12.5: Conversión Química de Energía

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Las baterías y las pilas de combustible almacenan energía en los enlaces químicos de los átomos. Estos dispositivos fueron estudiados en el Capítulo 9. En la tabla se\(\PageIndex{1}\) detalla cómo describir la física de estos dispositivos de almacenamiento de energía química utilizando el lenguaje de cálculo de variaciones.

A veces los químicos discuten sistemas macroscópicos y describen la distribución de carga en un material por densidad de carga\(\rho_{ch}\) en unidades\(\frac{C}{m^3}\). En otros casos, los químicos estudian sistemas microscópicos, donde están más interesados en el número de electrones\(N\) y la distribución de estos electrones alrededor de un átomo. La segunda y tercera columnas de Table\(\PageIndex{1}\) especifican cómo describir los sistemas macroscópicos en el lenguaje de cálculo de variaciones mientras que las dos últimas columnas especifican cómo describir los sistemas microscópicos.

En la segunda columna de la Tabla\(\PageIndex{1}\), la ruta generalizada es\(\rho_{ch}\) y el potencial generalizado es el potencial redox\(V_{rp}\) en voltios. Existe una estrecha relación entre la elección de las variables especificadas en la segunda columna de Table\(\PageIndex{1}\) y las elecciones especificadas en las segundas columnas de la Tabla 12.2.1 y 12.2.3. Más específicamente, la trayectoria generalizada descrita en la segunda columna del Cuadro 12.2.1 es la carga\(Q\) en culombios, donde la carga es la integral de la densidad de carga con respecto al volumen.

\[Q=\int \rho_{c h} d \mathbb{V} \nonumber \]

La trayectoria generalizada descrita en la segunda columna del Cuadro 12.2.3 es la densidad de flujo de desplazamiento\(\overrightarrow{D}\) en unidades\(\frac{C}{m^2}\). En la tercera columna de Tabla\(\PageIndex{1}\), se hace la elección opuesta\(V_{rp}\) para el camino generalizado y\(\rho_{ch}\) para el potencial generalizado. En el Capítulo 13, consideramos un problema de cálculo de variaciones con esta elección de variables con más detalle para resolver para la densidad de electrones alrededor de un átomo.

Otra forma de aplicar el lenguaje del cálculo de las variaciones a los sistemas de almacenamiento de energía química es elegir el número de electrones\(N\) como ruta generalizada y el potencial químico\(\mu_{chem}\) como el potencial generalizado [172]. Esta situación se describe en la cuarta columna de la Tabla\(\PageIndex{1}\). En cambio, podríamos elegir\(\mu_{chem}\) como el camino generalizado y\(N\) como el potencial generalizado, y esta situación se detalla en la última columna de la Tabla\(\PageIndex{1}\). Referencia [172] detalles usando cálculo de variaciones con esta elección de variables. El potencial químico también se conoce como la energía de Fermi a\(T = 0\) K, y se discutió en las Secciones 6.2 y 9.2.3. Representa el promedio entre los niveles de energía ocupados más altos y los más bajos desocupados. La cantidad\(E_g\), que aparece en la cuarta fila de la tabla, es la brecha energética en julios.

Cuadro\(\PageIndex{1}\): Describiendo los sistemas químicos en el lenguaje de cálculo de variaciones.
Dispositivo de almacenamiento de energía	Batería, pila de combustible	Batería, pila de combustible	Batería, pila de combustible, enlaces químicos de un átomo	Batería, pila de combustible, enlaces químicos de un átomo
Ruta Generalizada	Densidad de carga\(\rho_{ch}\) en\(\frac{C}{m^3}\)	Potencial redox (voltaje)\(V_{rp}\) en voltios	Número de electrones\(N\)	Potencial químico\(\mu_{chem}\) en\(\frac{J}{\text{atom}}\)
Potencial Generalizado	Potencial redox (voltaje)\(V_{rp}\) en voltios	Densidad de carga\(\rho_{ch}\) en\(\frac{C}{m^3}\)	Potencial químico\(\mu_{chem}\) en\(\frac{J}{\text{atom}}\)	Número de electrones\(N\)
Capacidad Generalizada	Capacitancia\(C\) en faradios	\(\frac{1}{C}\)	Inversa de brecha de energía\(\frac{1}{E_g} = \frac{\partial N}{\partial \mu_{chem}}\)	Brecha energética\(E_g = \frac{\partial \mu_{chem}} {\partial N}\) en J
Relación constitutiva	\(\int \rho_{c h} d \mathbb{V} = CV_{rp}\)	\(V_{rp} = \frac{1}{C} \int \rho_{c h} d \mathbb{V} \)	\(\Delta N = \frac{1}{E_{g}} \Delta \mu_{c h e m}\)	\(\Delta \mu_{c h e m} = E_{g} \Delta N\)
Energía	\(\int_{\mathbb{V}} \rho_{c h} V_{r p} d \mathbb{V}\)	\(\int_{\mathbb{V}} \rho_{c h} V_{r p} d \mathbb{V}\)	\(N \mu_{chem}\)	\(N \mu_{chem}\)
Ley para el potencial	Nernst eq. (KVL)	Conservación de Carga	Nernst eq. (KVL)	Conservación de Carga
Esta columna asume	ninguna variación en\(\theta\) o\(\phi\)	ninguna variación en\(\theta\) o\(\phi\)	ninguna variación en\(\theta\) o\(\phi\)	ninguna variación en\(\theta\) o\(\phi\)