13.6.1: Kets, Sujetadores, Soportes y Operadores

Kets, sujetadores, corchetes y operadores son los ladrillos de construcción de notación de brackets, que es la notación más utilizada para sistemas mecánicos cuánticos. Se pueden considerar como vectores de columna, vectores de fila, productos de puntos y matrices respectivamente.

\(| Ket \rangle\)

Un ket es solo un vector de columna compuesto por números complejos. Se representa como:

\ (|k\ rangle=\ left (\ begin {array} {l}
k_ {1}\\
k_ {2}
\ end {array}\ right) =\ overrightarrow {k}. \ tag {13.5}\)

El símbolo\(k\) dentro del ket\(| k \rangle\) es la etiqueta mediante la cual identificamos este vector. Los dos kets\(| 0\rangle\) y\(| 1\rangle\) se utilizan para representar los dos estados lógicos de qubits, y tienen una representación vectorial estándar

\ [
|0\ rangle=\ left (\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right)\ quad|1\ rangle=\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ right). \ tag {13.6}
\ nonumber\]

Recordemos de la Ecuación 13.1 que la superposición de dos estados cuánticos\(\psi_0\) y\(\psi_1\) es

\(\psi = \alpha \psi_0 + \beta \psi_1 \tag{13.7}\)

donde\(\alpha\) y\(\beta\) son números complejos. En notación entre corchetes, esta superposición de\(| 0\rangle\) y\(| 1\rangle\) puede escribirse como

\ [
\ begin {align*}
|\ psi\ rangle &=\ alpha|0\ rangle+\ beta|1\ rangle\ tag {13.8}\\
&=\ alpha\ left (\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right) +\ beta\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ right)\ tag {13.9}\\
&=\ left (\ begin {array} {c}
\ alpha\
\ beta
\ end {array}\ right)\ tag {13.10}
\ end {align*}
\ nonumber\]

\(\langle Bra |\)

Los sujetadores son los conjugados hermitianos de los kets. Es decir, para un ket dado, el sujetador correspondiente es un vector de fila (la transposición de un ket), donde los elementos han sido conjugados complejos. Por ejemplo, el qubit de 13.10 tiene un sujetador correspondiente\(\langle \psi |\) que resulta de tomar el conjugado hermitiano de la ecuación 13.10

\ begin {alinear*}
(|\ psi\ rangle) ^ {\ daga} & =(\ alfa|0\ rangle+\ beta|1\ rangle) ^ {\ daga}\ tag {13.11}\\
&=\ alfa^ {*} (|0\ rangle) ^ {\ daga} +\ beta^ {*} (|1\ rangle) ^ {\ rangle) ^ {\ ger}\ tag {13.12}\\
&=\ alpha^ {*}\ left (\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right) ^ {\ daga} +\ beta^ {*}\ izquierda (\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ derecha) ^ {\ daga}\ tag {13.13}\\
&=\ alpha^ {*}\ left (\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ right) +\ beta^ {*}\ left (\ begin { array} {ll}
0 & 1
\ end {array}\ derecha)\ tag {13.14}\\
&=\ left (\ begin {array} {ll}
\ alpha^ {*} &\ beta^ {*}\ tag {13.15}\ end {array}
\ right)\ end {array}
\ end {align*}

El símbolo\(\dagger\) se utiliza para representar la operación de conjugación hermitiana de un vector o una matriz. \(^2\)La estrella (*) es la notación convencional para el conjugado de un número complejo:\((a + i b)* = a − i b\) si\(a\) y\(b\) son números reales.

\(\langle Bra | Ket \rangle\)

El producto punto es el producto de un sujetador (vector de fila)\(\langle q |\), por un ket (vector de columna)\(| k\rangle\), se llama corchete y se denota\(\langle q | k\rangle\), y es justo lo que esperarías del álgebra lineal

\ [\ langle q\ mid k\ rangle=\ left (\ begin {array} {ll}
q_ {1} ^ {*} & q_ {2} ^ {*}
\ end {array}\ right)\ times\ left (\ begin {array} {l}
k_ {1}\
k_ {2}
\ end {array}\ right) =\ sum_ {j} q_ {j} ^ {*} k_ {j}. \ tag {13.16}\]

Tenga en cuenta que el resultado de\(\langle q | k\rangle \) es un número complejo.

