9.6.2: Fórmula de probabilidad

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Paul Penfield, Jr.
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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La distribución de probabilidad que\(p(A_i)\) queremos ha sido derivada por otros. Es una función de la variable dual\(\beta\):

\(p(A_i) = 2^{-\alpha} 2^{-\beta g(A_i)} \tag{9.12}\)

lo que implica

\(\log_2 \Big(\dfrac{1}{p(A_i)} \Big) = \alpha + \beta g(A_i) \tag{9.13}\)

donde\(\alpha\) es una abreviatura conveniente\(^2\) para esta función de\(\beta\):

\(\alpha = \log_2 \Big( \displaystyle \sum_{i} 2^{-\beta g(A_i)} \Big) \tag{9.14}\)

Tenga en cuenta que esta fórmula para\(\alpha\) garantiza que los\(p(A_i)\) de la Ecuación 9.12 suman 1 como lo requiere la Ecuación 9.8.

Si\(\beta\) se conoce, se\(p(A_i)\) puede encontrar la función\(\alpha\) y las probabilidades y, si se desea, la entropía\(S\) y la variable de restricción\(G\). De hecho, si\(S\) es necesario, se puede calcular directamente, sin evaluar el\(p(A_i)\) —esto es útil si hay docenas o más probabilidades que enfrentar. Este atajo se encuentra multiplicando la Ecuación 9.13 por\(p(A_i)\), y sumando\(i\). El lado izquierdo es\(S\) y el lado derecho simplifica porque\(\alpha\) y\(\beta\) son independientes de\(i\). El resultado es

\(S = \alpha + \beta G \tag{9.15}\)

donde\(S\),\(\alpha\), y\(G\) son todas funciones de\(\beta\).

\(^2\)The function \(\alpha(\beta)\) is related to the partition function \(Z(\beta)\) of statistical physics: \(Z = 2^{\alpha}\) or \(\alpha = \log_2 Z\).