine la constante de tiempo de carga, la cantidad de tiempo después de que el interruptor se cierre antes de que el circuito alcance el estado estacionario, y el voltaje del condensador en\(t = 0\), 100 milisegundos y 200 milisegundos. A los 200 milisegundos, se abre el interruptor. Determine cuánto tiempo tarda el condensador en descargarse completamente y el voltaje a través de la\( \Omega \) resistencia de 6 k a\(t = 275\) milisegundos (es decir, 75 milisegundos después de que se abra el interruptor).
El primer paso es determinar el equivalente Thévenin que impulsa el condensador. Si retiramos el condensador y determinamos el voltaje de circuito abierto en esos puntos, vemos que es solo un divisor de voltaje entre la fuente de 24 voltios, la resistencia de 6 k y la\( \Omega \) resistencia de 1 k (la\( \Omega \) resistencia de 3 k\( \Omega \) no tiene corriente a través de ella y así no produce caída de voltaje). Esto funciona a 20.57 voltios. La resistencia Thévenin será de 3 k\( \Omega \) en serie con 1 k\( \Omega \)\(||\) 6 k\( \Omega \), o aproximadamente 3.857 k\( \Omega \). El circuito de carga equivalente se dibuja en la Figura 8.4.8 .
Figura 8.4.8 : Equivalente Thévenin para el circuito de la Figura 8.4.7 que acciona el condensador.
Ahora podemos determinar la constante de tiempo de carga:
\[\tau_{charge} = RC \nonumber \]
\[\tau_{charge} = 3.857 k \Omega 10 \mu F \nonumber \]
\[\tau_{charge} = 38.57 ms \nonumber \]
El estado estacionario se alcanzará en 5 constantes de tiempo, o 192.8 ms. Así, sabemos que\(V_C(0) = 0\) voltios y\(V_C(200 ms) = 20.57\) voltios. Para el voltaje del condensador a 100 milisegundos, simplemente usamos la ecuación de carga.
\[V_C (t)= E \left(1−\epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \right) \nonumber \]
\[V_C (100ms) = 20.57 V \left(1− \epsilon^{− \frac{100 ms}{38.57ms}} \right) \nonumber \]
\[V_C (100ms) \approx 19.03 V \nonumber \]
Para la fase de descarga, necesitamos determinar la constante de tiempo. Con la fuente de voltaje quitada, el condensador se descargará a través de la combinación ahora en serie de la\( \Omega \) resistencia de 3 k y la\( \Omega \) resistencia de 6 k.
\[\tau_{discharge} = RC \nonumber \]
\[\tau_{discharge} = 9k \Omega 10 \mu F \nonumber \]
\[\tau_{discharge} = 90 ms \nonumber \]
El estado estacionario se alcanzará 450 milisegundos después a los\(t = 650\) milisegundos. Para encontrar\(V_{6k}\) en\(t = 275\) milisegundos, podemos encontrar el voltaje a través del condensador y luego realizar un divisor de voltaje entre las\(\Omega\) resistencias de 6 k\(\Omega\) y 3 k. Recordando que los\(t = 275\) milisegundos son 75 milisegundos en la fase de descarga, tenemos:
\[V_C (t) = E \epsilon^{− \frac{t}{\tau}} \nonumber \]
\[V_C (75 ms) = 20.57V \left( 1− \epsilon^{− \frac{75ms}{90ms}} \right) \nonumber \]
\[V_C (75 ms) \approx 8.94 V \nonumber \]
Finalmente, esta tensión se divide entre las\( \Omega \) resistencias de 6 k\( \Omega \) y 3 k. Usando la regla del divisor de voltaje, encontramos:
\[V_{6k} = V_C \frac{R_x}{R_x+R_y} \nonumber \]
\[V_{6k} = 8.94 V \frac{6 k \Omega }{6 k \Omega +3k \Omega } \nonumber \]
\[V_{6k} = 5.96 V \nonumber \]
Simulación por Computadora
Para verificar el análisis del Ejemplo 8.4.3 , el circuito de la Figura 8.4.7 se ingresa a un simulador, como se muestra en la Figura 8.4.9 . En lugar de una fuente de CC, se utiliza un generador de pulsos para imitar la naturaleza de encendido-apagado del interruptor. Esto inicia a cero voltios y luego salta inmediatamente hasta 24 voltios. Permanece en este nivel durante 200 milisegundos antes de volver a cero. Este es tiempo suficiente para verificar si el voltaje del condensador ha alcanzado o no el estado estacionario (se predice que tomará 192.8 milisegundos).
Figura 8.4.9 : Circuito de la Figura 8.4.7 en un simulador.
Se realiza un análisis transitorio en este circuito, trazando el voltaje del condensador (es decir, la diferencia entre los voltajes del nodo 2 y del nodo 3). El resultado se muestra en la Figura 8.4.10 . Esta trama confirma muy bien la fase de carga del condensador. Después de aproximadamente 200 milisegundos, el voltaje se ha nivelado a poco más de 20 voltios, precisamente como se predijo.
Figura 8.4.10 : Resultados de simulación para la fase de carga del circuito de la Figura 8.4.7 .
¿Qué pasa con la fase de descarga? Para investigar esa porción, se modifica el circuito de simulación. La fuente de voltaje de pulso se desconecta del resto del circuito, tal como lo sería si el interruptor de la Figura 8.4.7 se hubiera abierto de nuevo. Además, el condensador se modifica para tener un voltaje inicial de 20.57 voltios, el valor preciso a había alcanzado después de alcanzar el estado estacionario. Se realiza un segundo análisis transitorio, trazando nuevamente el voltaje del condensador. Los resultados de esta simulación se muestran en la Figura 8.4.11 . Vale la pena señalar que el eje de tiempo es relativo al interruptor que se abre, no a la sincronización original. Es decir, el origen horizontal de 0 milisegundos corresponde a\(t = 200\) milisegundos.
