12.3: Conversión de Energía Mecánica
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En la sección anterior se resumió cómo se puede aplicar el lenguaje de cálculo de variaciones a los dispositivos de conversión de energía eléctrica y electromagnética. De manera similar, este lenguaje se puede utilizar para describir los procesos de conversión de energía que ocurren en resortes lineales, resortes de torsión, masas móviles y volantes. Podemos convertir energía hacia y desde energía potencial de resorte comprimiendo y liberando un resorte. Del mismo modo, podemos almacenar o liberar energía de una masa en movimiento cambiando su velocidad. Un volante es un dispositivo que almacena energía en una masa giratoria. Los volantes de inercia se utilizan, además de baterías, en algunos vehículos eléctricos e híbridos porque almacenar energía cinética rotacional en un volante requiere menos procesos de conversión de energía que almacenar energía en una batería. Todos estos dispositivos de conversión de energía pueden describirse en el lenguaje de cálculo de variaciones con algún parámetro elegido como ruta generalizada.
Tablas\(\PageIndex{1}\) y\(\PageIndex{2}\) resumen los parámetros resultantes de describir los procesos de conversión de energía mecánica en el lenguaje de cálculo de variaciones. Si bien los sistemas electromagnéticos son descritos por cuatro campos vectoriales, los sistemas mecánicos se describen por ocho posibles campos vectoriales, y se listan junto con sus unidades en la Tabla\(\PageIndex{3}\). Cada columna de Tablas\(\PageIndex{1}\) y\(\PageIndex{2}\) describe el caso de elegir un campo vectorial diferente de Tabla\(\PageIndex{3}\) como la ruta generalizada. Al comparar entre las filas de estas tablas, así como las tablas eléctricas, se pueden hacer comparaciones entre los diferentes procesos de conversión de energía.
| Dispositivo de almacenamiento de energía | Muelle Lineal | Muelle Lineal | Volante | Volante |
|---|---|---|---|---|
| Ruta Generalizada | \(\overrightarrow{F}\)Fuerza en\(\frac{J}{m}\) = N | Desplazamiento\(\overrightarrow{x}\) en m | \(\overrightarrow{\omega_{ang}}\)Angular Velocity in\(\frac{rad}{s}\) | \(\overrightarrow{L_{am}}\)Momentum Angular en\(J \cdot s\) |
| Potencial Generalizado | Desplazamiento\(\overrightarrow{x}\) en m | \(\overrightarrow{F}\)Fuerza en\(\frac{J}{m}\) = N | \(\overrightarrow{L_{am}}\)Momentum Angular en\(J \cdot s\) | \(\overrightarrow{\omega_{ang}}\)Angular Velocity in\(\frac{rad}{s}\) |
| Capacidad Generalizada | \(K\)en\(\frac{J}{m^2}\) | \(\frac{1}{K}\)en\(\frac{m^2}{J}\) | \(\frac{1}{\mathbb{I}}\)en\(\frac{1}{kg \cdot m^2}\) | \(\mathbb{I}\)en\(kg \cdot m^2\) |
| Relación constitutiva | \(\overrightarrow{F} = K \overrightarrow{x}\) | \(\overrightarrow{x} = \frac{1}{K} \overrightarrow{F}\) | \(\overrightarrow{\omega_{ang}} = \frac{1}{\mathbb{I}} \overrightarrow{L_{am}}\) | \(\overrightarrow{L_{am}} = \mathbb{I} \overrightarrow{\omega_{ang}}\) |
| Energía | \(\frac{1}{2} K|\overrightarrow{x}|^2 = \frac{1}{2}\frac{1}{K} |\overrightarrow{F}|^2\) | \(\frac{1}{2}\mathbb{I} |\overrightarrow{\omega_{ang}}|^2 = \frac{1}{2}\frac{1}{\mathbb{I}} |\overrightarrow{L_{am}}|^2\) | ||
| Ley para el potencial | Segunda Ley de Newton\(\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}\) | Segunda Ley de Newton\(\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}\) | Conservación del Momentum Angular | Conservación del Momentum Angular |
En la Sección 11.4, se discutió la conversión de energía en un resorte lineal en el lenguaje de cálculo de variaciones. Ese ejemplo consideró el desplazamiento de una masa puntual\(m\) en kg donde se eligió la trayectoria generalizada para ser desplazamiento\(x\) en m. La ecuación resultante de Euler-Lagrange fue la segunda ley de Newton. La Sección 11.4 concluyó con el Cuadro 11.4.1 resumiendo los parámetros resultantes. La tercera columna de la Tabla\(\PageIndex{1}\) repite esa información.
