5.7: Oscilador diferencial de transconductancia negativa

En los RFIC es común usar un oscilador con un circuito de tanque a través de un par de transistores emparejados en una configuración diferencial. Dicho oscilador se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a). Entonces, mientras este circuito se encuentra en una configuración diferencial, se analiza y se diseña como un oscilador de reflexión en RF.

El par de fuentes comunes diferenciales cruzadas crea una resistencia negativa, mientras que los inductores fijos (los\(L\)) y los condensadores sintonizables de voltaje, los\(C\) s, forman el circuito de tanque LC variable. Los capacitores sintonizables se implementan típicamente usando diodos varactores semiconductores cuyos

Figura\(\PageIndex{1}\): VCO FET diferencial negativo-GM: (a) esquemático; y (b) modelo de señal pequeña utilizado en el análisis del oscilador; (c) modelo de señal pequeña con\(C_{gd}\) incorporado en el circuito tanque; (d) red de resistencia negativa del VCO; y (e) modelo de señal pequeña utilizado para derivar la impedancia de entrada de una red de resistencia negativa. Esta es una forma modificada de un oscilador Colpitts. El circuito\(L-C-C_{gd}\) resonante opera por debajo de la resonancia y presenta una inductancia efectiva (una reactancia positiva) pero con una derivada de admitancia con respecto a la frecuencia que es menor que la de un inductor real. Esto es esencial para la estabilidad. El inductor efectivo,\(L_{3}\) en la Figura 5.2.7 (b), conecta la salida de cada uno de los transistores a su respectiva entrada. Para cada transistor\(C_{gs}\) está\(C_{1}\), y\(C_{ds}\) es\(C_{2}\), en 5.2.7 (b).

Figura\(\PageIndex{2}\): Modelo reducido del VCO FET diferencial de la Figura\(\PageIndex{1}\) :( a) modelo de señal pequeña con red FET de resistencia negativa reemplazada por la resistencia y capacitancia equivalentes; y (b) modelo de señal pequeña paralela más simple que combina el tanque y el modelo de red de resistencia negativa.

la capacitancia se puede ajustar por el voltaje de sintonización\(V_{\text{tune}}\). El transistor de polarización, el FET inferior, establece la corriente en los transistores diferenciales y esta corriente impacta directamente el consumo de energía del oscilador y el ruido de fase. El circuito es simétrico para que el nodo entre los dos condensadores variables, el\(V_{\text{tune}}\) terminal, se vea como un cortocircuito de RF al igual que el nodo fuente común del par diferencial, el nodo etiquetado\(\mathsf{X}\). Esto es clave para desarrollar el modelo de señal pequeña que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b), donde se observan las capacitancias parásitas dominantes de los transistores, la capacitancia drenaje-fuente (\(C_{gs}\)), la capacitancia puerta-fuente () y la capacitancia puerta-drenaje (\(C_{gd}\)).\(C_{ds}\) \(C_{gd}\)se convierte en parte del circuito del tanque. Esto conduce al modelo de señal pequeña más simple que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (c). La extracción del circuito del tanque conduce a los modelos de dispositivos activos de señal pequeña que se muestran en la Figura\(\PageIndex{1}\) (d y e) que presentan una resistencia negativa al circuito del tanque y la carga.

Ahora se puede determinar la admitancia de entrada de la red de resistencia negativa\(\PageIndex{1}\) (Figura (e)). El análisis comienza sumando corrientes en los nodos A y B, respectivamente:

\[\begin{align}\label{eq:1}i_{+}&=(\jmath\omega C_{gs})v_{+}+(\jmath\omega C_{ds})v_{+}+g_{m}v_{-}\\ \label{eq:2}i_{-}&=(\jmath\omega C_{gs})v_{-}+(\jmath\omega C_{ds})v_{-}+g_{m}v_{+}\end{align} \]

La admitancia de entrada diferencial es entonces

\[\label{eq:3}Y_{\text{in}}=\frac{i_{+}-i_{-}}{v_{+}-v_{-}}=-g_{m}+\jmath\omega (C_{gs}+C_{ds}) \]

Así, la red de resistencia negativa se modela como una resistencia negativa de valor\(R_{\text{in}} = (−1/g_{m})\) en paralelo con una capacitancia\(C_{\text{in}} = (C_{gs} + C_{ds})\). La dependencia de\(R_{\text{in}}\) on\(g_{m}\) le da a este oscilador su nombre de “oscilador de transconductancia negativa” u “oscilador negativo-gm”. La capacitancia puerta-drenaje\(C_{gd}\) está en paralelo con la capacitancia del tanque\(C\) y así se\(C_{p} = C + C_{gd}\) puede definir una nueva capacitancia equivalente. La pérdida en el circuito resonador es modelada por una resistencia\(R_{p}\) en paralelo con\(C_{p}\). El modelo de señal pequeña del oscilador es ahora como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) (a). Esto se reduce aún más al modelo mostrado en la Figura\(\PageIndex{2}\) (b). Las oscilaciones se iniciarán si\(|1/R_{\text{in}}| = |g_{m}| > 1/R_{p}\). También la frecuencia de oscilación,\(f_{0}\), es la frecuencia a la que la reactancia de derivación es cero, es decir,

\[\label{eq:4}f_{0}=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{L(C_{p}+C_{\text{in}})}}=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{L(C+C_{gd}+C_{gs}+C_{ds})}} \]

