12.2: Conversión de energía eléctrica

El eléctrico puede describirse ya sea en lenguaje de circuitos o lenguaje electromagnético. Utilizando el lenguaje de circuitos, los sistemas eléctricos se describen mediante cuatro parámetros fundamentales: carga en culombios\(Q\)\(v\), voltaje en voltios, flujo magnético en webers\(\Psi\) y corriente en amperios\(i\). Para los circuitos descritos en este lenguaje, las resistencias, condensadores y otros dispositivos de almacenamiento y conversión de energía eléctrica se tratan como puntos sin longitud ni extensión, y se ignoran las fuerzas y campos fuera de la trayectoria del circuito. Un enfoque alternativo es utilizar lenguaje electromagnético, se estudian las propiedades eléctricas de los materiales en función de la posición y se estudian las fuerzas y campos fuera de la trayectoria de un circuito.

Podemos usar el lenguaje de circuitos para describir una serie de dispositivos de conversión de energía. Las resistencias convierten la energía eléctrica en energía térmica, y los dispositivos termoeléctricos convierten la energía térmica hacia o desde la energía eléctrica. Un condensador de carga convierte la energía eléctrica en energía almacenada en una polarización de material, y un condensador de descarga convierte la energía de la polarización del material de nuevo en energía eléctrica. En un inductor, la energía eléctrica se convierte hacia y desde la energía de un campo magnético.

En la Sec. 11.5, se estudió en detalle el almacenamiento de energía en un condensador y se describió en el lenguaje de cálculo de variaciones. En el Cuadro 11.5.2 se resume el uso del lenguaje de cálculo de variaciones para describir el proceso de conversión de energía, y se repite en la segunda columna de la Tabla\(\PageIndex{1}\). En ese ejemplo, la carga acumulada en las placas del condensador,\(Q\), era la trayectoria generalizada. El potencial generalizado fue\(v\), el voltaje a través del condensador. De estas elecciones, se seleccionaron otros parámetros.

En lugar de elegir la carga\(Q\) como la ruta generalizada, podríamos haber elegido la ruta generalizada para ser una de las otras variables fundamentales del análisis de circuitos\(v\), voltaje\(\Psi\), flujo magnético o corriente\(i\). Tabla\(\PageIndex{1}\) resume los parámetros que resultan cuando se describen procesos de conversión de energía que ocurren en un condensador o inductor en el lenguaje de cálculo de variaciones con estas elecciones de ruta generalizada. Más específicamente, la tercera columna muestra parámetros cuando se elige voltaje como ruta generalizada. La cuarta columna muestra los parámetros cuando se elige el flujo magnético como la ruta generalizada, y la quinta columna muestra los parámetros cuando se elige la corriente como la ruta generalizada. Al leer una columna de la tabla, vemos cómo describir un proceso con esta elección de camino generalizado. Al leer a través de las filas de la tabla, podemos dibujar analogías entre los parámetros de los procesos de conversión de energía.

Para describir los procesos de conversión de energía que ocurren en un condensador, podemos elegir ya sea la carga o voltaje para que sea la ruta generalizada y luego usar el lenguaje de cálculo de variaciones. Observe que si se elige la carga como la ruta generalizada como se ve en la columna dos de la Tabla\(\PageIndex{1}\), el voltaje se convierte en el potencial generalizado. Sin embargo, cuando se elige voltaje como la ruta generalizada como se ve en la columna tres, la carga se convierte en el potencial generalizado. El camino que se encuentra en la naturaleza minimiza la acción, y vimos en la Sec. 11.5 que podríamos usar la ecuación de Euler-Lagrange para establecer una ecuación de movimiento para el sistema. Cada término de la ecuación de movimiento tiene las mismas unidades que el potencial generalizado. La ecuación de movimiento que se encuentra cuando se usa\(Q\) como ruta generalizada es la Ley de Voltaje (KVL) de Kirchoff, que dice que la suma de todas las caídas de voltaje alrededor de un bucle cerrado en un circuito es cero. La ecuación de movimiento que se encuentra al usar\(v\) como camino generalizado es la ley de conservación de la carga. Ambos conceptos son ideas fundamentales en la teoría de circuitos, y se muestran en la segunda a última fila de la tabla.

