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13.6.2: Productos tensores - Sistemas compuestos

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La notación que hemos introducido hasta ahora trata de sistemas de qubit único. Sin embargo, es deseable tener una notación que permita describir sistemas compuestos, es decir, sistemas de múltiples qubits. Una situación similar surge en la teoría de conjuntos cuando tenemos dos conjuntos\(A\)\(B\) y y queremos considerarlos como un todo. En la teoría de conjuntos para formar el conjunto conjunto utilizamos el producto cartesiano\(A×B\) para representar el conjunto de los dos conjuntos. El análogo en álgebra lineal se llama producto tensor y está representado por el símbolo\(\otimes\). Se aplica igualmente a vectores y matrices (es decir, kets y operadores).

    Desde un punto de vista práctico, el producto tensor concatena sistemas físicos. Por ejemplo, un sistema de dos partículas se representaría como\(|\; particle \;1\rangle \otimes |\; particle \;2\rangle\), y la carga y el giro de una partícula estarían representados también por el producto tensor\(|\; charge\rangle \otimes |\; spin\rangle\). Si tenemos dos qubits\(|\; \psi \rangle\) y\(|\; \phi \rangle\), el sistema compuesto por estos dos qubits está representado por\(|\; \psi \rangle \otimes |\; \phi \rangle\).

    Aunque comparten un objetivo similar, el producto cartesiano y tensor difieren en la forma en que los elementos del conjunto se construyen a partir de las partes. El producto cartesiano produce tuplas. Entonces si\(A\) y\(B\) son dos conjuntos de números, un elemento de su producto cartesiano\(A × B\) es un par de números\((a, b)\) tal que\(a\) pertenece\(A\) y\(b\) pertenece a\(B\). Se trata de una simple concatenación.

    Los elementos de un producto tensor se obtienen de las partes constituyentes de una manera ligeramente diferente. Por ejemplo, considere dos\(2×2 matrices\)

    \ [\ mathbb {A} =\ left (\ begin {array} {ll}
    a & b\\
    c & d
    \ end {array}\ right)\ quad\ mathbb {B} =\ left (\ begin {array} {ll}
    \ alpha &\ beta\
    \ gamma &\ delta
    \ end {array}\ derecha)\ tag {13.26}\]

    el producto tensor produce un\(4×4 matrix\)

    \ [\ mathbb {A}\ otimes\ mathbb {B} =\ left (\ begin {array} {cccc}
    a\ alfa & a\ beta & b\ alfa & b\ beta\\ a\
    gamma & a\ delta & b\ gamma & b\ delta\\
    c\ alfa & c\ beta & d\ alfa & d\ beta\\ beta\\
    c\ gamma & c\ delta & d\ gamma y d\ delta
    \ end {array}\ derecha)\ tag {13.27}\]

    Aunque no sea obvio a primera vista, esta forma de construir el producto tensor es consistente con la forma en que hacemos la multiplicación matricial. Como operación, tiene una característica muy interesante, emite matrices 4×4 de matrices 2×2, pero no todas las matrices 4×4 se pueden generar de esta manera (para el lector matemáticamente inclinado, la operación del producto tensor no es suryectiva, o “on”), es esta característica del producto tensor la que motivará la discusión sobre el enredo, probablemente el rasgo más peculiar de la mecánica cuántica.

    Deberías tomarte un tiempo para acostumbrarte al producto tensor, y asegurarte de no confundirte con todos los diferentes productos que hemos introducido en las dos últimas secciones.

    1. el producto puntual (\(\langle k | q\rangle\)) produce un número complejo;
    2. el producto exterior (\(|\; k\rangle \langle q \;|\)) produce una matriz cuadrada de la misma dimensión que el Ket;
    3. El producto tensor (\(|\; k\rangle \otimes |\; q\rangle\)) se utiliza para examinar sistemas compuestos. Se produce un vector (o matriz) de una dimensión igual a la suma de las dimensiones de los dos kets (o matrices) en el producto.

    Producto tensor en notación de corchetes

    Como mencionamos anteriormente, el tensor producto de dos qubits\(|\; q_1\rangle\) y\(|\; q_2\rangle\) se representa como\(|\; q_1\rangle \otimes |\; q_1\rangle\). A veces la notación es abreviada y las siguientes cuatro representaciones del producto tensor se hacen equivalentes

    \[\left|\;q_{1}\right\rangle \otimes\left|\;q_{2}\right\rangle \equiv\left|\;q_{1}\right\rangle\left|\;q_{2}\right\rangle \equiv\left|\;q_{1}, q_{2}\right\rangle \equiv\left|\;q_{1} q_{2}\right\rangle \tag{13.28} \]

    Para n qubits, es frecuente abreviar la notación dando a cada qubit\(|\; q\rangle\) un índice:

    \[\left|\;q_{1}\right\rangle \otimes\left|\;q_{2}\right\rangle \otimes \ldots \otimes\left|\;q_{n}\right\rangle=\bigotimes_{j=1}^{n}\left|\;q_{j}\right\rangle \tag{13.29} \]

    El doble de un producto tensor de kets es el producto tensor de los sujetadores correspondientes. Esto implica que en las notaciones abreviadas, la compleja operación conjugada convierte los kets en sujetadores, pero las etiquetas conservan su orden

    \ begin {align*}
    \ left (\ left (\ left |\; q_ {1} q_ {2}\ right\ rangle\ right) ^ {\ dagger} &=\ left (\ left (\ left |\; q_ {1}\ right\ rangle\ otimes\ left |\; q_ {2}\ right\ rangle\ right) ^ {\ dagger}\\
    & left. =\ izquierda\ langle q_ {1}\;\ derecha|\ otimes\ izquierda\ langle q_ {2}\;\ derecha|\ derecha)\\
    &\ izquierda. =\ izquierda\ langle q_ {1} q_ {2}\;\ derecha|\ derecha). \ tag {13.30}
    \ end {align*}

    Como consecuencia, el resultado del producto puntual de dos sistemas compuestos es la multiplicación de los productos puntuales individuales tomados en orden

    \ [\ begin {alinear*}
    \ izquierda\ langle q_ {1} q_ {2}\\ mid w_ {1} w_ {2}\ derecha\ rangle &=\ izquierda (\ izquierda\ langle q_ {1}\;\ izquierda|\;\ otimes\ izquierda\ langle q_ {2}\;\ derecha|\ derecha)\ izquierda (\ izquierda|\; w_ {1}\ derecha\ rangle\ otimes\ izquierda|\; w_ {2}\ derecha\ rangle\ derecha)\ derecha. \ derecho. \\
    &=\ izquierda\ langle q_ {1}\ mid w_ {1}\ derecha\ rangle\ otimes\ izquierda\ langle q_ {2}\ mid w_ {1}\ derecha\ rangle\ tag {13.31}
    \ final {alinear*}\ nonumber\]

    a menudo surge confusión en el segundo término, donde a falta del paréntesis es fácil confundirse\(\langle q_2 \;||\; w_1\rangle\) e interpretarlo como una\(\langle|\rangle\) (anotar los dos separadores verticales en la forma correcta), para luego tratar de llevar los productos punto adentro hacia afuera, en lugar de tomarlos en paralelo ya que debe hacerse.


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