Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

5.3: El Teorema del Muestreo

  • Page ID
    85339
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje
    • Conversión entre una señal y números.

    Conversión de analógico a digital

    Debido a la forma en que se organizan las computadoras, la señal debe estar representada por un número finito de bytes. Esta restricción significa que tanto el eje de tiempo como el eje de amplitud deben ser cuantificados: Cada uno debe ser un múltiplo de los enteros. 1 Sorprendentemente, el Teorema de Muestreo nos permite cuantificar el eje de tiempo sin error para algunas señales. Las señales que se pueden muestrear sin introducir error son interesantes, y como se describe en la siguiente sección, podemos hacer que una señal sea “muestreable” filtrando. En contraste, nadie ha encontrado una manera de realizar la etapa de cuantificación de amplitud sin introducir un error irrecuperable. Así, el valor de una señal ya no puede ser ningún número real. Las señales procesadas por las computadoras digitales deben ser de valores discretos: sus valores deben ser proporcionales a los enteros. En consecuencia, la conversión analógico-digital introduce error.

    El teorema del muestreo

    La transmisión digital de información y el procesamiento de señales digitales requieren que primero las señales sean “adquiridas” por una computadora. Uno de los resultados más sorprendentes y útiles de la ingeniería eléctrica es que las señales se pueden convertir de una función del tiempo a una secuencia de números sin error: Podemos convertir los números de nuevo en la señal sin (teóricamente) ningún error. Harold Nyquist, ingeniero de Bell Laboratories, derivó por primera vez este resultado, conocido como el Teorema de Muestreo, en la década de 1920. No encontró ninguna aplicación real en ese entonces. Claude Shannon, también en los Laboratorios Bell, revivió el resultado una vez que las computadoras se hicieron públicas después de la Segunda Guerra Mundial.

    La versión muestreada de la señal analógica s (t) es s (nT s), con T s conocida como intervalo de muestreo. Claramente, se conserva el valor de la señal original en los tiempos de muestreo; el problema es cómo se pueden reconstruir los valores de señal entre las muestras ya que se pierden en el proceso de muestreo. Para caracterizar el muestreo, lo aproximamos como el producto:

    \[x(t)=s(t)P_{T_{s}}(t) \nonumber \]

    siendo P T s la señal de pulso periódica. La señal resultante, como se muestra en la Figura 5.3.1 tiene valores distintos de cero solo durante los intervalos de tiempo:

    \[\left ( nT_{s}-\frac{\Delta }{2}, nT_{s}+\frac{\Delta }{2}\right ),n\in \left \{ ...,-1,0,1,... \right \} \nonumber \]

    Figura 5.3.1 La forma de onda de una señal de ejemplo se muestra en la gráfica superior y su versión muestreada en la parte inferior.

    Para nuestros propósitos aquí, centramos la señal de pulso periódico sobre el origen para que sus coeficientes de la serie de Fourier sean reales (la señal es pareja).

    \[P_{T_{s}}(t)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{\frac{i2\pi kt}{T_{s}}} \nonumber \]

    \[c_{k}=\frac{\sin \left ( \frac{\pi k\Delta }{T_{s}}\right )}{\pi k} \nonumber \]

    Si las propiedades de s (t) y la señal de pulso periódico se eligen correctamente, podemos recuperar s (t) de x (t) filtrando.

    Para entender cómo se pueden “rellenar” los valores de señal entre las muestras, necesitamos calcular el espectro de la señal muestreada. Usando la representación en serie de Fourier de la señal de muestreo periódico,

    \[x(t)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{\frac{i2\pi kt}{T_{s}}}s(t) \nonumber \]

    Considerando cada término en la suma por separado, necesitamos conocer el espectro del producto del complejo exponencial y la señal. Evaluar esta transformación directamente es bastante fácil.

    \[\int_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{\frac{i2\pi kt}{T_{s}}}e^{i2\pi ft}dt=\int_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-\left ( i2\pi \left ( f-\frac{k}{T_{s}} \right )\right )}dt=S\left ( f-\frac{k}{T_{s}} \right ) \nonumber \]

    Así, el espectro de la señal muestreada consiste en versiones ponderadas (por los coeficientes c k) y retardadas del espectro de la señal Figura 5.3.2 a continuación.

    \[X(f)=\sum_{-\infty }^{\infty }c_{k}S\left ( f-\frac{k}{T_{s}} \right ) \nonumber \]

    En general, los términos en esta suma se solapan entre sí en el dominio de la frecuencia, haciendo imposible la recuperación de la señal original. Este fenómeno desagradable se conoce como aliasing.