Cuadro\(\PageIndex{1}\): Describiendo los circuitos eléctricos en el lenguaje de cálculo de variaciones.

Dispositivo de almacenamiento de energía	Capacitor	Capacitor	Inductor	Inductor
Ruta Generalizada	Carga\(Q\) en C	Voltaje\(v\) en V	Mag. Flujo\(\Psi\) en Wb	Corriente\(i\) en A
Potencial Generalizado	Voltaje\(v\) in\(\frac{J}{C}\) = V	Carga\(Q\) en C	Corriente\(i\) en A =\ frac {J} {Wb}\)	Mag. Flujo\(\Psi\) en Wb
Capacidad Generalizada	Capacitancia\(C\) en F =\(\frac{C^2}{J}\)	\(\frac{1}{C}\)	Inductancia\(L\) en H =\(\frac{Wb^2}{J}\)	\(\frac{1}{L}\)
Relación constitutiva	\(Q=Cv\)	\(v=\frac{Q}{C}\)	\(\Psi = Li\)	\(i = \frac{\Psi}{L}\)
Energía	\(\frac{1}{2}Cv^2\)	\(\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}\)	\(\frac{1}{2}Li^2\)	\(\frac{1}{2}\frac{\Psi^2}{L}\)
Ley para el potencial	KVL	Conservación de Carga	KCL	Conservación del Mag. Flux
Esta columna asume	Corriente y voltaje de CA	Corriente y voltaje de CA	Corriente y voltaje de CA	Corriente y voltaje de CA

De manera similar, para describir los procesos de conversión de energía que ocurren en un inductor, podemos elegir el flujo magnético o la corriente como ruta generalizada. Si elegimos el flujo magnético como ruta generalizada, el potencial generalizado es la corriente. Si elegimos la corriente como la ruta generalizada, el potencial generalizado es el flujo magnético. Desde la primera opción, la ecuación de movimiento encontrada es la Ley Actual de Kirchoff (KCL). De la segunda opción, la ecuación de movimiento encontrada es la conservación del flujo magnético.

La relación entre el camino generalizado y el potencial generalizado se conoce como la relación constitutiva [168, p. 30]. Para un condensador, se da como

\[Q = Cv. \nonumber \]

La constante\(C\) que se manifiesta en esta ecuación es la capacitancia en faradios. Análogamente para un inductor, la relación constitutiva es

\[\Psi = Li \nonumber \]

donde\(L\) esta la inductancia en henries. Veremos que podemos identificar relaciones constitutivas para otros procesos de conversión de energía, y de manera similar podemos llegar a un parámetro que describa la capacidad de almacenar energía en el dispositivo. En analogía con el condensador, llamaremos a este parámetro la capacidad generalizada. La capacitancia\(C\) representa la capacidad de almacenar energía en el dispositivo, por lo que la capacidad generalizada representa la capacidad de almacenar energía en otros dispositivos. La sobrecarga del término capacidad se discute en el Apéndice C.

Cuadro\(\PageIndex{2}\): Cantidades utilizadas para describir circuitos y campos electromagnéticos.

Cantidad de Circuito	Campo electromagnético
\(Q\): Carga en C	\(\overrightarrow{D}\): Densidad de flujo de desplazamiento en\(\frac{C}{m^2}\)
\(v\): Voltaje en V	\(\overrightarrow{E}\): Intensidad del campo eléctrico en\(\frac{V}{m}\)
\(\Psi\): Flujo magnético en Wb	\(\overrightarrow{B}\): densidad de flujo magnético en\(\frac{Wb}{m^2}\)
\(i\): Corriente en A	\(\overrightarrow{H}\): Intensidad del campo magnético en\(\frac{A}{m}\)

