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10.3: Circuitos Magnéticos

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    86107
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    Los circuitos magnéticos incluyen aplicaciones como transformadores y relés. Un circuito magnético muy simple se muestra en la Figura 10.3.1 .

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    Figura 10.3.1 : Circuito magnético simple.

    Primero, consiste en un núcleo magnético. El núcleo puede estar compuesto de un solo material tal como chapa de acero, pero también puede usar múltiples secciones y entrehierro. Alrededor del núcleo hay al menos un conjunto de vueltas de alambre, es decir, una bobina formada alrededor del núcleo. Se utilizan múltiples juegos de giros para transformadores (en el caso más simple, uno para el primario y otro para el secundario). Como ya hemos visto, pasar corriente a través de los devanados genera un flujo magnético,\(\Phi\), en el núcleo. Como este flujo está restringido dentro del área de la sección transversal del núcleo,\(A\), podemos derivar una densidad de flujo,\(B\).

    \[B = \frac{\Phi}{A} \label{10.4} \]

    Dónde

    \(B\)es la densidad de flujo magnético en teslas,

    \(\Phi\)es el flujo magnético en webers,

    \(A\)es el área en metros cuadrados.

    Recordemos del Capítulo 9 que un tesla se define como un weber por metro cuadrado. Una unidad alternativa que a veces se utiliza es gauss (sistema de unidades cgs), que lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, el matemático y científico alemán.

    \[1 \text{ tesla }= 10,000 \text{ gauss} \label{10.5} \]

    Ejemplo 10.3.1

    Existe un flujo magnético de 6E−5 webers en un núcleo cuya sección transversal tiene dimensiones de 1 centímetro por 2 centímetros. Determinar la densidad de flujo en teslas.

    Primero, convierte las dimensiones a metros para encontrar el área. Hay 100 centímetros al metro.

    \[A = width \times height \nonumber \]

    \[A = 0.01 m \times 0.02 m \nonumber \]

    \[A = 2E-4 m^2 \nonumber \]

    \[B = \frac{\Phi}{A} \nonumber \]

    \[B = \frac{6E-5Wb}{2E-4 m^2} \nonumber \]

    \[B = 0.3T \nonumber \]

    Ley de Ohm para circuitos magnéticos (Ley de Hopkinson o Rowland)

    Existe un paralelo común entre los circuitos magnéticos y los circuitos eléctricos, a saber, la ley de Hopkinson (ley de Rowland). Para los circuitos eléctricos, la ley de Ohm establece:

    \[V = I R \nonumber \]

    De la misma manera, para los circuitos magnéticos, tenemos:

    \[\boldsymbol{F} = \Phi \boldsymbol{R} \label{10.6} \]

    Dónde

    \(\boldsymbol{F}\)es la fuerza magnetomotiva (o MMF) en amperios-vueltas,

    \(\Phi\)es el flujo magnético en webers,

    \(\boldsymbol{R}\)es la reluctancia del material en amp-turns/weber.

    La fuerza magnetomotiva se compara con una tensión de fuente o fuerza electromotriz (EMF), el flujo magnético se compara con el flujo de corriente, y la reluctancia representa resistencia (es decir, por un lado tenemos un material que resiste el flujo de corriente, y por otro, un material en el que hay “reluctancia ” para establecer el flujo magnético). Además, la fuerza magnetomotiva es el producto de la corriente que fluye a través de una bobina y el número de bucles o vueltas en la bobina:

    \[\boldsymbol{F} = N I \label{10.7} \]

    Dónde

    \(\boldsymbol{F}\)es la fuerza magneto-motriz en amperios-vueltas,

    \(N\)es el número de bucles o giros en la bobina,

    \(I\)es la corriente en la bobina en amperios.

