4.11: Problemas en el dominio de la frecuencia

Objetivos de aprendizaje

• Problemas relacionados con la Serie de Fourier.

Serie Simple de Fourier

Encuentre las representaciones complejas de la serie de Fourier de las siguientes señales sin calcular explícitamente las integrales de Fourier. ¿Cuál es el periodo de la señal en cada caso?

1. \[s(t)=\sin (t) \nonumber \]
2. \[s(t)=\sin ^{2}(t) \nonumber \]
3. \[s(t)=\cos (t)+2\cos (2t) \nonumber \]
4. \[s(t)=\cos (2t)\cos (t) \nonumber \]
5. \[s(t)=\cos \left ( 10\pi t+\frac{\pi }{6} \right )\left ( 1+ \cos (2\pi t)\right ) \nonumber \]
6. s (t) dada por la forma de onda representada:

Serie de Fourier

Encuentre la representación de la serie de Fourier para las siguientes señales periódicas. Para la tercera señal, encuentre la serie compleja de Fourier para la onda triangular sin realizar las integrales habituales de Fourier. Pista: ¿Cómo se relaciona esta señal con una para la que ya tienes la serie?

1. 
2. 
3. 

Distorsión de fase

Podemos aprender sobre la distorsión de fase volviendo a los circuitos e investigar el siguiente circuito.

1. Encuentra la función de transferencia de este filtro.
2. Encuentra la magnitud y fase de esta función de transferencia. ¿Cómo caracterizarías este circuito?
3. Sea v _in (t) una onda cuadrada del periodo T. ¿Cuál es la serie de Fourier para el voltaje de salida?
4. Utilice Matlab para encontrar la forma de onda de salida para los casos T=0.01 y T=2. ¿Qué valor de T delinea los dos tipos de resultados que encontraste? El software en fourier2.m podría ser útil.
5. En lugar del circuito representado, la onda cuadrada pasa a través de un sistema que retrasa su entrada, el cual aplica un desplazamiento de fase lineal al espectro de la señal. Que el retraso τ sea T/4. Utilice la función de transferencia de un retardo para calcular usando Matlab la serie de Fourier de la salida. Demuestre que la onda cuadrada está efectivamente retrasada.

Aproximación de señales periódicas

A menudo, queremos aproximar una señal de referencia por una señal algo más simple. Para evaluar la calidad de una aproximación, la medida de error más utilizada es el error medio cuadrado. Para una señal periódica s (t),

\[\varepsilon ^{2}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}(s(t)-\overline{s}(t))^{2}dt \nonumber \]

donde

\[s(t)=reference\; \; signal\\ \overline{s}(t)=approximation \nonumber \]

Una manera conveniente de encontrar aproximaciones para señales periódicas es truncar sus series de Fourier.

\[\overline{s}(t)=\sum_{k=-K}^{K}c_{k}e^{i\frac{2\pi k}{T}t} \nonumber \]

El objetivo de este problema es analizar si este enfoque es el mejor (es decir, siempre minimiza el error medio cuadrado). Encuentre una expresión de dominio de frecuencia para el error de aproximación cuando usamos la serie truncada de Fourier como aproximación. En lugar de truncar la serie, generalicemos la naturaleza de la aproximación para incluir cualquier conjunto de 2K+1 términos: Siempre incluiremos el c ₀ y el término indexado negativo correspondiente a c _k. ¿Qué selección de términos minimiza el error cuadrático medio? Encuentre una expresión para el error medio cuadrado resultante de su elección. Encuentre la serie de Fourier para la señal representada. Utilice Matlab para encontrar la aproximación truncada y la mejor aproximación que involucra dos términos. Trazar el error cuadrático medio en función de K para ambas aproximaciones.

Días Largos y Calientes

La temperatura diaria es consecuencia de varios efectos, uno de ellos es el calentamiento del sol. Si este fuera el efecto dominante, entonces las temperaturas diarias serían proporcionales al número de horas de luz diurna. La gráfica muestra que la temperatura alta media diaria no se comporta de esa manera.

En este problema, queremos entender el componente de temperatura de nuestro entorno utilizando series de Fourier y teoría de sistemas lineales. El archivo temperatura.mat contiene estos datos (horas de luz diurna en la primera fila, correspondientes máximos diarios promedio en la segunda) para Houston, Texas. Deje que la duración del día sirva como única entrada a un sistema que tenga una salida igual a la temperatura promedio diaria.