Los soportes nos permiten introducir una propiedad muy importante de kets. Siempre se supone que los Kets están normalizados, lo que significa que el producto puntual de un ket por sí mismo es igual a 1. Esto implica que al menos uno de los elementos en el vector de columna del ket debe ser distinto de cero. Por ejemplo, el producto punto de un qubit arbitrario\((| \psi \rangle\)) por sí mismo,\(\rangle \psi | \psi \rangle\) = 1, entonces

\ begin {alinear*}
\ langle\ psi\ mid\ psi\ rangle &=\ izquierda (\ alfa ^ {*}\ izquierda\ langle0\ izquierda|+\ beta^ {*}\ langle 1|\ derecha)\ cdot (\ alpha|0\ rangle+\ beta|1\ rangle)\ derecha. \ derecho. \\
&=\ alfa^ {*}\ alfa\ langle 0\ mid 0\ rangle+\ beta^ {*}\ alfa\ langle 1\ mid 0\ rangle\ alpha^ {*}\ beta\ langle 0\ mid 1\ rangle+\ beta^ {*}\ beta\ langle 1\ mid 1\ rangle\\
&=\ alpha^ {*}\ alpha+\ beta^ {*}\ beta\\
&=|\ alfa|^ {2} +|\ beta|^ {2} =1\ tag {13.17}
\ end {align*}

Este es precisamente el resultado que postulamos cuando introdujimos el qubit como superposición de funciones de onda. En el Capítulo 10, vimos que el producto de una función de onda por su complejo conjugado es una distribución de probabilidad y debe integrarse a uno. Este requisito es completamente análogo a exigir que un ket sea normalizado. \(^3\)

El producto punto se puede utilizar para calcular la probabilidad de que un qubit esté en cualquiera de los estados posibles\(| 0\rangle\) y\(| 1\rangle\). Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que el resultado de una medición en el qubit\(| \psi \rangle\) sea estado\(| 0\rangle\), simplemente tomamos el producto punto de\(| 0\rangle\) y\(| \psi\rangle\) y cuadráquemos el resultado

\ begin {align*}
\ operatorname {Pr} (|0\ rangle) &=|\ langle 0\ mid\ psi\ rangle|^ {2}\\
&=|\ alpha\ langle 0\ mid 0\ rangle+\ beta\ langle 0\ mid 1\ rangle|^ {2}\\
&=\ izquierda|\ alpha_ {1} +\ beta_ {0}\ derecha|^ {2}\\
&=|\ alfa|^ {2}\ tag {13.18}
\ end {align*}

\(\widehat{Operators}\)

Los operadores son objetos que transforman un ket\(| k\rangle\) en otro ket\(| q\rangle\). Los operadores están representados con sombreros:\(\hat{O}\). De nuestra definición de ket se deduce que un operador es solo una matriz,

\ begin {align*}
\ anchohat {O} |k\ rangle &=\ left (\ begin {array} {ll}
o_ {11} & o_ {12}\\
o_ {21} & o_ {22}
\ end {array}\ right)\ times\ left (\ begin {array} {l}
k_ {1}\\
k_ {2}
\ end {array} derecha)\\
&=\ left (\ begin {array} {l}
q_ {1}\\
q_ {2}
\ end {array}\ right)\\
&=|q\ rangle\ tag {13.19}
\ end {align*}

Los operadores actúan sobre los sujetadores de manera similar

\(\langle k| \widehat{O}^\dagger = \langle q | \tag{13.20}\)

Las ecuaciones 13.19 y 13.20 y el requisito de que los kets sean normalizados nos permiten derivar una propiedad importante de los operadores. Multiplicando ambas ecuaciones obtenemos