    La ecuación de reluctancia tiene un bonito paralelo con la ecuación de resistencia (Ecuación 2.11 del Capítulo 2):

    \[R = \frac{\phi l}{A} \nonumber \]

    \[\boldsymbol{R} = \frac{l}{\mu A} \label{10.8} \]

    Dónde

    \(\boldsymbol{R}\)es la renuencia en amp-turns/weber,

    \(l\)es la longitud del material en metros,

    \(A\)es el área de la sección transversal del material en metros cuadrados,

    \(\mu\)es la permeabilidad del material en henries/metro.

    Dadas las características de la bobina y la longitud de trayectoria del circuito magnético, el flujo magnético da lugar a una fuerza de magnetización,\(H\).

    \[H = \frac{N I}{l} \label{10.9} \]

    Dónde

    \(H\)es la fuerza de magnetización en amperios-vueltas/metro,

    \(N\)es el número de vueltas o bucles en la bobina,

    \(I\)es la corriente de la bobina en amperios,

    \(l\)es la longitud de la trayectoria magnética en metros.

    La ecuación\ ref {10.8} revela que los materiales ferromagnéticos (es decir, los materiales que tienen alta permeabilidad, como el acero) producen una baja reluctancia. El problema práctico aquí es que\(\mu\), a diferencia de la resistividad\(\rho\) de las resistencias, no es una constante para este tipo de materiales. Puede variar considerablemente, como se ve en el diagrama general presentado en la Figura 10.3.2 . En consecuencia, no es práctico encontrar renuencia de la misma manera que encontramos resistencia. Sin embargo, no todo está perdido.

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    Figura 10.3.2 : Curva de permeabilidad típica para un material de alta permeabilidad.

    La densidad de flujo y la fuerza de magnetización correspondiente para cualquier material dado están relacionadas por la siguiente ecuación:

    \[B = \mu H \label{10.10} \]

    Dónde

    \(B\)es la densidad de flujo en teslas,

    \(\mu\)es la permeabilidad del material en henries/metro,

    \(H\)es la fuerza de magnetización en amperios-vueltas/metro.

    Una vez más, lo complicado aquí es la permeabilidad del material del núcleo. Para el aire, podemos utilizar la permeabilidad del espacio libre,\(\mu_0\).

    \[\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} H/m \approx 1.257 \times 10^{-6} H/m \label{10.11} \]

    Para otros materiales, como chapa de acero o acero fundido, tomaremos otro camino; a saber, una curva empíricamente derivada que traza la densidad de flujo\(B\) contra la fuerza de magnetización\(H\). Dichas gráficas se denominan genéricamente “\(BH\)curvas”. Un ejemplo se muestra en la Figura 10.3.3 . Claramente, esta curva no es una bonita línea recta, ni siquiera una función obvia y predecible. Los atributos inmediatamente aparentes son la subida pronunciada inicial seguida de un aplanamiento de la curva. Este aplanamiento corresponde a la saturación del material magnético. En contraste, una parcela para aire revelaría una línea recta con una pendiente muy poco profunda. Como veremos, poder lograr una alta densidad de flujo para una fuerza de magnetización dada dará como resultado un circuito magnético efectivo y eficiente. Entonces, si bien el aire tiene el atributo positivo de no saturarse, la densidad de flujo resultante es baja, generalmente conduciendo a un menor rendimiento.

    clipboard_e6e96dcd4f4cea0af8c8cad6ef5507b07.png

    Figura 10.3.3 :\(BH\) Curva genérica.

    La curva BH

    El proceso de generación de una\(BH\) curva es el siguiente. Primero, creamos un núcleo del material a investigar. Luego se envuelve una bobina de alambre alrededor de este núcleo. Un ejemplo se muestra en la Figura 10.3.4 . Aquí tenemos un toroide básico con una bobina de\(N\) vueltas.

    clipboard_e64d19a235230184a996289ee4b38e2ee.png

    Figura 10.3.4 : Núcleo toroidal con bobina.