1. Examinando las parcelas de entrada y salida, ¿dirías que el sistema es lineal o no? ¿Cómo llegaste a tu conclusión?
2. Encuentra los primeros cinco términos (c ₀,... , c ₄) de la serie compleja de Fourier para cada señal.
3. ¿Cuál es la distorsión armónica en las dos señales? Excluir c ₀ de este cálculo. Debido a que la distorsión armónica es pequeña, concentrémonos sólo en el primer armónico.
4. ¿Cuál es el desplazamiento de fase entre las señales de entrada y salida?
5. Encuentre la función de transferencia del modelo lineal más simple posible que describa los datos.
6. Caracterizar e interpretar la estructura de este modelo. En particular, dar una explicación física para el desplazamiento de fase. Predecir cuál sería la salida si el modelo no tuviera desplazamiento de fase. ¿Los días serían más calurosos? Si es así, ¿por cuánto?

Pares de transformada de Fourier

Encuentre la transformada de Fourier o inversa de Fourier de lo siguiente:

\[\forall :\left ( x(t)=e^{-(a\left | t \right |)} \right )x(t)=te^{-(at)}u(t)X(f)=\begin{cases} 1 & \text{ if } \left | f \right |< W \\ 0 & \text{ if } \left | f \right |> W \end{cases} \nonumber \]

\[x(t)=e^{-(at)}\cos (2\pi f_{0}t)u(t) \nonumber \]

Dualidad en Transformadas de Fourier

“Dualidad” significa que la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier son muy similares. En consecuencia, la forma de onda s (t) en el dominio del tiempo y el espectro s (f) tienen una transformada de Fourier y una transformada inversa de Fourier, respectivamente, que son muy similares.

1. Calcular la transformada de Fourier de la señal mostrada anteriormente.
2. Calcular la transformada inversa de Fourier del espectro mostrado anteriormente.
3. ¿Cómo se relacionan estas respuestas? ¿Cuál es la relación general entre la transformada de Fourier de s (t) y la transformada inversa de s (f)?

Espectros de secuencias de pulsos

Las secuencias de pulsos ocurren a menudo en la comunicación digital y también en otros campos. ¿Cuáles son sus propiedades espectrales?

1. Calcular la transformada de Fourier del pulso único que se muestra arriba.
2. Calcular la transformada de Fourier de la secuencia de dos pulsos mostrada anteriormente.
3. Calcular la transformada de Fourier para la secuencia de diez pulsos mostrada anteriormente. Debe buscar una expresión general que contenga secuencias de cualquier longitud.
4. Usando Matlab, grafica las magnitudes de los tres espectros. Describir cómo cambian los espectros a medida que aumenta el número de pulsos repetidos.

Espectros de señales de comunicación digital

Una forma de representar bits con señales se muestra en la siguiente figura. Si el valor de un bit es un “1", se representa por un pulso positivo de duración T. Si es un “0”, está representado por un pulso negativo de la misma duración. Para representar una secuencia de bits, los pulsos elegidos apropiadamente se colocan uno tras otro.

1. ¿Cuál es el espectro de la forma de onda que representa la secuencia de bits alternos “... 01010101...”?
2. El ancho de banda de esta señal se define como el rango de frecuencia sobre el cual está contenido el 90% de la potencia. ¿Cuál es el ancho de banda de esta señal?
3. Supongamos que la secuencia de bits se convierte en “... 00110011...”. Ahora, ¿cuál es el ancho de banda?

Filtrado de paso bajo de una onda cuadrada

Deje que una onda cuadrada (período T) sirva como entrada a un sistema de paso bajo de primer orden construido como un filtro RC. Queremos derivar una expresión para la respuesta de dominio de tiempo del filtro a esta entrada. Primero, considere la respuesta del filtro a un pulso simple, teniendo amplitud unitaria y ancho T /2.

1. Derivar una expresión para la salida del filtro a este pulso. Al señalar que la onda cuadrada es una superposición de una secuencia de estos pulsos, ¿cuál es la respuesta del filtro a la onda cuadrada? La naturaleza de esta respuesta debe cambiar a medida que cambia la relación entre el período de la onda cuadrada y la frecuencia de corte del filtro.
2. ¿Cuánto tiempo debe ser el periodo para que la respuesta no logre un valor relativamente constante entre transiciones en la onda cuadrada?
3. ¿Cuál es la relación de la frecuencia de corte del filtro con el espectro de la onda cuadrada en este caso?

