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# 3.7: Circuitos Equivalentes - Resistencias y Fuentes

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##### Objetivos de aprendizaje
• Introducción de circuitos equivalentes, incluyendo la función en relación v-i.

Hemos encontrado que la manera de pensar en los circuitos es localizar y agrupar combinaciones de resistencias paralelas y en serie. Aquellas resistencias no involucradas con variables de interés pueden colapsarse en una sola resistencia. Este resultado se conoce como un circuito equivalente: desde el punto de vista de un par de terminales, un grupo de resistencias funciona como una sola resistencia, cuya resistencia suele encontrarse aplicando las reglas paralelas y en serie.

Este resultado generaliza para incluir fuentes de una manera muy interesante y útil. Consideremos nuestro circuito atenuador simple (Se muestra en la Figura 3.7.1) desde el punto de vista de los terminales de salida. Queremos encontrar la relación v-i para el par de terminales de salida, y luego encontrar el circuito equivalente para el circuito en caja. Para realizar este cálculo, use las leyes de circuito y las relaciones de elementos, pero no adjunte nada a los terminales de salida. Buscamos la relación entre

$v=(R_{1}\parallel R_{2})i+\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}v_{in} \nonumber$

Si la fuente fuera cero, podría ser reemplazada por un cortocircuito, lo que confirmaría que el circuito sí funciona como una combinación paralela de resistencias. Sin embargo, la presencia de la fuente significa que el circuito no está bien modelado como una resistencia.

## El equivalente de Thévenin

Si consideramos el circuito simple de la Figura 3.7.2, encontramos que tiene la relación v-i en sus terminales de

$v=R_{eq}i+v_{eq} \nonumber$

Comparando las dos relaciones v-i, encontramos que tienen la misma forma. En este caso la resistencia equivalente Thévenin es:

$R_{eq}=R_{1}\parallel R_{2} \nonumber$

y la fuente equivalente Thévenin tiene voltaje:

$v_{eq}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}v_{in} \nonumber$

Así, desde el punto de vista de los terminales, no se pueden distinguir los dos circuitos. Debido a que el circuito equivalente tiene menos elementos, es más fácil de analizar y entender que cualquier otra alternativa.

Para cualquier circuito que contenga resistencias y fuentes, la relación v-i será de la forma:

$v=R_{eq}i+v_{eq} \nonumber$

y el circuito equivalente Thévenin para cualquier circuito de este tipo es el de la Figura 3.7.2. Esta equivalencia se aplica sin importar cuántas fuentes o resistencias puedan estar presentes en el circuito. En el siguiente ejemplo, conocemos la construcción del circuito y los valores de los elementos, y derivamos la fuente y resistencia equivalentes. Debido a que el teorema de Thévenin se aplica en general, deberíamos poder hacer mediciones o cálculos solo desde los terminales para determinar el circuito equivalente.

Para ser más específicos, considere el circuito equivalente en la Figura 3.7.2. Dejar que los terminales sean de circuito abierto, lo que tiene el efecto de establecer la corriente i a cero. Debido a que no fluye corriente a través de la resistencia, el voltaje a través de ella es cero (recuerde, la Ley de Ohm dice que (v= i R). En consecuencia, al aplicar KVL tenemos que el llamado voltaje de circuito abierto v oc es igual al voltaje equivalente de Thévenin. Ahora considere la situación cuando establecemos el voltaje del terminal a cero (cortocircuitarlo) y medimos la corriente resultante. Refiriéndose al circuito equivalente, el voltaje de la fuente ahora aparece completamente a través de la resistencia, dejando que la corriente de cortocircuito sea:

$i_{sc}=-\frac{v_{eq}}{R_{eq}} \nonumber$

A partir de esta propiedad, podemos determinar la resistencia equivalente.

$v_{eq}=v_{oc}\\ R_{eq}=-\frac{v_{oc}}{i_{sc}} \nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Utilice el enfoque abierto/cortocircuito para derivar el equivalente Thévenin del circuito que se muestra en la siguiente figura.

Solución

$v_{oc}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}v_{in}\\ i_{sc}=-\frac{v_{in}}{R_{1}} \nonumber$

La resistencia R2 está cortocircuitada en este caso. Por lo tanto

$v_{eq}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}v_{in}\\ R_{eq}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \nonumber$

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$:

Para el circuito representado en la figura anterior, derivemos su equivalente Thévenin de dos maneras diferentes. Comenzando con el enfoque abierto/cortocircuito, primero encontremos el voltaje de circuito abierto v oc. Tenemos una relación divisora de corriente ya que R 1 está en paralelo con la combinación en serie de R 2 y R 3. Por lo tanto

$v_{oc}=\frac{i_{in}R_{3}R_{1}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} \nonumber$

Cuando cortocircuitamos los terminales, no aparece voltaje a través de R 3, y por lo tanto no fluye corriente a través de él. En resumen, R 3 no afecta la corriente de cortocircuito, y puede ser eliminada. Nuevamente tenemos una relación divisora actual:

$i_{sc}=-\frac{i_{in}R_{1}}{R_{1}+R_{2}} \nonumber$

Así, la resistencia equivalente Thévenin es

$\frac{R_{3}(R_{1}+R_{2})}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} \nonumber$