    Comenzamos con el sistema en reposo y no energizado. Una pequeña corriente,\(I\), se aplica a la bobina. Esto produce una fuerza magnetizante a través de la Ecuación\ ref {10.9}. Habrá una densidad de flujo correspondiente, según la Ecuación\ ref {10.10}.

    Luego se incrementa la corriente. Esto produce un aumento en la fuerza de magnetización y un cambio correspondiente en la densidad de flujo. La corriente se incrementa aún más, hasta que la curva se aplana, lo que indica que se ha alcanzado la saturación. Esta trayectoria se muestra como la línea discontinua en la Figura 10.3.5 , comenzando en punto\(\boldsymbol{a}\) con punto\(\boldsymbol{b}\) que indica saturación. Luego se reduce la corriente. Esto provoca una reducción en la fuerza de magnetización, pero mientras la densidad de flujo disminuye, no se remonta perfectamente a lo largo de la trayectoria original. En cambio, la curva se desplaza por encima de la original.

    clipboard_eeb40661fa9fad5e5423cd306daff5db0.png

    Figura 10.3.5 : Generación de curva BH.

    Eventualmente, la corriente se reducirá a cero. Esto corresponde al punto\(\boldsymbol{c}\) en la gráfica de la Figura 10.3.5 . En este punto, a pesar de que no hay corriente en la bobina, todavía hay flujo en el núcleo. La densidad de flujo resultante se conoce como retentividad y es una medida del magnetismo residual. Este fenómeno es lo que permite magnetizar materiales.

    Si ahora invertimos la dirección de la corriente de la bobina y comenzamos a aumentar su magnitud, la densidad de flujo seguirá bajando. En punto\(\boldsymbol{d}\), habrá llegado a cero. Como efectivamente hemos coaccionado el flujo a cero, llamamos a la fuerza magnetizante requerida para hacer esto la coercitividad o fuerza coercitiva.

    A medida que aumenta la magnitud de la corriente, la densidad de flujo también aumenta pero con signo opuesto. Finalmente, la saturación se vuelve a alcanzar en el punto\(\boldsymbol{e}\). Una vez más, si disminuye la magnitud de la corriente, la magnitud de la densidad de flujo también disminuirá pero no se trazará perfectamente a lo largo de la trayectoria original. Esta vez seguirá un camino más bajo. Cuando la corriente se reduce a cero en el punto\(\boldsymbol{f}\), es evidente una retencividad especular. Otros aumentos positivos en la corriente muestran una coercitividad especular en el punto\(\boldsymbol{g}\). Finalmente, a medida que la corriente se incrementa al máximo, nuevamente alcanzamos la saturación en el punto\(\boldsymbol{b}\).

    Si la corriente se vuelve a ciclar de esta manera, se repite el proceso, y se toma de nuevo el camino exterior indicado por las flechas. Así, un valor específico de la fuerza magnetizante puede dar lugar a diferentes valores de densidad de flujo: depende de la historia reciente del material. Este efecto se conoce como histéresis y también se encuentra en otras áreas.

    Efectivamente,\(BH\) las curvas publicadas siguen la mitad del bucle de histéresis. Un ejemplo de\(BH\) curvas para tres materiales de núcleo diferentes se muestra en la Figura 10.3.6 1. La curva A es para chapa de acero (que es común en transformadores), la curva B es para acero fundido y la curva C es para hierro fundido. Haremos uso de estos en los próximos ejemplos. También están disponibles curvas para otros materiales.

    clipboard_efe408d04cd8034202428d26954ed33a4.png

    Figura 10.3.6 : Curvas BH para: A. Chapa de acero B. Acero fundido C. Hierro fundido

    Ejemplo 10.3.2

    Supongamos que el toroide de la Figura 10.3.4 está hecho de acero fundido, tiene una bobina de 500 vueltas, una sección transversal de 2 cm por 2 cm, y una longitud de trayectoria promedio de 50 cm. Determine el flujo en webers si una corriente de 0.3 amperios alimenta la bobina.