Matemáticas con Circuitos

Los circuitos simples pueden implementar operaciones matemáticas simples, como la integración y diferenciación. Queremos desarrollar un circuito activo (contiene un amplificador operacional) que tenga una salida que sea proporcional a la integral de su entrada. Por ejemplo, podrías usar un integrador en un automóvil para determinar la distancia recorrida desde el velocímetro.

1. ¿Cuál es la función de transferencia de un integrador?
2. Encuentre un circuito de amplificador operacional para que su salida de voltaje sea proporcional a la integral de su entrada para todas las señales.

¿De dónde viene ese sonido?

Determinamos de dónde viene el sonido porque tenemos dos oídos y un cerebro. El sonido viaja a una velocidad relativamente lenta y nuestro cerebro utiliza el hecho de que el sonido llegará a un oído antes que al otro. Como se muestra a continuación, un sonido procedente de la derecha llega a la oreja izquierda τ segundos después de que llega a la oreja derecha.

Una vez que el cerebro encuentra este retraso de propagación, puede determinar la dirección del sonido. En un intento de modelar lo que podría hacer el cerebro, los procesadores de señal RU quieren diseñar un sistema óptimo que retrase la señal de cada oído en cierta cantidad y luego las suma. Δ _l y Δ _r son los retardos aplicados a las señales izquierda y derecha respectivamente. La idea es determinar los valores de retardo de acuerdo con algún criterio que se base en lo que se mide por las dos orejas.

1. ¿Cuál es la función de transferencia entre la señal de sonido s (t) y la salida del procesador y (t)? Una forma de determinar el retardo τ es elegir maximizar la potencia en y (t).
2. ¿Cómo se relacionan estos retrasos de procesamiento de máxima potencia con τ?

Arreglos de Sistemas

La arquitectura de un sistema de componentes modulares significa disponerlos en varias configuraciones para lograr alguna relación general de entrada/salida.

1. Para cada uno de los siguientes determinar la función de transferencia global entre x (t) e y (t).

2. La función de transferencia general para la cascada (primer sistema representado) es particularmente interesante. ¿Qué dice sobre el efecto del ordenamiento de sistemas lineales invariantes en el tiempo en cascada?

Filtración

Deja que la señal

\[s(t)=\frac{\sin (\pi t)}{\pi t} \nonumber \]

ser la entrada a un filtro lineal, invariable en el tiempo que tiene la función de transferencia que se muestra a continuación.

1. Encuentra la expresión para y (t), la salida del filtro.

Filtro de Circuitos

Un pulso de amplitud unitaria con una duración de un segundo sirve como entrada a un circuito RC que tiene función de transferencia

\[H(f)=\frac{i2\pi f}{4+i2\pi f} \nonumber \]

1. ¿Cómo categorizarías esta función de transferencia: lowpass, highpass, bandpass, other?
2. Encuentra un circuito que corresponda a esta función de transferencia.
3. Encuentra una expresión para la salida del filtro.

Reverberación

La reverberación corresponde a sumar a una señal su versión retardada.

1. Suponiendo que τ representa el retardo, ¿cuál es la relación entrada-salida para un sistema de reverberación?
2. ¿El sistema es lineal e invariable en el tiempo? Si es así, encuentra la función de transferencia; si no, qué criterio de linealidad o invarianza de tiempo viola la reverberación.
3. Un grupo de música conocido como los Rowls está teniendo problemas para vender sus grabaciones. El ingeniero de la compañía discográfica tiene la idea de aplicar diferentes retardos a las frecuencias bajas y altas y agregar el resultado para crear un nuevo efecto musical. Así, el audio de las filas se separaría en dos partes (una menor que la frecuencia f ₀, la otra mayor que f ₀), éstas se retrasarían en τ _l y τ _h respectivamente, y el señales resultantes agregadas.
   1. Dibuja un diagrama de bloques para este nuevo sistema de procesamiento de audio, mostrando sus diversos componentes.
   2. ¿Cómo depende la magnitud de la función de transferencia del sistema de los dos retrasos?

Ecos en Sistemas Telefónicos

Un problema frecuente en los teléfonos es el eco. Aquí, debido al acoplamiento acústico entre el auricular y el micrófono en el auricular, lo que oyes también se envía a la persona que habla. Esa persona así no sólo te escucha, sino que también escucha su propio discurso retardado (debido al retraso de propagación a través de la red telefónica) y atenuado (la ganancia de acoplamiento acústico es menor que uno). Además, también te aplica el mismo problema: El acoplamiento acústico ocurre tanto en su teléfono como en el tuyo.