Figura 8.4.11 : Resultados de simulación para la fase de descarga del circuito de la Figura 8.4.7 .
Tenga en cuenta que el tiempo requerido para alcanzar el nuevo valor de estado estacionario de cero voltios se ha extendido a unos 450 milisegundos después de que se abra el interruptor, precisamente como se predijo.
En este punto, una pregunta justa que hacer es: “¿No podríamos dejar la fuente de pulso en su lugar para investigar la fase de descarga?” Aunque la fuente de pulso vuelve a bajar a cero voltios a\(t = 200\) milisegundos, eso no es lo mismo que abrir el interruptor de nuevo en la Figura 8.4.7 . Si la fuente sigue conectada pero produciendo cero voltios, se convierte en parte del equivalente Thévenin. Como tal, la\( \Omega \) resistencia de 1 k vuelve al circuito, produciendo una constante de tiempo de descarga idéntica a la constante de tiempo de carga.
Para probar el punto, la simulación se vuelve a ejecutar. El pulso permanece a 24 voltios durante 200 milisegundos y luego salta a cero, como antes. El tiempo de simulación se extiende a 400 milisegundos en total, lo suficiente para ver las fases de carga y descarga. Además, en lugar de simplemente trazar la tensión del condensador; se trazan las tensiones de la fuente (traza azul, nodo 1), la\( \Omega \) resistencia de 6 k (traza verde, nodo 2) y la\( \Omega \) resistencia de 3 k (traza roja, nodo 5). Los resultados se muestran en la Figura 8.4.12 .
Figura 8.4.12 : Resultados de simulación usando fuente de voltaje de pulso para la fase de descarga.
El primer punto a tener en cuenta es que el estado estacionario parece alcanzarse en poco menos de 200 milisegundos tanto para las fases de carga como de descarga, como se esperaba. Segundo, tenga en cuenta que el voltaje del nodo 2 (verde) menos el voltaje del nodo 3 (rojo) comienza en cero y termina a poco más de 20 voltios a 200 milisegundos. Esto es, por supuesto, el voltaje del condensador, pero lo interesante aquí es que esta gráfica muestra cómo el voltaje a través de la\( \Omega \) resistencia de 3 k se contrae a medida que crece el voltaje del condensador, igualando la suma la tensión del nodo 2. Esto tiene perfecto sentido porque, a medida que aumenta el voltaje del condensador, la corriente a través de él debe estar disminuyendo, y como esta misma corriente fluye a través de la\( \Omega \) resistencia de 3 k, el voltaje de la resistencia también debe estar disminuyendo debido a la ley de Ohm.
La otra parte interesante de esta trama es lo que sucede a los 200 milisegundos cuando la fuente vuelve a cero. Tenga en cuenta que el voltaje del nodo 3 salta inmediatamente a un valor negativo. Esto se debe a que el voltaje a través del condensador no puede cambiar instantáneamente. Todavía debe tener 20.57 voltios a través de él en el instante en que la fuente vuelve a cero. En esta situación, debido a que la fuente es esencialmente un corto, el condensador se enrolla en serie con la\( \Omega \) resistencia de 3 k y la combinación paralela de las\( \Omega \) resistencias de 1 k\( \Omega \) y 6 k, o aproximadamente 857\( \Omega \). Al calcular el divisor de voltaje entre las\( \Omega \) resistencias de 3 k\( \Omega \) y 857 con fuente de 20.57 voltios, se muestra que la\( \Omega \) resistencia de 3 k recibe aproximadamente 16 voltios. Además, la corriente de descarga fluirá fuera del condensador en sentido contrario a las agujas del reloj, lo que significa que fluye desde tierra hacia arriba a través de la\( \Omega \) resistencia de 3 k. Así, esperamos que el nodo 3 esté aproximadamente a −16 voltios, que es precisamente lo que indica la gráfica. ¿Qué tan genial es eso?
¿Y si no esperáramos al estado estacionario? ¿Cómo cambiarían estas parcelas? Esencialmente, las trayectorias de las curvas no cambiarían. Después de todo, ¿cómo “sabría” el circuito que el interruptor se abriría temprano o el pulso voltearía prematuramente?
Lo que sucede es que se siguen las curvas hasta el punto en el tiempo donde se interrumpe el circuito. A partir de ahí, la siguiente fase ocurre con los voltajes actuales como puntos de partida. Para probar esto, la simulación se ejecuta una vez más, pero esta vez el ancho del pulso fuente se acorta a solo 50 milisegundos, muy por debajo del estado estacionario. Los resultados de la simulación se muestran en la Figura 8.4.13 .
Figura 8.4.13 : Resultados de simulación para fase de descarga interrumpida usando fuente de voltaje de pulso.
Al comparar la gráfica de la Figura 8.4.13 con la de la Figura 8.4.12 se muestra que las dos son idénticas hasta 50 milisegundos. En ese punto, el pulso de entrada vuelve a cero y el condensador comienza a descargarse. Las formas y tiempos de los voltajes del nodo 2 y del nodo 3 son los mismos que en la Figura 8.4.12 , sin embargo, las amplitudes se reducen. Esto se debe a que el condensador no tuvo tiempo de alcanzar el voltaje de estado estacionario de 20.57 voltios. De hecho, solo alcanza alrededor de 14.94 voltios usando la Ecuación\ ref {8.12}. Aplicar el divisor de voltaje sobre este potencial como antes muestra que la\( \Omega \) resistencia de 3 k debe saltar a aproximadamente −11.6 voltios, lo que se confirma por la simulación.