12.4: Conversión de Energía Termodinámica

En la Sección 8.1 se introdujeron cuatro propiedades termodinámicas fundamentales: volumen\(\mathbb{V}\), presión\(\mathbb{P}\)\(T\), temperatura y entropía\(S\). Muchos dispositivos convierten entre alguna forma de energía y energía almacenada en un volumen confinado, energía almacenada en un material bajo presión, energía en una diferencia de temperatura o energía de un sistema desordenado. Podemos describir los procesos de conversión de energía en estos dispositivos utilizando el lenguaje de cálculo de variaciones con uno de estos parámetros,\(\mathbb{V}\),\(\mathbb{P}\),\(T\), o\(S\), como el camino generalizado y otro como el potencial generalizado. La tabla\(\PageIndex{1}\) resume los resultados.

Muchos sensores convierten la energía entre la energía eléctrica y la energía almacenada en una diferencia de volumen, presión o temperatura. Un medidor capacitivo puede medir el volumen de combustible líquido versus vapor en el tanque de una aeronave. Los medidores de tensión y los medidores de alambre caliente Piranhi (Sec. 10.4), por ejemplo, son sensores que pueden medir la presión sobre sólidos o en gases. Detectores piroeléctricos (Sec. 3.1), detectores termoeléctricos (Sec. 8.7), dispositivos termiónicos (Sec. 10.1) y dispositivos de temperatura de resistencia (Sec. 10.4) se pueden utilizar para detectar cambios de temperatura.

Muchos otros dispositivos de conversión de energía convierten entre energía almacenada en un volumen confinado, energía almacenada en un material bajo presión o energía en una diferencia de temperatura y otra forma de energía sin involucrar electricidad. Por ejemplo, si atas un globo a un carro de juguete entonces sueltas el aire en el globo, el carro de juguete avanzará. La energía almacenada en el volumen confinado del globo, así como en la goma estirada del globo, se convierte en energía cinética del carro de juguete. Un aireador o botella de chorros convierte la energía de una diferencia de presión en energía cinética de un líquido. Un cuentagotas convierte la energía de una diferencia de presión en energía potencial gravitacional. Una superficie aerodinámica convierte una diferencia de presión en energía cinética en forma de levantamiento. Un pistón convierte la energía de un gas bajo presión en energía cinética. Como se discutió en la Sec. 10.5, una tubería constreñida, o un vertedero, convierte la energía de una diferencia de presión en un líquido que fluye en energía cinética del líquido. Una pelota de béisbol lanzada como una bola curva convierte la energía rotacional de la pelota giratoria en un diferencial de presión para desviar la trayectoria de la pelota [162, p. 350]. Un motor Sterling convierte una diferencia de temperatura en energía cinética.

El cálculo de las variaciones se puede utilizar para obtener información sobre los procesos de conversión de energía termodinámica en estos dispositivos. El primer paso para aplicar las ideas de cálculo de variaciones es identificar una forma inicial y final de energía. El lagrangiano es la diferencia entre estas formas de energía en función del tiempo. Algunos autores eligen lo lagrangiano como una entropía en lugar de una energía [170] [171], pero a lo largo de este texto se supone que el lagrangiano representa una energía como se describe en el Capítulo 11.

Cuadro\(\PageIndex{1}\): Describiendo los sistemas termodinámicos en el lenguaje de cálculo de variaciones.

Dispositivo de almacenamiento de energía	Un globo lleno de aire confinado a un volumen finito	Un pistón comprimido	Una taza de líquido caliente (caliente en comparación con la temperatura de la habitación)	Un contenedor con dos gases puros separados por una barrera
Ruta Generalizada	Volumen\(\mathbb{V}\) en\(m^3\)	Presión\(\mathbb{P}\) en Pa	Temperatura\(T\) en K	Entropía\(S\) en\(\frac{J}{K}\)
Potencial Generalizado	Presión\(\mathbb{P}\) en Pa =\(\frac{J}{m^3}\)	Volumen\(\mathbb{V}\) en\(m^3 = \frac{J}{Pa}\)	Entropía\(S\) en\(\frac{J}{K}\)	Temperatura\(T\) en K
Capacidad Generalizada	\(\frac{\mathbb{V}}{\mathbb{B}} = -\frac{\partial \mathbb{V}}{\partial \mathbb{P}}\)en\(\frac{m^6}{J}\)	\(\frac{\mathbb{B}}{\mathbb{V}} = -\frac{\partial \mathbb{P}}{\partial \mathbb{V}}\)en\(\frac{J}{m^6}\)	\(\frac{T}{C_v} = \frac{\partial S}{\partial T}\)en\(\frac{g \cdot K^2}{J}\)	\(\frac{C_v}{T} = \frac{\partial T}{\partial S}\)en\(\frac{J}{g \cdot K^2}\)
Relación constitutiva	\(\Delta \mathbb{V} = -\frac{\mathbb{V}}{\mathbb{B}}\Delta\mathbb{P}\)	\(\Delta \mathbb{P} = -\frac{\mathbb{B}}{\mathbb{V}}\Delta\mathbb{V}\)	\(\Delta T = \frac{T}{C_v}\Delta S\)	\(\Delta S = \frac{C_v}{T}\Delta T\)
Energía (expresión int) Energía (const. potencial)	\(\int \mathbb{V} d \mathbb{P}\) \(\mathbb{V} \Delta \mathbb{P}\)	\(\int \mathbb{P} d \mathbb{V}\) \(\mathbb{P} \Delta \mathbb{V}\)	\(\int T d S\) \(T \Delta S\)	\(\int S d T\) \(S \Delta T\)
Ley para el potencial	Ecuación de Bernoulli		Segunda Ley de Termodinámica
Esta columna asume	constante\(S, T\)	constante\(S, T\)	constante\(\mathbb{P}, \mathbb{V}\)	constante\(\mathbb{P}, \mathbb{V}\)

Supongamos que solo ocurre un proceso de conversión de energía en un dispositivo. También supongamos que si conocemos tres (no dos) de los cuatro parámetros termodinámicos, podemos calcular el cuarto. Adicionalmente, supongamos que están involucradas pequeñas cantidades de energía, y el proceso de conversión de energía ocurre en presencia de un gran reservorio termodinámico externo de energía.