1. Desarrollar un diagrama de bloques que describa esta situación.
2. Encuentra la función de transferencia entre tu voz y lo que escucha el oyente.
3. Cada teléfono contiene un sistema para reducir ecos mediante medios eléctricos. ¿Qué sistema simple podría invalidar los ecos?

Entrega efectiva de medicamentos

En la mayoría de los pacientes, se necesita tiempo para que la concentración de un fármaco administrado alcance un nivel constante en el torrente sanguíneo. Por lo general, si la concentración de fármaco en la vía intravenosa del paciente es

\[C_{d}u(t) \nonumber \]

la concentración en el torrente sanguíneo del paciente es

\[C_{p}(1-e^{-(at)})u(t) \nonumber \]

1. Suponiendo que la relación entre la concentración de fármaco en el fármaco del paciente y la concentración entregada puede describirse como un sistema lineal invariable en el tiempo, ¿cuál es la función de transferencia?
2. A veces, el sistema de administración de medicamentos sale mal y entrega medicamentos con poco control. ¿Cuál sería la concentración de fármaco del paciente si la concentración entregada fuera una rampa? Más precisamente, si fuera\[C_{d}tu(t) \nonumber \]
3. Un médico inteligente quiere tener la flexibilidad para ralentizar o acelerar la concentración de medicamentos del paciente. En otras palabras, la concentración es ser\[C_{p}(1-e^{-(bt)})u(t) \nonumber \] con b mayor o menor que a. ¿Cómo se debe cambiar la señal de concentración de fármaco entregada para lograr este perfil de concentración?

Cogiendo Speeders con Radar

RU Electronics ha sido contratada para diseñar un sistema de radar Doppler. Los transmisores de radar emiten una señal que rebota en cualquier objeto conductor. Se procesan las diferencias de señal entre lo que se envía y el retorno del radar y se extraen las características de interés. En los sistemas Doppler, la velocidad del objeto a lo largo de la dirección del haz de radar es la característica que el diseño debe extraer. La señal transmitida es un sinsusoide:

\[x(t)=A\cos (2\pi f_{c}t) \nonumber \]

La señal de retorno medida es igual a

\[B\cos (2\pi ((f_{c}+\Delta f)t+\phi ) \nonumber \]

donde la frecuencia de desplazamiento Doppler Δf es igual a 10v donde v es la velocidad del automóvil que viene hacia el transmisor.

1. Diseñar un sistema que utilice las señales transmitidas y de retorno como entradas y produzca Δf.
2. Un problema con los diseños basados en objetivos de diseño excesivamente simplistas es que son sensibles a suposiciones sin modelar. ¿Cómo cambiarías tu diseño, en todo caso, para que se pueda determinar si el auto se va o hacia el transmisor?
3. Supongamos que dos objetos que viajan diferentes velocidades proporcionan retornos. ¿Cómo cambiarías tu diseño, si acaso, para dar cabida a múltiples devoluciones?

Desmodulación de una señal AM

Sea m (t) denote la señal que ha sido modulada en amplitud.

\[x(t)=A(1+m(t))\sin (2\pi f_{c}t) \nonumber \]

Las estaciones de radio intentan restringir la amplitud de la señal m (t) para que sea menor a una en magnitud. La frecuencia f _c es muy grande en comparación con el contenido de frecuencia de la señal. Lo que nos preocupa aquí no es la transmisión, sino la recepción. El llamado demodulador coherente simplemente multiplica la señal x (t) por una sinusoide que tiene la misma frecuencia que la portadora y filtra el resultado de paso bajo.

1. Analiza este receptor y demuestra que funciona. Supongamos que el filtro de paso bajo es ideal. Un problema en la recepción coherente es la fase de la sinusoide utilizada por el receptor en relación con la utilizada por el transmisor.
2. Suponiendo que la sinusoide del receptor tiene una fase φ , ¿cómo depende la salida de φ ?
3. ¿Cuál es el peor valor posible para esta fase?
4. El receptor incoherente se usa más comúnmente debido al problema de sensibilidad de fase inherente a la recepción coherente. Aquí, el receptor de onda completa rectifica la señal recibida y filtra el resultado de paso bajo (de nuevo idealmente). Analiza este receptor. ¿Su salida difiere de la del receptor coherente de manera significativa?