    Utilizaremos la Ecuación\ ref {10.9} para encontrar la fuerza magnetizante y a partir de la\(BH\) curva, encontrar la densidad de flujo.

    \[H = \frac{N I}{l} \nonumber \]

    \[H = \frac{500 \text{ turns } \times 0.3 A}{0.5 m} \nonumber \]

    \[H = 300At/m \text{ (amp-turns per meter)} \nonumber \]

    El acero fundido corresponde a la curva B (verde) en la Figura 10.3.5 . Una estimación decente para la densidad de flujo es de 0.52 teslas. Esta es la densidad de flujo correspondiente. Para encontrar el flujo, necesitamos encontrar el área del núcleo.

    \[A = width \times height \nonumber \]

    \[A = 0.02 m \times 0.02 m \nonumber \]

    \[A = 4E-4m^2 \nonumber \]

    \[\Phi = B \times A \nonumber \]

    \[\Phi = 0.52 T \times 4E-4 m^2 \nonumber \]

    \[\Phi = 2.08E-4Wb \nonumber \]

    KVL para circuitos magnéticos

    Un examen superficial de las Ecuaciones\ ref {10.7} y\ ref {10.9} muestra que:

    \[\boldsymbol{F} = H l = N I \label{10.12} \]

    Continuando con la analogía de la ley de Ohm, el amperio-vueltas producto de la bobina\(NI\),, es análogo a un aumento de voltaje. Además, el\(Hl\) producto es análogo a una caída de voltaje. Si entonces extendemos la analogía para incluir el concepto de ley de tensión de Kirchhoff, no debería sorprendernos que la suma de\(NI\) “subidas” deba ser igual a la suma de las\(Hl\) “gotas”. En el circuito de la Figura 10.3.4 , hay una sola “subida” y una sola “caída”. Así, el circuito magnético es análogo al circuito eléctrico mínimo mostrado en la Figura 10.3.7 . \(\boldsymbol{F}\)es la fuerza magnetomotiva\(NI\), mientras que\(\boldsymbol{R}\) es la reluctancia del núcleo toroidal. Esta renuencia experimentará una “caída” de\(Hl\).

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    Figura 10.3.7 : Analogía del circuito eléctrico para el sistema magnético de la Figura 10.3.4 .

    El núcleo podría consistir en dos o más materiales diferentes, creando el equivalente a un circuito en serie. En este caso, una tabla como la que se encuentra en la Figura 10.3.8 puede ser utilizada para ayudar en el cálculo. En esta tabla, cada sección del núcleo obtiene su propia fila. La mesa se divide en dos lados (tenga en cuenta la gruesa línea de separación en el centro). En general, estaremos trabajando a través de problemas donde conocemos los datos del lado izquierdo y necesitamos encontrar algo en el lado derecho, o viceversa. El puente entre los dos lados (es decir, atravesando la línea gruesa) es una\(BH\) curva para el material de esa sección en particular. La excepción a esta regla es si la sección es un entrehierro. En ese caso podemos usar Definición\ ref {10.11} que muestra eso para aire,\(H \approx 7.958E5 B\) o alternativamente,\(B \approx 1.257E−6 H\).

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    1 \ (\ Phi\) (Wb) "> \ (A\) (m\(^2\)) "> \ (H\) (A/m) "> \ (l\) (m) "> \ (Hl\) (At) ">
    2 \ (\ Phi\) (Wb) "> \ (A\) (m\(^2\)) "> \ (H\) (A/m) "> \ (l\) (m) "> \ (Hl\) (At) ">
    Figura 10.3.8 : Formato de tabla utilizado para el análisis de circuitos magnéticos.

    Tiempo para algunos ejemplos ilustrativos. Consideraremos un sistema simple como el de la Figura 10.3.4 , un núcleo de dos secciones, un núcleo con un entrehierro y un núcleo con dos bobinas.

