13.8.2: Qubits y simetrías

La esfera Bloch representa cada operación en un qubit como una trayectoria en la esfera. Sin embargo, cualquier trayectoria sobre la esfera puede ser representada por medio de una secuencia de rotaciones alrededor de los tres ejes. Entonces, una forma de abordar la definición de las operaciones en el qubit es estudiar las rotaciones alrededor del eje de la esfera bloch. Esto está íntimamente relacionado con el estudio de las simetrías. Thomas Bohr fue el primero en sugerir usar simetrías para interpretar la mecánica cuántica.

Decimos que un objeto tiene cierta simetría si después de aplicar la operación de simetría correspondiente (por ejemplo una rotación) el objeto parece no haber cambiado; entonces decimos que el objeto es invariante a esa operación de simetría. En general, las operaciones de simetría son rotaciones, reflexiones e inversiones; e invariantes significa que la posición inicial y final del objeto son indistinguibles. Por ejemplo, la Figura 13.3 muestra un

Figura 13.3: Concepto de invarianza. Operación de simetría: rotación de\(\pi\) /2 alrededor del eje vertical.

cubo, invariante a una rotación de\(\pi\) /2 alrededor de un eje en el centro de cualquiera de sus caras. Para distinguir la posición inicial y final, habría que pintar una cara del cubo, como en la imagen a la derecha de la Figura 13.3. Entonces el cubo ya no es invariante a una rotación de\(\pi\) /2. Entonces diríamos que el grupo de simetrías del cubo a la izquierda de la Figura 13.3, contiene, entre otros, el grupo de rotaciones de\(\pi\) /2 alrededor del eje dibujado en la figura.

La forma en que los físicos utilizan las simetrías es caracterizar los objetos mediante el estudio de las operaciones que mejor describen cómo transformar el objeto y cuáles son sus invarianzas. Entonces la representación del qubit en la esfera Bloch resulta particularmente útil, ya que nos dice enfocarnos en el grupo de rotaciones espaciales. En el resto de esta sección conciliaremos ambas visiones, nuestra perspectiva de los operadores como matrices, y las simetrías de la esfera Bloch.

Ya hemos visto que los operadores en qubits son matrices unitarias 2×2, el requisito técnico adicional que tenemos que imponer para tener el grupo de rotaciones espaciales es que el determinante de las matrices sea +1 (a diferencia de -1). Este grupo tiene nombre, se llama SU (2)\(^6\). Podemos construir todas las matrices de SU (2) combinando las siguientes cuatro matrices:

\ [\ mathbb {I}\ stackrel {def} {=}\ left (\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ derecha)\ quad\ sigma_ {x}\ stackrel {def} {=}\ left (\ begin {array} {ll}
0 &
1\\ 1 & 0
\ end {array}\ right)\ sigma_ {y}\ stackrel {def} {=}\ left (\ begin {array} {cc}
0 & -i\\
i & 0
\ end {array}\ derecha)\ quad\ sigma_ {z}\ stackrel {def} {=}\ left (\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
0 & -1
\ end {array}\ derecha)\ tag {13.54}\]

estas matrices son conocidas como las matrices Pauli en honor a Wolfgang Pauli. Obsérvese que técnicamente no pertenecen a SU (2), para ser matemáticamente rigurosos necesitamos multiplicar cada uno de ellos por\(i\), el número imaginario (para verificar que esto es así, computar su determinante con y sin multiplicar por\(i\)).

Acción de matrices Pauli sobre un qubit arbitrario

La mejor manera de capturar la intuición detrás de las matrices Pauli, es aplicar cada una de ellas a un qubit en un estado de superposición arbitraria

\[|\;\psi\rangle=\alpha\;|\;0\rangle+\beta\;|\;1\rangle=\cos \frac{\theta}{2}|\;0\rangle+\sin \frac{\theta}{2} e^{i \varphi}|\;1\rangle \tag{13.55} \]