Modulación de amplitud inusual

Queremos enviar una señal de banda limitada teniendo la señal representada con modulación de amplitud de la manera habitual. I.B. Different sugiere usar la portadora de onda cuadrada que se muestra a continuación. Bueno, es diferente, pero sus amigos se preguntan si alguna técnica puede demodularlo.

1. Encuentra una expresión para X (f), la transformada de Fourier de la señal modulada.
2. Esbozar la magnitud de X (f) , teniendo cuidado de etiquetar magnitudes y frecuencias importantes.
3. ¿Qué técnica de demodulación obviamente funciona?
4. I.B. desafía a tres de sus amigos a demodular x (t) de alguna otra manera. Un amigo sugiere modular x (t) con cos (πt/2), otro quiere intentar modular con cos (πt), y el tercero piensa que cos (3πt/2) funcionará.
   1. Esbozar la magnitud de la transformada de Fourier de la señal que produce el enfoque de cada estudiante.
   2. ¿Qué estudiante se acerca más a recuperar la señal original? ¿Por qué?

Sammy se duerme...

Mientras está sentado en la clase ELEC 241, se queda dormido durante un momento crítico cuando se está describiendo un receptor AM. La señal recibida tiene la forma:

\[r(t)=A(1+m(t))\cos (2\pi f_{c}t+\varphi ) \nonumber \]

donde se desconoce la fase φ. La señal de mensaje es m (t); tiene un ancho de banda de W Hz y una magnitud menor a 1 (|m (t) | <1). Se desconoce la fase φ. El instructor dibujó un diagrama para un receptor en el tablero; Sammy durmió a través de la descripción de lo que estaban los sistemas desconocidos donde.

1. ¿Cuáles son las señales x _c (t) y x _s (t)?
2. ¿Qué pondrías para los sistemas desconocidos que garantizarían que la salida final contuviera el mensaje independientemente de la fase?
3. Sammy puede haber estado dormido, pero puede pensar en un receptor mucho más simple. ¿Qué es?

Ajamming

El colegio Sid Richardson decide montar su propia estación de radio AM KSRR. La ingeniera eléctrica residente decide que puede elegir cualquier frecuencia portadora y ancho de banda de mensaje para la estación. Un colegio rival decide atascar sus transmisiones transmitiendo una señal de alta potencia que interfiere con radios que intentan recibir KSRR. El atasco de señal de interferencia (t) es lo que se conoce como onda de diente de sierra (como se muestra a continuación) que tiene un período conocido por el ingeniero de KSRR.

1. Encuentra el espectro de la señal de interferencia.
2. ¿Puede KSRR eludir por completo el intento de atascarlo eligiendo cuidadosamente su frecuencia portadora y su ancho de banda de transmisión? Si es así, encuentra la frecuencia portadora de la estación y el ancho de banda de transmisión en términos de T, el periodo de la señal de interferencia; si no, mostrar por qué no.

AM Estéreo

Una señal estereofónica consiste en una señal “izquierda” l (t) y una señal “derecha” r (t) que transmite sonidos provenientes de los lados izquierdo y derecho de una orquesta, respectivamente. Para transmitir estas dos señales simultáneamente, el transmisor primero forma la señal suma:

\[s_{+}(t)=l(t)+r(t) \nonumber \]

y la señal de diferencia

\[s_{-}(t)=l(t)-r(t) \nonumber \]

Entonces, el transmisor modula-amplitud la señal de diferencia con una sinusoide que tiene frecuencia 2W, donde W es el ancho de banda de las señales izquierda y derecha. Se suman la señal suma y la señal de diferencia modulada, se modula la amplitud suma a la frecuencia portadora f _c de la estación de radio y se transmite. Supongamos que los espectros de las señales izquierda y derecha son como se muestra.

1. ¿Cuál es la expresión de la señal transmitida? Esbozar su espectro.
2. Muestra el diagrama de bloques de un receptor AM estéreo que puede producir las señales izquierda y derecha como salidas separadas.
3. ¿Qué señal sería producida por un receptor AM coherente convencional que espera recibir una señal AM estándar que transporta una señal de mensaje que tiene ancho de banda W?