    Ejemplo 10.3.3

    Supongamos que el núcleo de la Figura 10.3.9 está hecho de chapa de acero, tiene una bobina de 200 vueltas, una sección transversal de 1 cm por 1 cm, y una longitud de trayectoria promedio de 12 cm. Determine la corriente de bobina requerida para lograr un flujo de 1E−4 webers.

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    Figura 10.3.9 : Sistema magnético para Ejemplo 10.3.3 .

    El circuito análogo consiste en una única fuente y reluctancia, como la de la Figura 10.3.7 . Por lo tanto,

    \[N I = H_{sheet} l_{sheet} \nonumber \]

    Comenzaremos rellenando las porciones de la mesa que se puedan abordar directamente, como la longitud del camino, el área y el flujo. No olvides convertir los valores de centímetros en metros.

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">1E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">1E−4 \ (H\) (A/m) "> \ (l\) (m) ">0.12 \ (Hl\) (At) ">

    Ahora determinamos la densidad de flujo para completar el lado izquierdo de la mesa.

    \[B = \frac{\Phi}{A} \nonumber \]

    \[B = \frac{1E-4 Wb}{1E-4 m^2} \nonumber \]

    \[B = 1T \nonumber \]

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">1E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">1E−4 1 \ (H\) (A/m) "> \ (l\) (m) ">0.12 \ (Hl\) (At) ">

    Utilizamos la\(BH\) curva de la Figura 10.3.6 para encontrar H a partir de esta densidad de flujo. De la curva azul (A) el valor es de aproximadamente 190 amperios-vueltas por metro.

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">1E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">1E−4 1 \ (H\) (A/m) ">190 \ (l\) (m) ">0.12 \ (Hl\) (At) ">

    En este punto nos encontramos con la\(Hl\) “gota” con una simple multiplicación.

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">1E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">1E−4 1 \ (H\) (A/m) ">190 \ (l\) (m) ">0.12 \ (Hl\) (At) ">22.8

    Esta “caída” es de 22.8 amperios-vueltas y la bobina tiene 200 vueltas. Por lo tanto, la corriente requerida es:

    \[I = \frac{H l}{N} \nonumber \]

    \[I = \frac{22.8At}{200 t} \nonumber \]

    \[I = 114mA \nonumber \]

    A continuación, consideremos un núcleo con dos secciones.

    Ejemplo 10.3.4

    Dado el sistema magnético mostrado en la Figura 10.3.10 , supongamos que la sección A está hecha de chapa de acero y la sección B es de acero fundido. Cada parte tiene una sección transversal de 2 cm por 2 cm. La longitud del camino de A es de 12 cm y la longitud del camino de B es de 4 cm. Si la bobina tiene 50 vueltas, determine la corriente de bobina requerida para lograr un flujo de 2E−4 webers.

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    Figura 10.3.10 : Sistema magnético para Ejemplo 10.3.4 .

    El circuito análogo consiste en una sola fuente y dos reluctancias. Esto se muestra en la Figura 10.3.11 .

    Por lo tanto:

    \[N I = H_{sheet} l_{sheet}+H_{cast} l_{cast} \nonumber \]

    Para nuestra mesa habrá dos filas, una para chapa de acero y la segunda para acero fundido. La primera fila requerirá el uso de la curva A (chapa de acero) de la Figura 10.3.6 mientras que la segunda fila requerirá el uso de la curva B (acero fundido).

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    Figura 10.3.11 : Circuito eléctrico análogo para el sistema de la Figura 10.3.10 .