\ begin {alinear*}
\ langle k|\ sombrero amplio {O} ^ {\ daga}\ sombrero amplio {O} | k\ rangle &=\ langle q\ mid q\ rangle\ tag {13.21}\
\ langle k|\ sombrero amplio {O} ^ {\ daga}\ sombrero amplio {O} | k\ rangle &=1,\ tag {13.22}
\ fin alinear*}

la segunda línea se desprende de asumir que\(\widehat{O}\) preserva la normalización del ket, y puesto que\(\langle k | k\rangle\) = 1, implica que\(\widehat{O}^{\dagger} \widehat{O} = \mathbb{I}\). Se dice que los operadores que tienen esta propiedad son unitarios, y su inverso es igual a su anexo. Todos los operadores mecánicos cuánticos deben ser unitarios, o bien, la normalización de la distribución de probabilidad no sería preservada por las transformaciones del ket. Obsérvese que este es exactamente el mismo razonamiento que empleamos para exigir que la evolución temporal sea unitaria en el Capítulo 10. Desde el punto de vista físico, la unitariedad significa que hacer y luego deshacer la operación definida por\(\widehat{O}\) debería dejarnos con lo mismo que teníamos en origen (Obsérvese la similitud con la definición de reversibilidad).

Hay una manera fácil de construir un operador si conocemos los kets de entrada y salida. Podemos usar el producto exterior, es decir, el producto de un vector de columna por un vector de fila (el producto punto a menudo también se llama producto interior o interior, de ahí el nombre de producto exterior). Podemos construir el operador\(\widehat{O}\) usando el producto exterior de un ket por un sujetador

\[\widehat{O}|k\rangle=(|q\rangle\langle k|)\;|k\rangle=|q\rangle\langle k \mid k\rangle=|q\rangle \tag{13.23} \]

señalar que esto no sería posible si los kets no se normalizaran a 1; otra forma de decirlo es que la normalización del ket hace cumplir que los operadores construidos de esta manera son unitarios.

Por ejemplo, para transformar un qubit en el estado\(| 0\rangle\) en el qubit en el estado\(| \psi \rangle\) definido anteriormente, construimos el operador

\[\widehat{O}_{2}=\alpha \;|\;0\rangle\langle 0\;|+\beta| \;1\rangle\langle 0\;| \tag{13.24} \]

podemos verificar que este operador produce el resultado esperado

\ begin {alinear*}
\ sombrero amplio {O} _ {2} |\; 0\ rangle &=\ alpha\; |\; 0\ rangle\ langle 0\ mid 0\ rangle+\ beta\; |\; 1\ rangle\ langle 0\ mid 0\ rangle\\
amp; &=\ alpha\; |\; 0\ rangle 1+\ beta\; |\; 1\ ángulo 1\\
&=\ alfa\; |\; 0\ alcance+\ beta\; |\; 1\ rangle\\
&=|\;\ psi\ rangle\ tag {13.25}
\ end {align*}

¡acabamos de realizar nuestro primer cálculo cuántico!

En los libros de mecánica cuántica es costumbre dejar caer el sombrero de los operadores\((\widehat{O} → O)\) para “simplificar la notación”. Muchas veces a nivel introductorio (y también avanzado), esta simplificación provoca confusión entre operadores y escalares; en estas notas intentaremos evitar hacerlo.

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\(^2\)This operation is known by several different names, including “complex transpose” and “adjoint.”

\({ }^{3}\) It may not be immediately obvious that \(\int \Psi^{*} \Psi d x\) is a dot product. To see that it is, discretize the integral \(\int \Psi^{*} \Psi d x \rightarrow\) \(\sum_{i} \Psi_{i}^{*} \Psi_{i}\) and compare to the definition of dot product. You may argue that in doing so we have transformed a function \(\Psi\) into a vector with elements \(\Psi_{i} ;\) but we defined a ket as a vector to relate it to linear algebra. If the ket were to represent a function, then the appropriate definition of the dot product would be \(\langle\Phi \mid \Psi\rangle=\int \Phi^{*} \Psi d x\).