9.6.4: Evaluación de la Variable Dual
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Hasta el momento estamos considerando que la variable\(\beta\) dual es una variable independiente. Si empezamos con un valor conocido\(\widetilde{G}\), queremos utilizar\(G\) como variable independiente y calcular\(\beta\) en términos de ello. En otras palabras, necesitamos invertir la función\(G(\beta)\), o encontrar\(\beta\) tal que la Ecuación 9.9 esté satisfecha.
Esta tarea no es trivial; de hecho, la mayor parte de la dificultad computacional asociada al Principio de Entropía Máxima radica en este paso. Si hay un número modesto de estados y sólo una restricción además de la ecuación que implica la suma de las probabilidades, este paso no es duro, como veremos. Si hay más restricciones este paso se vuelve cada vez más complicado, y si hay una gran cantidad de estados no se pueden hacer los cálculos. En el caso de modelos más realistas para sistemas físicos, esta suma es imposible de calcular, aunque las relaciones generales entre las cantidades distintas a las que\(p(A_i)\) siguen siendo válidas.
Para encontrar\(\beta\), comience con la Ecuación 9.12 para\(p(A_i)\), multiplíquelo por\(g(A_i)\) y por\(2^{\alpha}\), y sume sobre las probabilidades. El lado izquierdo se vuelve\(G(\beta)2^{\alpha}\), porque ni\(\alpha\) ni\(G(\beta)\) depende de\(i\). Ya tenemos una expresión para\(\alpha\) en términos de\(\beta\) (Ecuación 9.14), por lo que el lado izquierdo se vuelve\(\sum_{i} G(\beta)2^{−\beta g(A_i)}\). El\(i\) lado derecho se vuelve\(\sum_i g(A_i)2^{−\beta g(A_i)}\). Por lo tanto,
Si esta ecuación se multiplica por\(2^{\beta G(\beta)}\), el resultado es
\(0 = f(\beta) \tag{9.22}\)
donde está la\(f(\beta)\) función