    El flujo, al igual que la corriente en un bucle en serie, será el mismo en ambas secciones. Desde aquí podemos rellenar una serie de otros valores en la tabla para llegar a:

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">4E−4 0.5 \ (H\) (A/m) "> \ (l\) (m) ">0.12 \ (Hl\) (At) ">
    Acero Fundido \ (\ Phi\) (Wb) ">2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">4E−4 0.5 \ (H\) (A/m) "> \ (l\) (m) ">0.04 \ (Hl\) (At) ">

    Las\(BH\) curvas se utilizan para hacer la transición hacia el lado derecho, y llegamos a:

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">4E−4 0.5 \ (H\) (A/m) ">70 \ (l\) (m) ">0.12 \ (Hl\) (At) ">
    Acero Fundido \ (\ Phi\) (Wb) ">2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">4E−4 0.5 \ (H\) (A/m) ">290 \ (l\) (m) ">0.04 \ (Hl\) (At) ">

    Y ahora rellenamos las\(Hl\) “gotas”:

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">4E−4 0.5 \ (H\) (A/m) ">70 \ (l\) (m) ">0.12 \ (Hl\) (At) ">8.4
    Acero Fundido \ (\ Phi\) (Wb) ">2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">4E−4 0.5 \ (H\) (A/m) ">290 \ (l\) (m) ">0.04 \ (Hl\) (At) ">11.6

    Usando nuestra analogía KVL, la “caída” total es 8.4 At + 11.6 At, o 20 amperios. Se especificó que la bobina tenía 50 vueltas. Por lo tanto:

    \[I = \frac{H l}{N} \nonumber \]

    \[I = \frac{20 At}{50 t} \nonumber \]

    \[I = 400mA \nonumber \]

    Observe que aunque la sección de acero fundido es más corta que la sección de chapa de acero, produce una “caída” más grande; al igual que una resistencia más grande en un circuito eléctrico. Esto requiere una corriente mayor en la bobina que si todo el núcleo hubiera sido hecho de chapa de acero.

    Por último, debería ser evidente que la demanda de corriente se puede reducir si la bobina tiene más vueltas. Aquí hay un límite práctico porque todos los giros tienen que encajar dentro de la abertura del núcleo. Una vez que ese espacio está lleno, la única manera de aumentar el número de vueltas es usar un cable de calibre más fino, pero al hacerlo aumenta la resistencia del cable y la pérdida de potencia, y también disminuye la capacidad máxima de corriente.

    Cómo lidiar con brechas de aire

    Algunos sistemas incluyen un espacio de aire en el núcleo. Si solo hay un solo material para el resto, esto creará un sistema como el que se muestra en la Figura 10.3.12 . La observación principal aquí es que la permeabilidad del aire está muy por debajo de la de los materiales ferromagnéticos y, por lo tanto, el hueco exhibirá una reluctancia relativamente grande en comparación con su longitud de trayectoria. La pregunta obvia entonces es, ¿por qué usaríamos una brecha? Una posibilidad es un relé electromagnético, cuyos internos se ilustran en la Figura 10.3.13 .

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    Figura 10.3.12 : Circuito eléctrico análogo para un sistema con entrehierro.

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    Figura 10.3.13 : Internos de un relé eléctrico.

    Para crear un relé, colocamos una porción del núcleo en una bisagra que se puede mantener abierta con un pequeño resorte. Esto crea el entrehierro (a la izquierda inmediata del núcleo en la Figura). Si aplicamos una corriente suficientemente grande, el flujo magnético resultante será suficiente para superar la tensión del resorte y cerrar la segunda pieza sobre la primera (es decir, atracción magnética). Una vez que esto sucede, la brecha desaparece, reduciendo la reluctancia alrededor del bucle. El sistema permanecerá cerrado hasta que se apague la corriente de la bobina y el resorte restaurador vuelva a separar las dos secciones. Agregamos contactos metálicos aislados a la sección móvil y lo que terminamos con es un interruptor de servicio pesado que es “arrojado” por una corriente de control en lugar de una palanca mecánica movida por un humano.