A medida que se acumula la oscilación, se\(|g_{m}|\) reduce al valor de\(1/R_{p}\) y se obtiene una oscilación estable. El oscilador negativo-gm tiene la característica ideal si la conductancia negativa es el único elemento dependiente de la amplitud. Desafortunadamente los valores de\(C_{gd},\)\(C_{gs},\) y\(C_{ds}\) también varían a medida que aumenta la amplitud de la señal. Esto complica el diseño a frecuencias de microondas ya que estas variaciones podrían conducir a múltiples oscilaciones simultáneas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Oscillator Analysis

Determinar la frecuencia de oscilación de un oscilador BJT de emisor común Colpitts.

Solución

La Figura 5.8.1 muestra dos implementaciones diferentes de un oscilador común Colpitts BJT de emisor. La forma en la Figura 5.8.1 (a) es la implementación más directa, con una inserción claramente definida de la red Colpitts en la ruta de retroalimentación de colector a base. En la Figura 5.8.1 (a), las resistencias\(R_{1}\) y\(R_{2}\) proporcionan polarización de base, y\(L_{C}\) es un estrangulador de RF. La frecuencia de oscilación de este oscilador se puede derivar del modelo de señal pequeña del oscilador. Dado que\(R_{1}\) y\(R_{2}\) serán resistencias relativamente grandes, y dado que\(L_{C}\) es un estrangulador de RF (se verá como un circuito abierto de RF), el modelo de señal pequeña del oscilador es como se muestra a continuación.

Figura\(\PageIndex{3}\)

En este modelo de señal pequeña,\(r_{\pi}\) es la resistencia de entrada base y\(r_{o}\) es la resistencia de salida, ambas serán relativamente grandes. La transconductancia del transistor es\(g_{m}\). Las ecuaciones de red se obtienen sumando las corrientes que salen del nodo base, con\(Y_{1},\: Y_{2},\) y\(Y_{3}\) siendo las admitancias de\(C_{1},\: C_{2},\) y\(L_{3}\) respectivamente:

\[\begin{align}\label{eq:5}Y_{2}V_{B}+G_{\pi}V_{B}+Y_{3}(V_{B}-V_{\text{OUT}})&=0 \\ \label{eq:6}Y_{1}V_{\text{OUT}}+g_{m}V_{B}+Y_{3}(V_{\text{OUT}}-V_{B})+G_{o}V_{\text{OUT}}&=0\end{align} \]

y\(G_{\pi} = 1/r_{\pi}\),\(G_{o} = 1/r_{o}\). En forma de matriz

\[\label{eq:7}\left[\begin{array}{cc}{(Y_{2}+Y_{3}+G_{\pi})}&{(-Y_{3})} \\ {(g_{m}-Y_{3})}&{(Y_{1}+Y_{3}+G_{o})}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V_{B}}\\{V_{\text{OUT}}}\end{array}\right]=0 \]

Esto se puede simplificar señalando que\(r_{\pi}\) y\(r_{o}\) tendrá admisiones menores que\(Y_{1},\: Y_{2},\) y\(Y_{3}\). Así, la ecuación\(\eqref{eq:7}\) se convierte

\[\label{eq:8}\left[\begin{array}{cc}{(Y_{2}+Y_{3})}&{(-Y_{3})}\\{(-Y_{3})}&{(Y_{1}+Y_{3})}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V_{B}}\\{V_{\text{OUT}}}\end{array}\right]=0 \]

La ecuación\(\eqref{eq:8}\) tiene una solución sólo si el determinante de la matriz es cero. Es decir,

\[\begin{align}(Y_{2} + Y_{3})(Y_{1} + Y_{3}) − Y_{3}Y_{3} &= Y_{1}Y_{2} + Y_{2}Y_{3} + Y_{1}Y_{3} + Y_{3}^{2} − Y_{3}^{2}\nonumber \\ \label{eq:9}&=Y_{1}Y_{2} + Y_{2}Y_{3} + Y_{1}Y_{3} = 0\end{align} \]

Ahora\(Y_{1} = \jmath\omega C_{1}\), etc., dónde\(\omega = 2\pi f\) está la frecuencia de oscilación del radián. Así, la ecuación\(\eqref{eq:9}\) se convierte

\[\label{eq:10}-\omega^{2}C_{1}C_{2}+\frac{C_{1}}{L_{3}}+\frac{C_{2}}{L_{3}}=-\omega^{2}C_{1}C_{2}+\frac{C_{1}+C_{2}}{L_{3}}=0 \]

Reordenando, la frecuencia de oscilación es

\[\label{eq:11}f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{L_{3}}\frac{(C_{1}+C_{2})}{C_{1}C_{2}}} \]

El mismo resultado se obtiene para la forma alternativa del oscilador Colpitts mostrado en la Figura 5.8.1 (b).