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3.10: Dominios de Tiempo y Frecuencia

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    Objetivos de aprendizaje
    • Primer módulo de la analogía de dos habitaciones para resolver problemas en los dominios de tiempo y frecuencia.

    Cuando encontramos la ecuación diferencial que relaciona la fuente y la salida, nos enfrentamos a resolver el circuito en lo que se conoce como el dominio del tiempo. Lo que enfatizamos aquí es que muchas veces es más fácil encontrar la salida si utilizamos impedancias. Debido a que las impedancias dependen únicamente de la frecuencia, nos encontramos en el dominio de la frecuencia. Un error común en el uso de impedancias es mantener la parte dependiente del tiempo, la exponencial compleja, en la refriega. Todo el punto de usar impedancias es deshacerse del tiempo y concentrarse en la frecuencia. Solo después de que encontremos el resultado en el dominio de la frecuencia volvemos al dominio del tiempo y volvemos a armar las cosas.

    Para ilustrar cómo encajan el dominio del tiempo, el dominio de frecuencia y las impedancias, considera que el dominio del tiempo y el dominio de frecuencia son dos salas de trabajo. Como no puedes estar en dos lugares al mismo tiempo, te enfrentas a resolver tu problema de circuito en una de las dos salas en cualquier momento. Impedancias y exponenciales complejos son la forma de conseguir entre las dos habitaciones. Los guardias de seguridad se aseguran de no intentar colar variables de dominio de tiempo en la sala de dominio de frecuencia y viceversa. La figura muestra cómo funciona esto.

    Figura 3.10.1 Los dominios de tiempo y frecuencia se vinculan asumiendo que las señales son exponenciales complejas. En el dominio del tiempo, las señales pueden tener cualquier forma. Al pasar al dominio de la frecuencia “sala de trabajo”, las señales están representadas completamente por amplitudes complejas.

    A medida que desarrollemos la historia de la impedancia, veremos que el poderoso uso de impedancias sugerido por Steinmetz simplifica enormemente la resolución de circuitos, nos alivia de resolver ecuaciones diferenciales y sugiere una forma general de pensar sobre los circuitos. Por la importancia de este enfoque, repasemos cómo funciona.

    1. A pesar de que no lo es, finge que la fuente es un exponencial complejo. Hacemos esto porque el enfoque de impedancia simplifica la búsqueda de cómo se relacionan la entrada y la salida. Si se tratara de una fuente de voltaje que tuviera voltaje v in = p (t) (un pulso), aun así\[v_{in}=V_{in}e^{i2\pi ft} \nonumber \] vamos: Aprenderemos a “recuperar el pulso” más adelante.
    2. Con una fuente igual a una exponencial compleja, todas las variables en un circuito lineal también serán exponenciales complejas que tengan la misma frecuencia. El único “misterio” restante del circuito es lo que podría ser la amplitud compleja de cada variable. Para encontrarlos, consideramos que la fuente es un número complejo (V aquí) y los elementos como impedancias.
    3. Ahora podemos resolver usando reglas de combinación en serie y paralelas cómo la amplitud compleja de cualquier variable se relaciona con la amplitud compleja de las fuentes.
    Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

    ilustran el enfoque de impedancia, nos referimos al circuito RC a continuación, y asumimos que\[v_{in}=V_{in}e^{i2\pi ft} \nonumber \]

    Un circuito RC simple y la contraparte de impedancia para el circuito RC

    Tenga en cuenta que la fuente y el voltaje de salida son ahora amplitudes complejas

    Usando impedancias, la amplitud compleja del voltaje de salida V out se puede encontrar usando el divisor de voltaje:

    \[V_{out}=\frac{Z_{C}}{Z_{C}+Z_{R}}V_{in}\\ V_{out}=\frac{\frac{1}{i2\pi fC}}{\frac{1}{i2\pi fC}+R}V_{in}\\ V_{out}=\frac{1}{i2\pi fRC+1}V_{in} \nonumber \]

    Si nos referimos a la ecuación diferencial para este circuito como se muestra en Circuitos con Capacitores e Inductores para ser:

    \[RC\frac{\mathrm{d} v_{out}}{\mathrm{d} t}+v_{out}=v_{in} \nonumber \]

    dejando que los voltajes de salida y entrada sean exponenciales complejos, obtenemos la misma relación entre sus amplitudes complejas. Así, usar impedancias equivale a usar la ecuación diferencial y resolverla cuando la fuente es un exponencial complejo.

    De hecho, podemos encontrar la ecuación diferencial directamente usando impedancias. Si multiplicamos cruzadamente la relación entre las amplitudes de entrada y salida,

    \[V_{out}(i2\pi fRC+1)=V_{in} \nonumber \]

    y luego volver a poner los exponenciales complejos, tenemos

    \[RCi2\pi fV_{out}e^{i2\pi ft}+V_{out}e^{i2\pi ft}=V_{in}e^{i2\pi ft} \nonumber \]

    En el proceso de definición de impedancias, nótese que el factor i2 πf surge de la derivada de un exponencial complejo. Podemos revertir el proceso de impedancia y volver a la ecuación diferencial.

    \[RC\frac{\mathrm{d} v_{out}}{\mathrm{d} t}+v_{out}=v_{in} \nonumber \]

    Esta es la misma ecuación que se derivó mucho más tediosamente en Circuitos con Capacitores e Inductores. Encontrar la ecuación diferencial que relaciona la salida con la entrada es mucho más simple cuando usamos impedancias que con cualquier otra técnica.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que tenías una expresión donde una amplitud compleja estaba dividida por i2 πf. ¿Qué operación en el dominio del tiempo corresponde a esta división?

    Solución

    División por i2πfsurge de integrar un complejo exponencial. En consecuencia,

    \[\frac{1}{i2\pi f}V\Leftrightarrow \int Ve^{i2\pi ft}dt \nonumber \]


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