Al igual que con la discusión de las tablas anteriores, cada columna de Table\(\PageIndex{1}\) detalla los parámetros de cálculo de variaciones para una elección diferente de ruta generalizada. En orden, las columnas se pueden usar para describir el almacenamiento de energía en un gas confinado a un volumen finito, un material bajo presión, un diferencial de temperatura o un sistema ordenado. Las filas están etiquetadas de la misma manera que en las tablas anteriores de este capítulo para que se puedan dibujar analogías entre los sistemas.

La energía se puede almacenar y liberar de un gas confinado a un volumen finito y un gas bajo presión. Estos procesos de conversión de energía relacionados se detallan en la segunda y tercera columnas de la Tabla\(\PageIndex{1}\) respectivamente. La segunda columna especifica parámetros de cálculo de variaciones con volumen elegido como trayectoria generalizada y presión como potencial generalizado. La tercera columna especifica parámetros con presión elegida como ruta generalizada y volumen como potencial generalizado. En realidad, es poco probable que se produzcan procesos de conversión de energía que implican cambios en la presión y el volumen de un gas sin que ocurra simultáneamente un cambio de temperatura o entropía del sistema. Se ignoran el calentamiento resistivo, la fricción, la gravedad y todos los demás procesos de conversión de energía que puedan ocurrir simultáneamente. Se supone explícitamente que la temperatura y la entropía permanecen fijas, y estos supuestos se enumeran en la última fila de la tabla para énfasis. Estas columnas pueden aplicarse a la conversión de energía en líquidos y sólidos además de gases. Usando la elección de variables en la segunda columna, la capacidad de almacenar energía viene dada por\(\frac{\mathbb{V}}{\mathbb{B}}\) donde\(\mathbb{B}\) está el módulo volumétrico en unidades pascales, y es una medida de la capacidad de un material comprimido para almacenar energía [103]. El módulo a granel se introdujo en la Sección 8.1. Usando el volumen como trayectoria generalizada, la ecuación de Euler-Lagrange se puede configurar y resolver para la ecuación de movimiento. Todos los términos de la ecuación resultante de movimiento tienen las unidades de presión, y la ecuación de movimiento es una declaración de la ecuación de Bernoulli, idea discutida en la Sección 10.5.

Las columnas cuarta y quinta de Table\(\PageIndex{1}\) especifican parámetros de cálculo de variaciones con temperatura y entropía elegidos como ruta generalizada respectivamente. Una taza de líquido caliente almacena energía. De igual manera, un contenedor con dos gases puros separados por una barrera almacena energía. El sistema se encuentra en un estado más ordenado antes de que se retire la barrera que después, y tomaría energía para restaurar el sistema al estado ordenado. Ambos sistemas pueden ser descritos por el lenguaje de cálculo de variaciones. Como se detalla en la cuarta columna, la temperatura se puede elegir como la ruta generalizada y la entropía se puede elegir como el potencial generalizado. Alternativamente, como se detalla en la quinta columna, la entropía se puede elegir como ruta generalizada y la temperatura se puede elegir como el potencial generalizado. Ambas columnas asumen que la presión y el volumen permanecen constantes. La cantidad\(C_v\), que aparece en estas columnas, es el calor específico a volumen constante en unidades\(\frac{J}{g \cdot K}\), y se introdujo en la Sec. 8.2.

La ecuación de movimiento que resulta cuando se elige la temperatura como trayectoria y se elige la entropía como el potencial generalizado es una declaración de conservación de la entropía, y cada término de esta ecuación tiene las unidades de entropía. Esta relación se conoce más comúnmente como la segunda ley de la termodinámica, y aparece en la segunda a última fila de Table\(\PageIndex{1}\). Más comúnmente, la ley se escribe para un sistema cerrado como [109, p. 236],

\[\Delta S=\int \frac{\delta \mathbb{Q}}{T}+S_{p r o d u c e d}. \nonumber \]

En palabras, dice que el cambio en la entropía dentro de una masa de control es igual a la suma de la entropía fuera de la masa de control debido a la transferencia de calor más la entropía producida por el sistema.

\[\text{(change in entropy) = (entropy out due to heat) + (entropy produced)}\nonumber \]

Un sistema puede volverse más organizado o más desordenado, por lo que\(\Delta S\) puede ser positivo o negativo. Si se suministra energía dentro o fuera, la entropía puede transferirse dentro o fuera de un sistema, por lo que la cantidad\(\int \frac{\delta \mathbb{Q}}{T}\) puede ser positiva o negativa.

La energía se enumera en la tercera a última fila de la Tabla\(\PageIndex{1}\) en dos formas diferentes. La primera expresión es una expresión integral. Por ejemplo, se puede integrar el volumen con respecto a la presión para encontrar la energía de un sistema.

\[E=\int \mathbb{V} d \mathbb{P} \nonumber \]

Alternativamente, la segunda expresión

\[\Delta E=\mathbb{V} \Delta \mathbb{P} \nonumber \]

se puede utilizar para encontrar cambios en la energía en el caso cuando el volumen no es una función fuerte de la presión sobre un elemento pequeño.