Novela AM Stereo Método

Un ingeniero inteligente ha presentado una patente para un nuevo método para transmitir dos señales simultáneamente en el mismo ancho de banda de transmisión que la radio AM comercial. Como se muestra a continuación, su enfoque es modular la porción positiva de la portadora con una señal y la porción negativa con una segunda.

En detalle las dos señales de mensaje m ₁ (t) y m ₂ (t) están limitadas en banda a W Hz y tienen amplitudes máximas iguales a 1. La portadora tiene una frecuencia f _c mucho mayor que W. La señal transmitida x (t) viene dada por:

\[x(t)=\begin{cases} A(1+am_{1}(t))\sin (2\pi f_{c}t) & \text{ if } \sin (2\pi f_{c}t)\geq 0 \\ A(1+am_{2}(t))\sin (2\pi f_{c}t) & \text{ if } \sin (2\pi f_{c}t)< 0 \end{cases} \nonumber \]

En todos los casos, 0<a<1. La gráfica muestra la señal transmitida cuando los mensajes son sinusoides:

\[m_{1}(t)=\sin (2\pi f_{m}t)\; and\;\; m_{2}(t)=\sin (2\pi f_{m}t) \nonumber \]

donde 2f _m < W.

1. Usted, como examinador de patentes, debe determinar si el esquema cumple con sus pretensiones y es útil. Proporcionar una expresión más concisa para la señal transmitida x (t) que la dada anteriormente.
2. ¿Cuál es el receptor para este esquema? Rendiría tanto m ₁ (t) como m ₂ (t) de x (t) .
3. Encuentra el espectro de la porción positiva de la señal transmitida. Determinar si este esquema satisface los criterios de diseño, permitiéndole otorgar la patente. Explica tu razonamiento.

Una idea radial radical

Un estudiante ELEC 241 tiene la brillante idea de usar una onda cuadrada en lugar de una sinusoide como portadora AM. La señal transmitida tendría la forma:

\[x(t)=A(1+am(t))sq_{T}(t) \nonumber \]

donde la señal de mensaje m (t) estaría limitada en amplitud: |m (t) |<1

1. Suponiendo que la señal de mensaje es de paso bajo y tiene un ancho de banda de W Hz, qué valores para el periodo T de la onda cuadrada son factibles. Es decir, ¿algunas combinaciones de W y T impiden la recepción?
2. Asumiendo que la recepción es posible, ¿pueden las radios estándar recibir esta innovadora transmisión AM? Si es así, mostrar cómo un receptor coherente podría desmodularlo; si no, mostrar cómo se corrompería la salida del receptor coherente. Supongamos que el ancho de banda del mensaje W=5 kHz.

Comunicación Secreta

Un mensaje secreto de amplitud modulada m (t) tiene la siguiente forma:

\[r(t)=A(1+am(t))\cos (2\pi (f_{c}+f_{0})t) \nonumber \]

La señal de mensaje tiene un ancho de banda de W Hz y una magnitud menor que 1 (|m (t) | <1). La idea es compensar la frecuencia portadora en f ₀ Hz de las frecuencias portadoras de radio estándar. Por lo tanto, los demoduladores coherentes “listos para usar” asumirían que la frecuencia portadora tiene f _c Hz. Aquí, f ₀ < W

1. Esbozar el espectro de la señal demodulada producida por un demodulador coherente sintonizado a f _c Hz.
2. ¿Será esta señal demodulada una versión “cifrada” del original? Si es así, ¿cómo es así; si no, por qué no?
3. ¿Se puede desarrollar un receptor que pueda demodular el mensaje sin conocer la frecuencia de desplazamiento f _c?

aleateo de señal

Un inventor ilusionado anuncia el descubrimiento de una forma de utilizar la tecnología analógica para hacer que la música no se pueda escuchar sin conocer el método de recuperación secreta. La idea es modular el mensaje de banda limitada m (t) mediante una señal periódica especial s (t) que sea cero durante la mitad de su periodo, lo que hace que el mensaje no sea listable y superficialmente, al menos, irrecuperable (ver figura abajo).

1. ¿Cuál es la serie de Fourier para la señal periódica?
2. ¿Cuáles son las restricciones al periodo T para que la señal del mensaje pueda ser recuperada de m (t) s (t)?
3. Los estudiantes del ELEC 241 piensan que han “roto” el esquema del inventor y lo van a anunciar al mundo. ¿Cómo recuperarían el mensaje original sin tener un conocimiento detallado de la señal moduladora?