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9.1.2: Modelo de dipolo magnético

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    Una matriz de dipolos magnéticos (pensarlos como pequeños imanes) están sujetos a un campo magnético aplicado externamente\(H\) y por lo tanto la energía del sistema depende de sus orientaciones y del campo aplicado. Por simplicidad nuestro sistema contiene solo uno de esos dipolos, que de vez en cuando es capaz de intercambiar información y energía con cualquiera de dos entornos, que son colecciones mucho más grandes de dipolos. Cada

    Artículo Entree Costo Calorías Probabilidad de llegar caliente Probabilidad de llegar frío
    Comida 1 Hamburguesa $1.00 1000 0.5 0.5
    Comida 2 Pollo $2.00 600 0.8 0.2
    Comida 3 Pescados $3.00 400 0.9 0.1
    Comida 4 Tofu $4.00 200 0.6 0.4
    Tabla 9.1: Hamburguesas de Berger
    Screen Shot 2021-05-21 a las 12.27.46 AM.png
    Figura 9.1: Ejemplo de momento dipolo. (Cada dipolo puede ser hacia arriba o hacia abajo).

    dipolo, tanto en el sistema como en sus dos ambientes, puede ser “arriba” o “abajo”. El sistema tiene un dipolo por lo que sólo tiene dos estados, correspondientes a los dos estados para ese dipolo, “arriba” y “abajo” (si el sistema tuviera n dipolos tendría 2\(^n\) estados). La energía de cada dipolo es proporcional al campo aplicado y depende de su orientación; la energía del sistema es la suma de las energías de todos los dipolos del sistema, en nuestro caso sólo uno de ellos.

    Estado Alineación Energía
    U arriba \(-m_dH\)
    D abajo \(m_dH\)
    Cuadro 9.2: Momentos de dipolo magnético

    La constante\(m_d\) se expresa en Julios por Tesla, y su valor depende de la física del dipolo particular. Por ejemplo, los dipolos podrían ser espines de electrones, en cuyo caso\(m_d = 2µ_Bµ_0\) donde\(µ_0 = 4\pi × 10^{−7}\) henries por metro (en unidades MKS racionalizadas) es la permeabilidad del espacio libre,\(µ_B = \hbar e/2m_e = 9.272×10^{−24}\) Julios por Tesla es el magnetón de Bohr, y donde\(\hbar = h/2\pi, h = 6.626 × 10^{−34}\) Julio-segundos es la constante de Plank,\(e = 1.602 × 10^{−19}\) culombios es el magnitud de la carga de un electrón, y\(m_e = 9.109 × 10^{−31}\) kilogramos es la masa restante de un electrón.

    En la Figura 9.1, el sistema se muestra entre dos ambientes, y existen barreras entre los ambientes y el sistema (representados por líneas verticales) que impiden la interacción (posteriormente eliminaremos las barreras para permitir la interacción). Los dipolos, tanto en el sistema como en los entornos, están representados por el símbolo\(\otimes\) y pueden ser spin-up o spin-down. El campo magnético mostrado se aplica solo al sistema, no a los ambientes.

    La virtud de un modelo con un solo dipolo es que es lo suficientemente simple como para que los cálculos se puedan llevar a cabo con facilidad. Dicho modelo es, por supuesto, irremediablemente simplista y no se puede esperar que conduzca a resultados numéricamente precisos. Un modelo más realista requeriría tantos dipolos y tantos estados que nunca se podrían hacer cálculos prácticos sobre la colección. Por ejemplo, un mol de un elemento químico es una cantidad pequeña para los estándares cotidianos, pero contiene el número\(N_A = 6.02252 × 10^{23}\) de átomos de Avogadro, y un número correspondientemente grande de espines electrónicos; el número de estados posibles sería de 2 elevados a esa potencia. Justo lo grande que es este número se puede apreciar al señalar que la tierra no contiene más de 2\(^{170}\) átomos, y el universo visible tiene alrededor de 2\(^{265}\) átomos; ambos números son mucho menores que el número de estados en ese modelo. Aunque seamos menos ambiciosos y queramos calcular con una muestra mucho más pequeña, digamos 200 giros, y queremos representar en nuestra computadora la probabilidad de cada estado (usando solo 8 bits por estado), todavía necesitaríamos más bytes de memoria que átomos en la tierra. Claramente es imposible calcular con tantos estados, por lo que las técnicas descritas en estas notas no se pueden llevar a cabo en detalle. Sin embargo, hay ciertas conclusiones y relaciones generales que podremos establecer.


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