Usando lenguaje electromagnético, cuatro campos vectoriales describen sistemas: densidad de flujo de\(\overrightarrow{D}\) desplazamiento en\(\frac{C}{m^2}\), intensidad de campo\(\overrightarrow{E}\) eléctrico en\(\frac{V}{m}\), densidad de flujo\(\overrightarrow{B}\) magnético en\(\frac{Wb}{m^2}\), e intensidad de campo\(\overrightarrow{H}\) magnético en\(\frac{A}{m}\). Estos campos electromagnéticos son generalizaciones de los parámetros del circuito de carga\(Q\), voltaje\(v\)\(\Psi\), flujo magnético y corriente\(i\) respectivamente como se muestra en la Tabla\(\PageIndex{2}\). Sin embargo, los campos electromagnéticos son funciones de posición\(x\)\(y\), y\(z\) además del tiempo, y son vectores en lugar de cantidades escalares. Más específicamente, la densidad de flujo de desplazamiento es la carga acumulada en una superficie por unidad de área, y la densidad de flujo magnético es el flujo magnético a través de una superficie. De manera similar, la intensidad del campo eléctrico es el gradiente negativo del voltaje, y la intensidad del campo magnético es el gradiente de la corriente. Encontramos estos campos electromagnéticos al discutir antenas en el Capítulo 4.

Un condensador puede almacenar energía en la carga acumulada entre las placas del condensador. Análogamente, un material aislante con permitividad mayor que la permitividad del espacio libre,\(\epsilon > \epsilon_0\), puede almacenar energía en la separación de carga distribuida por todo el material. Podemos describir los procesos de conversión de energía que ocurren en un condensador usando el lenguaje de cálculo de variaciones eligiendo ya sea carga\(Q\) o voltaje\(v\) como ruta generalizada. Los parámetros resultantes de estas elecciones se muestran en la segunda y tercera columna de Table\(\PageIndex{1}\). Análogamente, podemos describir los procesos de conversión de energía que ocurren en un material aislante con el\(\epsilon > \epsilon_0\) uso del lenguaje de cálculo de variaciones eligiendo uno\(\overrightarrow{D}\) o\(\overrightarrow{E}\) como el camino generalizado. Los parámetros resultantes de estas elecciones se muestran en la segunda y tercera columna de Table\(\PageIndex{3}\). La ecuación de movimiento que resulta en ambos casos es la ley de Gauss para el campo eléctrico,

\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{D} = \rho_{ch} \nonumber \]

donde\(\rho_{ch}\) está la densidad de carga. La derivación está fuera del alcance de este texto, sin embargo, porque implica aplicar cálculo de variaciones a cantidades con múltiples variables independientes y dependientes. La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y fue introducida en la Sección 1.6.1. En el Capítulo 2 se discutieron los dispositivos de conversión de energía piezoeléctrica, y en el Capítulo 3, se discutieron los dispositivos de conversión de energía piroeléctrica y electroóptica. Todos estos dispositivos implicaban convertir la energía eléctrica hacia y desde la energía almacenada en una polarización material de un material aislante con\(\epsilon > \epsilon_0\). El cálculo de variaciones se puede utilizar para describir la conversión de energía en todos estos dispositivos con densidad de flujo de desplazamiento o intensidad de campo eléctrico como trayectoria generalizada. Para un dispositivo hecho de un material de permitividad\(\epsilon\) con una intensidad de campo eléctrico externo a través de él dada por\(\overrightarrow{E}\), la densidad de energía almacenada está\(\frac{1}{2}\epsilon|\overrightarrow{E}|^2\) en\(\frac{J}{m^3}\). La energía almacenada en un volumen\(\mathbb{V}\) se encuentra integrando esta densidad de energía con respecto al volumen, y esta energía almacenada en un volumen se enumera en la segunda a última fila de la Tabla\(\PageIndex{3}\). Observe la similitud de la ecuación para la energía almacenada en un condensador (segunda columna, segunda a última caja de\(\PageIndex{1}\)) y esta ecuación para la densidad de energía almacenada en un material con\(\epsilon > \epsilon_0\) (segunda columna segunda a última caja de la Tabla\(\PageIndex{3}\)).

Cuadro\(\PageIndex{3}\): Describiendo los sistemas electromagnéticos en el lenguaje de cálculo de variaciones.