| Dispositivo de almacenamiento de energía | Masa móvil | Masa móvil | Muelle de Torsión | Muelle de Torsión |
|---|---|---|---|---|
| Ruta Generalizada | \(\overrightarrow{M}\)Momentum en\(\frac{kg \cdot m}{s} = \frac{J \cdot s}{m}\) | \(\overrightarrow{v}\)Velocity en\(\frac{m}{s}\) | \(\overrightarrow{\tau}\)torque en\( \frac{N \cdot m}{\text{rad}} = \frac{J}{\text{rad}}\) | Desplazamiento angular\(\overrightarrow{\theta}\) en radianes |
| Potencial Generalizado | \(\overrightarrow{v}\)Velocity en\(\frac{m}{s}\) | \(\overrightarrow{M}\)Momentum en\(\frac{kg \cdot m}{s} = \frac{J \cdot s}{m}\) | Desplazamiento angular\(\overrightarrow{\theta}\) en radianes | \(\overrightarrow{\tau}\)torque en\( \frac{N \cdot m}{\text{rad}} = \frac{J}{\text{rad}}\) |
| Capacidad Generalizada | \(m\)en kg | \(\frac{1}{m}\)en\(\frac{1}{kg}\) | \(\mathbb{K}\)en\(\frac{J}{\text{rad}^2}\) | \(\frac{1}{\mathbb{K}}\)en\(\frac{\text{rad}^2}{J}\) |
| Relación constitutiva | \(\overrightarrow{M} = m \overrightarrow{v}\) | \(\overrightarrow{v} = \frac{1}{m} \overrightarrow{M}\) | \(\overrightarrow{\tau} = \mathbb{K} \overrightarrow{\theta}\) | \(\overrightarrow{\theta} = \frac{1}{\mathbb{K}} \overrightarrow{\tau}\) |
| Energía | \(\frac{1}{2}m|\overrightarrow{v}|^2 = \frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{M}|^2}{m}\) | \(\frac{1}{2}m|\overrightarrow{v}|^2 = \frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{M}|^2}{m}\) | \(\frac{1}{2}\mathbb{K}|\overrightarrow{\theta}|^2 = \frac{1}{2}\mathbb{K}|\overrightarrow{\tau}|^2\) | \(\frac{1}{2}\mathbb{K}|\overrightarrow{\theta}|^2 = \frac{1}{2}\mathbb{K}|\overrightarrow{\tau}|^2\) |
| Ley para el potencial | Conservación del Momentum | Conservación del Momentum | Conservación de Torque | Conservación de Torque |
A menudo se supone que los dispositivos de circuito son puntuales, mientras que las propiedades electromagnéticas de los materiales, como la permitividad y la permeabilidad, se especifican como funciones de posición. Del mismo modo, los dispositivos mecánicos pueden ser tratados como puntitos o como funciones de posición. Por ejemplo, la masa se usa para describir un dispositivo similar a un punto mientras que la densidad se usa para describir un dispositivo que varía con la posición. Los investigadores que estudian aerodinámica y dinámica de fluidos suelen preferir esta última descripción. Sin embargo, en las Tablas\(\PageIndex{1}\) y\(\PageIndex{2}\),\(m\) se asumen dispositivos puntuales de masa. Las ideas en estas tablas pueden generalizarse a situaciones en las que los dispositivos de conversión de energía no son tratados como puntiagudos y en cambio las propiedades de masa y otros materiales varían con la posición.