    Vale la pena repetir que para brechas de aire, en lugar de una\(BH\) curva podemos usar Definición\ ref {10.11} que muestra eso para el aire,\(H \approx 7.958E5 B\) o alternativamente,\(B \approx 1.257E−6 H\).

    Ejemplo 10.3.5

    Dado el sistema magnético mostrado en la Figura 10.3.14 , supongamos que el núcleo está hecho de chapa de acero. La sección transversal es 3E−4 m\(^2\). La longitud de la trayectoria del núcleo principal es de 8 cm y la longitud de la trayectoria del hueco es de 1 mm. ¿Cuántas vueltas necesitará la bobina para que una corriente de bobina de 400 mA logre un flujo de 1.2E−4 webers?

    clipboard_e07ea634a2037348a41c41e06d64eabc6.png

    Figura 10.3.14 : Sistema magnético para Ejemplo 10.3.5 .

    El circuito análogo consiste en una sola fuente y dos reluctancias, una para el núcleo de chapa de acero y una segunda para el entrehierro. Esto se muestra en la Figura 10.3.12 . Además, la relación KVL análoga es:

    \[N I = H_{sheet} l_{sheet} +H_{gap} l_{gap} \nonumber \]

    Para esta mesa habrá dos filas, una para el núcleo de chapa de acero y otra para el entrehierro. Como hemos visto, el flujo será el mismo en ambas secciones. A partir de ahí podemos rellenar algunos de los otros valores en la tabla dando como resultado:

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">1.2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">3E−4 0.4 \ (H\) (A/m) ">63 \ (l\) (m) ">8E−2 \ (Hl\) (At) ">
    Gap \ (\ Phi\) (Wb) ">1.2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">3E−4 0.4 \ (H\) (A/m) ">3.183E5 \ (l\) (m) ">1E−3 \ (Hl\) (At) ">

    La\(BH\) curva para chapa de acero y Definición\ ref {10.11} para el entrehierro se utilizan para la transición hacia el lado derecho, produciendo:

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">1.2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">3E−4 0.4 \ (H\) (A/m) ">62 \ (l\) (m) ">8E−2 \ (Hl\) (At) ">5.0
    Gap \ (\ Phi\) (Wb) ">1.2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">3E−4 0.4 \ (H\) (A/m) ">3.183E5 \ (l\) (m) ">1E−3 \ (Hl\) (At) ">318.3

    Las\(Hl\) “gotas” se rellenan:

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">1.2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">3E−4 0.4 \ (H\) (A/m) "> \ (l\) (m) ">8E−2 \ (Hl\) (At) ">
    Gap \ (\ Phi\) (Wb) ">1.2E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">3E−4 0.4 \ (H\) (A/m) "> \ (l\) (m) ">1E−3 \ (Hl\) (At) ">

    Usando nuestra analogía KVL, la “caída” total es 5.0 At + 318.3 At, o 523.3 amperios. La corriente de la bobina se especificó como 400 mA. Por lo tanto:

    \[N = \frac{H l}{I} \nonumber \]

    \[N = \frac{523.3At}{ 400mA } \nonumber \]

    \[N \approx 1308 \text{ turns} \nonumber \]

    Y por último, un ejemplo usando dos bobinas.

    Ejemplo 10.3.6

    Dado el sistema magnético mostrado en la Figura 10.3.15 , supongamos que el núcleo está hecho de chapa de acero. La sección transversal es de 3E−4 m\(^2\) y la longitud del núcleo es de 20 cm. La bobina uno consta de 2000 vueltas y la bobina dos consta de 500 vueltas. Si una corriente de 120 mA en la bobina uno logra un flujo de 2.4E−4 webers, determine la corriente de la bobina 2.

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    Figura 10.3.15 : Sistema magnético para Ejemplo 10.3.6 .

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    Figura 10.3.16 : Circuito eléctrico análogo para el sistema de la Figura 10.3.15 .