Dispositivo de almacenamiento de energía	Material dieléctrico,\(\epsilon > \epsilon_0\)	Material dieléctrico,\(\epsilon > \epsilon_0\)	Material Magnético,\(\mu > \mu_0\)	Material Magnético,\(\mu > \mu_0\)
Ruta Generalizada	Densidad de flujo de desplazamiento\(\overrightarrow{D}\) en\(\frac{C}{m^2}\)	Intensidad de Campo Eléctrico\(\overrightarrow{E}\) en\(\frac{V}{m} = \frac{J}{C \cdot m}\)	Densidad de flujo magnético\(\overrightarrow{B}\) en\(\frac{Wb}{m^2}\)	Intensidad de Campo Magnético\(\overrightarrow{H}\) en\(\frac{A}{m} = \frac{J}{Wb \cdot m}\)
Potencial Generalizado	Intensidad de Campo Eléctrico\(\overrightarrow{E}\) en\(\frac{V}{m} = \frac{J}{C \cdot m}\)	Densidad de flujo de desplazamiento\(\overrightarrow{D}\) en\(\frac{C}{m^2}\)	Intensidad de Campo Magnético\(\overrightarrow{H}\) en\(\frac{A}{m} = \frac{J}{Wb \cdot m}\)	Densidad de flujo magnético\(\overrightarrow{B}\) en\(\frac{Wb}{m^2}\)
Capacidad Generalizada	permitividad\(\epsilon\) en\(\frac{F}{m} = \frac{C^2}{J \cdot m}\)	\(\frac{1}{\epsilon}\)	permitividad\(\mu\) en\(\frac{H}{m} = \frac{Wb^2}{J \cdot m}\)	\(\frac{1}{\mu}\)
Relación constitutiva	\(\overrightarrow{D} = \epsilon \overrightarrow{E}\)	\(\overrightarrow{E} = \frac{1}{\epsilon}\overrightarrow{D}\)	\(\overrightarrow{B} = \mu \overrightarrow{H}\)	\(\overrightarrow{H} = \frac{1}{\mu}\overrightarrow{B}\)
Energía	\(\int_{\mathbb{V}} \frac{1}{2} \epsilon|\overrightarrow{E}|^{2} d \mathbb{V}\)	\(\int_{\mathbb{V}} \frac{1}{2} \frac{1}{\epsilon}|\overrightarrow{D}|^{2} d \mathbb{V}\)	\(\int_{\mathbb{V}} \frac{1}{2} \mu|\overrightarrow{H}|^{2} d \mathbb{V}\)	\(\int_{\mathbb{V}} \frac{1}{2} \frac{1}{\mu}|\overrightarrow{B}|^{2} d \mathbb{V}\)
Ley para el potencial	Ley de Gauss para Elec. \(\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{D} = \rho_{ch}\)	Ley de Gauss para Elec. \(\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} = \epsilon \rho_{ch}\)	Ley de Gauss para Mag. \(\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{B} = 0\)	Ley de Gauss para Mag. \(\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{H} = 0\)

La energía también se puede almacenar en materiales con permeabilidad mayor que la permeabilidad del espacio libre,\(\mu > \mu_0\). Los dispositivos de efecto Hall y los dispositivos magnetohidrodinámicos se discutieron en el Capítulo 5. Estos dispositivos son todos inductores, y los parámetros utilizados para describir los procesos de conversión de energía inductiva en el lenguaje de cálculo de variaciones se resumen en las dos últimas columnas de la Tabla\(\PageIndex{3}\). El cálculo de variaciones se puede utilizar para describir procesos de conversión de energía en estos dispositivos con densidad de flujo magnético o intensidad de campo magnético como ruta generalizada y la otra opción como potencial generalizado. La ecuación de movimiento resultante del uso del cálculo de variaciones para describir sistemas inductivos corresponde a la ley de Gauss para el campo magnético,

\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{B} =0 \nonumber \]

La física de las antenas se describe por campos eléctricos y magnéticos, y cualquiera de las columnas de Table\(\PageIndex{3}\) puede ser utilizada para describir la conversión de energía entre electricidad y ondas electromagnéticas en antenas usando el lenguaje de cálculo de variaciones.