e interpretar el resultado

\ [\ begin {align*}
\ sigma_ {x}\; |\; 0\ rangle &=\ left (\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {l}
\ alpha\
\ beta
\ end {array}\ right)\\
&=\ left (\ begin { array} {c}
\ beta\
\ alfa
\ end {array}\ derecha)\ largoderrow\ texto {Rotación de}\ pi\ texto {about}\ mathrm {x}\ texto {eje}\ tag {13.56}\
\\ sigma_ {y}\; |\; 0\ rangle &=\ left (\ begin {array} {cc}
0 & -i\
i & 0
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {l}
\ alpha\
\ beta
\ end {array}\ right)\\
&=i\ left (\ begin {array} {c}
-\ beta\
\ alpha
\ end {array}\ right)\ rightarrow\ text {Rotación de}\ pi\ text {about}\ mathrm {y}\ text {eje}\ tag {13.57}\\
\ sigma_ {z}\; |\; 0\ rangle &=\ left (\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
0 & -1
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {l}
\ alpha\
\ beta
\ end { array}\ derecha)\\
&=\ left (\ begin {array} {c}
\ alpha\
-\ beta
\ end {array}\ right)\ longrightarrow\ text {Rotación de}\ pi\ text {about}\ mathrm {z}\ texto {eje}\ tag {13.58}
\ end {align*}\ nonumber\]

La Figura 13.4 ilustra la operación de\(\sigma_y\) sobre un qubit en una superposición arbitraria en la esfera Bloch

Figura 13.4: Operación de\(\sigma_y\), en la esfera Bloch

De ahí que las matrices de Pauli sean rotaciones de\(\pi\) alrededor de cada uno de los ejes de la esfera bloch (esto motiva los nombres que les dimos). Sin embargo, para explorar completamente la superficie de la esfera Bloch necesitamos ser capaces de definir rotaciones arbitrarias (no solo múltiplos de\(\pi\)). Para ello utilizamos el ingenioso truco de exponenciar Pauli Matrices. Recordemos la fórmula de Euler que relaciona la función exponencial con el seno y el coseno,

\[e^{i x}=\cos x+i \sin x. \tag{13.59} \]

La fórmula de Euler se aplica cuando x es un número real. Pero nos interesa obtener un resultado similar para las matrices Pauli. Podemos probar el equivalente a la fórmula de Euler para las matrices Pauli reemplazando\(x\) por\(\frac{\theta}{2} \sigma_x\), y expandiendo lo exponencial como una serie de Taylor (tenga en cuenta que\ (\ sigma_x\ sigma_x =\ mathbb {I})

\ [\ begin {align*}
e^ {i\ sigma_ {x}\ theta/2} &=1+i\ frac {\ theta} {2}\ sigma_ {x} -\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {\ theta} {2}\ derecha) ^ {2}\ mathbb {I} -i\ frac {1} {3}\ izquierda (\ frac {\ theta} {2}\ derecha) ^ {3}\ sigma_ {x} +\ frac {1} {4}\ izquierda (\ frac {\ theta} {2}\ derecha) ^ {4}\ mathbb {I} +\ cdots\ tag {13.60}\\
&= izquierda (1-\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {\ theta} {2}\ derecha) ^ {2} +\ frac {1} {4}\ izquierda (\ frac {\ theta} {2}\ derecha) ^ {4} +\ cdots\ derecha)\ mathbb {I} +i\ izquierda (0+\ izquierda (\ frac {thac\ theta} {2}\ derecha) -\ frac {1} {3}\ izquierda (\ frac {\ theta} {2}\ derecha) ^ {3} +\ cdots\ derecha)\ sigma_ {x}\ tag {13.61}\\
&=\ cos\ frac {\ theta} {2}\ mathbb {I} +i\ sin\ frac {\ theta} {2}\ sigma_ {x}\ etiqueta {13.62}
\ final {alinear*}\ nonumber\]

Este resultado nos muestra cómo hacer rotaciones arbitrarias de un ángulo\(\theta\) alrededor del\(x\) eje, a menudo se llama al operador resultante\(R_x(\theta) = e^{i\sigma_x\theta/2}\). Los casos de\(R_y\) y\(R_z\) son completamente análogos.

Resumiendo, hemos mostrado cómo representar cualquier qubit como un punto en la esfera Bloch y hemos aprendido a navegar por la esfera bloch haciendo rotaciones arbitrarias alrededor de cualquiera de los tres ejes. De ello se deduce que hemos obtenido una expresión para el grupo de operaciones de simetría que nos permiten escribir la forma de cualquier operador que actúe sobre un solo qubit.

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\(^6\)Groups are conventionally named with letters like O,U, SU, SO, etc. Each of this letters has a meaning. SU(2) stands for the special (S) group of unitary (U) matrices of dimension 2. Special means that the determinant of the matrices is +1, and unitary has here the same meaning it had in the discussion of the operators.