8.2.4: Restricciones

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 82530

Paul Penfield, Jr.
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Es una propiedad de la fórmula de entropía anterior que tiene su valor máximo cuando todas las probabilidades son iguales (suponemos que el número de estados posibles es finito). Esta propiedad se prueba fácilmente utilizando la desigualdad de Gibbs. Si no tenemos información adicional sobre el sistema, entonces tal resultado parece razonable. Sin embargo, si tenemos información adicional entonces deberíamos poder encontrar una distribución de probabilidad que sea mejor en el sentido de que tenga menos incertidumbre.

Por simplicidad consideramos solo una de esas restricciones, es decir, que conocemos el valor esperado de alguna cantidad (el Principio de Entropía Máxima puede manejar múltiples restricciones pero los procedimientos matemáticos y fórmulas se vuelven más complicados). La cantidad en cuestión es aquella para la cual cada uno de los estados del sistema tiene su propia cantidad, y el valor esperado se encuentra promediando los valores correspondientes a cada uno de los estados, tomando en cuenta las probabilidades de esos estados. Así, si existe un atributo para el cual cada uno de los estados tiene un valor$g(A_i)$ y para el cual conocemos el valor real$G$, entonces debemos considerar solo aquellas distribuciones de probabilidad para las que el valor esperado es igual a$G$

$G = \displaystyle \sum_{i} p(A_i)g(A_i) \tag{8.15}$

Tenga en cuenta que esta restricción no se puede lograr si$G$ es menor que la más pequeña$g(A_i)$ o mayor que la más grande$g(A_i)$.

Para nuestro ejemplo de Burgers de Berger, supongamos que nos dicen que el precio promedio de una comida es de $1.75, y queremos estimar las probabilidades separadas de las diversas comidas sin hacer ningún otro supuesto. Entonces nuestra restricción sería

$$1.75 = $1.00p(B) + $2.00p(C) + $3.00p(F) \tag{8.16}$

Obsérvese que las probabilidades son adimensionales y así tanto el valor esperado de la restricción como los valores individuales deben expresarse en las mismas unidades, en este caso dólares.