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13.8.3: Puertas cuánticas

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    En el primer capítulo de estas notas, exploramos todas las funciones posibles de uno y dos argumentos de entrada y luego señalamos las funciones booleanas más útiles\(NOT\),\(AND\),\(NAND\),\(NOR\),\(OR\),\(XOR\). Luego, lo asociamos a un pictograma que llamamos puerta, y revisamos los mecanismos para construir circuitos lógicos para hacer cálculos.

    En la sección anterior hicimos lo mismo para los qubits, caracterizamos a todos los operadores que pueden transformar el valor de un solo qubit: definimos las matrices de Pauli y explicamos cómo hacer rotaciones arbitrarias. Por analogía con el caso clásico, las matrices Pauli y las rotaciones arbitrarias son las puertas de un circuito cuántico. En tratados más avanzados sobre computación cuántica se querría probar una variedad de resultados sobre las puertas cuánticas, como el conjunto mínimo de puertas necesarias para hacer cualquier cálculo cuántico y diversos resultados sobre la generalización de 1 a n qubits. Aquí nos limitaremos a resumir los principales detalles del álgebra cuántica, su representación simbólica y sus propiedades.

    Puertas cuánticas elementales

    Las 5 puertas cuánticas elementales se enumeran en la Tabla 13.1. Su representación simbólica es mucho más simple

    Pauli X \ (X=\ left (\ begin {array} {ll}
    0 & 1\\
    1 & 0
    \ end {array}\ right)\ equiv\ sigma_ {x}\)
    Es equivalente a hacer un NOT o un bit flip
    Pauli Y \ (Y=\ left (\ begin {array} {cc}
    0 & -i\\
    i & 0
    \ end {array}\ right)\ equiv\ sigma_ {y}\)
    Pauli Z \ (Z=\ left (\ begin {array} {cc}
    1 & 0\\
    0 & -1
    \ end {array}\ right)\ equiv\ sigma_ {z}\)
    Cambia la fase interna
    Hadamard \ (H=\ quad\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {cc}
    1 & 1\\
    1 & -1
    \ end {array}\ derecha)\)
    Fase \ (S=\ left (\ begin {array} {ll}
    1 & 0\\
    0 & i
    \ end {array}\ right)\)
    Cuadro 13.1: Puertas cuánticas elementales.

    que la de sus contrapartes clásicas, se muestra en la Figura 13.5.

    El Cuadro 13.2 enumera algunas de las propiedades de las puertas cuánticas elementales del Cuadro 13.1. Estas propiedades son la contraparte cuántica de las propiedades de las funciones de bits clásicas que enumeramos en

    Figura 13.5: Puerta cuántica genérica. Donde U es el nombre dado a la matriz unitaria genérica que representa esta puerta.

    Capítulo 1. Estas y otras reglas más avanzadas, ayudan a simplificar los circuitos cuánticos tanto como la ley de DeMorgan ayuda a simplificar los circuitos clásicos.

    \(H=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+Z)\) \(HXH = Z\)
    \(XYX = −Y\) \(HYH = −Y\)
    \(XZX = −Z\) \(HZH = X\)
    \(XR_y(\theta)X = R_y(−\theta)\) \(XR_z(\theta)X = R_y(−\theta)\)
    Cuadro 13.2: Algunas de las principales propiedades de las puertas de un solo qubit.

    Puertas de dos qubit. Puertas Controladas

    Lo primero a tener en cuenta sobre las múltiples puertas de qubit es que los operadores son unitarios y cuadrados, y así a diferencia de las puertas clásicas, las puertas cuánticas siempre tendrán el mismo número de entradas y salidas. Otra forma de decirlo es que todas las puertas cuánticas son naturalmente reversibles, como debería esperarse del hecho de que los operadores son unitarios.

    Las dos puertas de qubit más importantes son las puertas controladas. En una puerta controlada el primer qubit de entrada es un qubit de control, con el mismo significado que el bit de control clásico. Si está en el\(|\; 1\rangle\) estado, activará la puerta que actúa sobre el segundo qubit, de lo contrario, no lo activará y el segundo qubit permanecerá inalterado. Un ejemplo genérico se muestra en la Figura 13.6, la puerta en ese ejemplo se denominaría C-U. Allí

    Figura 13.6: Puerta genérica controlada cuántica (C-U). Donde U es el nombre dado a la matriz unitaria genérica que representa esta puerta.

    son dos puertas controladas que son muy relevantes para los algoritmos que describiremos más adelante, la C-X también conocida como C-NOT y la C-Z también conocida como C-Fase. La popularidad de la puerta CNOT le ha otorgado un símbolo propio, mostrado en la Figura 13.7.

    Figura 13.7: Puerta CNOT.

    Por último, vale la pena revisar la representación matricial de la puerta C-Z

    \ [C-Z=\ izquierda (\ begin {array} {cccc}
    1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & 0 &\ mid 1 & 0\ mid\
    0 & 0 &\ mid 0 &\ mid 0 & -1\ mid
    \ end {array}\ derecha)\ tag {13.63}\]

    donde hemos enfatizado que el cuadrado inferior derecho es la matriz Z.


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