| Símbolo | Cantidad | Unidades |
|---|---|---|
| \(\overrightarrow{F}\) | Fuerza | N |
| \(\overrightarrow{M}\) | Momentum | \(\frac{kg \cdot m}{s}\) |
| \(\vec{v}\) | Velocity | \(\frac{m}{s}\) |
| \(\overrightarrow{x}\) | Desplazamiento posicional | m |
| \(\overrightarrow{L_{am}}\) | Momento angular | \(J \cdot s\) |
| \(\overrightarrow{\theta}\) | Vector de desplazamiento angular | rad |
| \(\overrightarrow{\tau}\) | Torque | \(N \cdot m\) |
| \(\overrightarrow{\omega_{ang}}\) | Velocidad angular | \(\frac{rad}{s}\) |
Los campos vectoriales listados en Table\(\PageIndex{3}\) están relacionados por relaciones constitutivas:
\[\overrightarrow{M} = m \overrightarrow{v} \label{12.3.1} \]
\[\overrightarrow{F} = K \overrightarrow{x} \label{12.3.2} \]
\[\overrightarrow{\tau} = \mathbb{K} \overrightarrow{\theta} \label{12.3.3} \]
\[\overrightarrow{L_{am}} = \mathbb{I} \overrightarrow{\omega_{ang}} \label{12.3.4} \]
La ecuación\ ref {12.3.2} se conoce más familiarmente como ley de Hooke. Por analogía a la capacitancia de la Ecuación 12.2.1, los coeficientes en estas ecuaciones se denominan en Tablas\(\PageIndex{1}\) y\(\PageIndex{2}\) como capacidad generalizada, y representan la capacidad de almacenar energía en el dispositivo. La constante\(m\) en la Ecuación\ ref {12.3.1} es la masa en kg. La constante\(K\) en la Ecuación\ ref {12.3.2} es constante de resorte en\(\frac{J}{m^2}\). La constante\(\mathbb{K}\) en la Ecuación\ ref {12.3.3} es la constante de resorte de torsión en\(\frac{J}{\text{radians}^2}\). La constante\(\mathbb{I}\) en la Ecuación\ ref {12.3.4} es momento de inercia en unidades\(kg \cdot m^2\). Una masa puntual que gira alrededor del origen tiene un momento de inercia\(\mathbb{I} = m|\overrightarrow{r}|^2\) donde\(|\overrightarrow{r}|\) está la distancia de la masa al origen. Una forma sólida tiene momento de inercia
\[\mathbb{I}=\int d \mathbb{I}=\int_{0}^{m}|\overrightarrow{r}|^{2} d m \nonumber \]
Curiosamente, existe una estrecha relación entre las cantidades en las Tablas 12.2.3 y\(\PageIndex{2}\). Las ecuaciones de Maxwell, introducidas por primera vez en la Sección 1.6.1, relacionan los cuatro parámetros del campo electromagnético. Suponiendo que no hay fuentes\(\rho_{ch} = 0\),\(\overrightarrow{J} = 0\) y, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir:
\[\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E} =-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{H} =-\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t} \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{D} =0 \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{B} =0 \nonumber \]
Las dos últimas relaciones, las leyes de Gauss, resultan directamente del uso del cálculo de variaciones para establecer la ecuación de Euler-Lagrange y resolver la ecuación de movimiento correspondiente. Podemos reemplazar los campos vectoriales electromagnéticos en la versión libre de fuentes de las ecuaciones de Maxwell por campos mecánicos según la transformación:
\[\overrightarrow{D} \rightarrow \overrightarrow{M} \nonumber \]
\[\overrightarrow{E} \rightarrow \overrightarrow{v} \nonumber \]
\[\overrightarrow{B} \rightarrow \overrightarrow{\tau} \nonumber \]
\[\overrightarrow{H} \rightarrow \overrightarrow{\theta} \nonumber \]
La transformación de las Ecuaciones 12.3.10 - 12.3.13 conduce a un conjunto de ecuaciones que describen con precisión las relaciones entre estos campos mecánicos.
\[\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{v} =-\frac{\partial \overrightarrow{\theta}}{\partial t} \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{\tau} =-\frac{\partial \overrightarrow{M}}{\partial t} \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{M} =0 \nonumber \]
\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\theta} =0 \nonumber \]
Las últimas filas de Tablas\(\PageIndex{1}\) y\(\PageIndex{2}\) listan la relación que resulta cuando se describe un dispositivo de conversión de energía en el lenguaje de cálculo de variaciones, se configura la ecuación de Euler-Lagrange y se resuelve la ecuación de EulerlaGrange para la ecuación de movimiento. Las leyes que resultan, la segunda ley de Newton, la conservación del momento, la conservación del momento angular y la conservación del par, son ideas fundamentales de la mecánica.