    El circuito análogo consta de dos fuentes de voltaje y una sola reluctancia para el núcleo de chapa de acero. Esto se ilustra en la Figura 10.3.16 .

    La relación KVL análoga es:

    \[N_1 I_1 −N_2 I_2 = H_{sheet} l_{sheet} \nonumber \]

    A medida que estamos buscando\(I_2\), podemos reorganizar esta ecuación en una forma más útil:

    \[N_2 I_2 = N_1 I_1 −H_{sheet} l_{sheet} \nonumber \]

    Solo se requerirá una fila para esta tabla. Llenamos los valores obvios en la tabla dando como resultado:

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">2.4E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">3E−4 0.8 \ (H\) (A/m) "> \ (l\) (m) ">0.2 \ (Hl\) (At) ">

    La\(BH\) curva para chapa de acero se utiliza para la transición hacia el lado derecho:

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">2.4E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">3E−4 0.8 \ (H\) (A/m) ">100 \ (l\) (m) ">0.2 \ (Hl\) (At) ">

    La\(Hl\) “caída” se calcula:

    Sección

    Flux

    \(\Phi\)(Wb)

    Área

    \(A\)(m\(^2\))

    Densidad de flujo

    B (T)

    Fuerza de magnetización

    \(H\)(A/m)

    Largo

    \(l\)(m)

    “Drop”

    \(Hl\)(At)

    Chapa de Acero \ (\ Phi\) (Wb) ">2.4E−4 \ (A\) (m\(^2\)) ">3E−4 0.8 \ (H\) (A/m) ">100 \ (l\) (m) ">0.2 \ (Hl\) (At) ">20

    Usando nuestra analogía KVL, encontramos:

    \[N_2 I_2 = N_1 I_1 −H_{sheet} l_{sheet} \nonumber \]

    \[N_2 I_2 = 2000 \text{ turns } \times 120mA −20 At \nonumber \]

    \[N_2 I_2 = 240At −20 At \nonumber \]

    \[N_2 I_2 = 220At \nonumber \]

    Se especificó que la bobina dos tenía 500 vueltas, por lo tanto su corriente es:

    \[I_2 = \frac{220 At}{500 turns} \nonumber \]

    \[I_2 = 440mA \nonumber \]

    Un elemento de importancia clave es que el ejemplo anterior debe hacer uso de una corriente CA para funcionar como se describe. Una corriente CC no producirá los resultados previstos. La razón de esto se remonta a la Definición 10.2.1 y a la Ecuación 10.2.2: A menos que el flujo esté cambiando con relación a la bobina conductora, no se inducirá voltaje en una bobina. Entonces, mientras que una corriente de entrada de CC creará un flujo en el núcleo, ese flujo será estático e inmutable. En consecuencia, la segunda bobina no producirá una salida. Por el contrario, una corriente de CA varía suavemente en amplitud y polaridad. Esto crea un flujo magnético que varía suavemente que a su vez permite que se induzca un voltaje en la segunda bobina.

    Suponiendo por un momento que se utilizó una corriente de CA en el ejemplo anterior, observe que la corriente es casi cuatro veces mayor en la bobina dos que en la bobina uno. Si hubiéramos podido reducir la “caída” del núcleo a cero, quizás reduciendo la reticencia del núcleo a un valor insignificante, entonces la corriente se habría incrementado precisamente en un factor cuatro (a 480 mA frente a 440 mA). Esto es lo mismo que la relación entre el número de vueltas de la bobina uno y el número de vueltas de la bobina dos, y se conoce como la relación de vueltas. Se trata de un parámetro clave que describe transformadores, que simplemente pasa a ser el tema de la siguiente sección.

    Referencias

    1 Curvas basadas en https://en.Wikipedia.org/wiki/Saturation_(magnetic); Steinmetz (1917), Teoría y Cálculo de Circuitos Eléctricos; y Boylestad (2010), Análisis Introductorio de Circuitos.


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