Para verificar, encontremos la resistencia equivalente llegando al interior del circuito y ajustando la fuente de corriente a cero. Debido a que la corriente es ahora cero, podemos reemplazar la fuente de corriente por un circuito abierto. Desde el punto de vista de los terminales, la resistencia R 3 se encuentra ahora en paralelo con la combinación en serie de R1 y R2. Por lo tanto

$R_{eq}=R_{3}\parallel R_{1}+R_{2} \nonumber$

## Circuitos Equivalentes

Como es de esperar, los circuitos equivalentes vienen en dos formas: el equivalente Thévenin orientado a fuente de voltaje y el equivalente Mayer-Norton orientado a fuente de corriente (Ver Figura 3.7.3). Para derivar este último, la relación v-i para el equivalente Thévenin puede escribirse como:

$v=R_{eq}i+v_{eq} \nonumber$

o

$i=\frac{v}{R_{eq}}-i_{eq} \nonumber$

donde

$i_{eq}=\frac{v_{eq}}{R_{eq}} \nonumber$

es la fuente equivalente de Mayer-Norton. El equivalente Mayer-Norton mostrado en la Figura 3.7.3 puede mostrarse fácilmente para tener esta relación v-i. Tenga en cuenta que ambas variaciones tienen la misma resistencia equivalente. La corriente de cortocircuito equivale al negativo de la fuente equivalente Mayer-Norton.

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Encuentre el circuito equivalente de Mayer-Norton para el circuito a continuación.

Solución

$i_{eq}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}i_{in} \nonumber$

$R_{eq}=R_{3}\parallel R_{1}+R_{2} \nonumber$

Los circuitos equivalentes se pueden utilizar de dos formas básicas. El primero es simplificar el análisis de un circuito complicado al darse cuenta de que cualquier porción de un circuito puede ser descrita ya sea por un equivalente Thévenin o Mayer-Norton. Cuál se usa depende de si lo que se une a los terminales es una configuración en serie (haciendo que el Thévenin sea el mejor equivalente) o una paralela (haciendo de Mayer-Norton el mejor).

Otra aplicación es el modelado. Cuando compramos una batería de linterna, cualquiera de los circuitos equivalentes puede describirla con precisión. Estos modelos nos ayudan a entender las limitaciones de una batería. Dado que las baterías están etiquetadas con una especificación de voltaje, deben servir como fuentes de voltaje y el equivalente Thévenin sirve como la elección natural. Si se coloca una resistencia de carga R L a través de sus terminales, la salida de voltaje se puede encontrar usando un divisor de voltaje:

$v=\frac{v_{eq}R_{L}}{R_{L}+R_{eq}} \nonumber$

Si tenemos una resistencia de carga mucho mayor que la resistencia equivalente de la batería, entonces, a una buena aproximación, la batería sí sirve como fuente de voltaje. Si la resistencia de carga es mucho menor, ciertamente no tenemos una fuente de voltaje (el voltaje de salida depende directamente de la resistencia de carga). Considere ahora el equivalente Mayer-Norton; la corriente a través de la resistencia de carga viene dada por el divisor de corriente, y es igual a:

$i=\frac{i_{eq}R_{eq}}{R_{L}+R_{eq}} \nonumber$

Para una corriente que no varíe con la resistencia de carga, esta resistencia debe ser mucho menor que la resistencia equivalente. Si la resistencia de carga es comparable a la resistencia equivalente, la batería no sirve ni como fuente de voltaje ni como curso de corriente. Así, cuando compras una batería, obtienes una fuente de voltaje si su resistencia equivalente es mucho menor que la resistencia equivalente del circuito al que la conectas. Por otro lado, si lo conectas a un circuito que tiene una pequeña resistencia equivalente, compraste una fuente de corriente.

##### Léon Charles Thévenin

Fue ingeniero con la francesa Postes, Télégraphe et Téléphone. En 1883 publicó (¡dos veces!) una prueba de lo que ahora se llama el equivalente Thévenin mientras se desarrollan formas de enseñar conceptos de ingeniería eléctrica en la École Polytechnique. No se dio cuenta de que el mismo resultado había sido publicado por Hermann Helmholtz, el reconocido físico del siglo XIX, treinta años antes.

##### Hans Ferdinand Mayer

Después de obtener su doctorado en física en 1920, recurrió a la ingeniería de comunicaciones cuando se incorporó a Siemens & Halske en 1922. En 1926, publicó en una revista técnica alemana el equivalente Mayer-Norton. Durante su interesante carrera, se levantó para dirigir el Laboratorio Central de Siemen en 1936, se filtró subsiguientemente a los británicos todo lo que sabía de las capacidades de guerra alemanas un mes después de que los nazis invadieran Polonia, fue detenido por la Gestapo en 1943 por escuchar transmisiones de radio de la BBC, pasó dos años en nazi campos de concentración, y se fue a Estados Unidos por cuatro años trabajando para la Fuerza Aérea y la Universidad de Cornell antes de regresar a Siemens en 1950. Se elevó a un cargo en el Consejo de Administración de Siemen antes de retirarse.

##### Edward L. Norton

Edward Norton fue un ingeniero eléctrico que trabajó en el Laboratorio Bell desde sus inicios en 1922. En el mismo mes en que apareció el artículo de Mayer, Norton escribió en un memorándum técnico interno un párrafo que describía el equivalente de fuente actual. Ninguna evidencia sugiere que Norton supiera de la publicación de Mayer.

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