    Figura 5.3.2 El espectro de alguna señal de banda limitada (a W Hz) se muestra en la gráfica superior. Si el intervalo de muestreo Ts se elige demasiado grande en relación con el ancho de banda W, se producirá el solapamiento. En la parcela inferior, el intervalo de muestreo se elige lo suficientemente pequeño para evitar el aliasing. Tenga en cuenta que si la señal no estuviera limitada en banda, los espectros de componentes siempre se solaparían.

    Si, sin embargo, satisfacemos dos condiciones:

    • La señal s (t) es de banda limitada, tiene potencia en un rango de frecuencia restringido, a W Hz
    • el intervalo de muestreo T s es lo suficientemente pequeño para que los componentes individuales en la suma no se superpongan - T s < 1/2 W

    El aliasing no ocurrirá. En este delicioso caso, podemos recuperar la señal original filtrando paso bajo x (t) con un filtro que tiene una frecuencia de corte igual a W Hz. Estas dos condiciones aseguran la capacidad de recuperar una señal de banda limitada a partir de su versión muestreada: Así tenemos el Teorema de Muestreo.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    El Teorema de Muestreo (como se indica) no menciona el ancho de pulso Δ. ¿Cuál es el efecto de este parámetro en nuestra capacidad de recuperar una señal de sus muestras (suponiendo que se cumplan las dos condiciones del Teorema de Muestreo)?

    Solución

    El único efecto de la duración del pulso es ponderar de manera desigual las repeticiones espectrales. Debido a que solo nos preocupa la repetición centrada en el origen, la duración del pulso no tiene un efecto significativo en la recuperación de una señal de sus muestras.

    La frecuencia 1/2T s, conocida hoy como la frecuencia Nyquist y la frecuencia de muestreo de Shannon, corresponde a la frecuencia más alta a la que una señal puede contener energía y seguir siendo compatible con el Teorema de Muestreo. Los sistemas de muestreo de alta calidad garantizan que no se produzca ningún aliasing mediante el filtrado de paso bajo sin ceremonias de la señal (la frecuencia de corte es ligeramente menor que la frecuencia de Nyquist) antes del muestreo. Por lo tanto, dichos sistemas varían la frecuencia de corte del filtro antialiasing a medida que varía la frecuencia de muestreo. Debido a que tales características de calidad cuestan dinero, muchas tarjetas de sonido no tienen filtros antialiasing o, para el caso, filtros posteriores al muestreo. Muestran a frecuencias altas, 44.1 kHz por ejemplo, y esperan que la señal no contenga frecuencias por encima de la frecuencia Nyquist (22.05 kHz en nuestro ejemplo). Sin embargo, si la señal contiene frecuencias más allá de la frecuencia Nyquist de la tarjeta de sonido, el aliasing resultante puede ser imposible de eliminar.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Para obtener una mejor apreciación del aliasing, esboce el espectro de una onda cuadrada muestreada. Por simplicidad considere solo las repeticiones espectrales centradas en\[-\frac{1}{T_{s}},0,\frac{1}{T_{s}} \nonumber \]
    Deje que el intervalo de muestreo T s sea 1; considere dos valores para el periodo de la onda cuadrada: 3.5 y 4. Obsérvese en particular a dónde van las líneas espectrales a medida que disminuye el período; algunas se moverán hacia la izquierda y otras a la derecha. ¿Qué propiedad caracteriza a los que van en la misma dirección?

    Solución

    Figura 5.3.3 Espectro de onda cuadrada

    El espectro de la onda cuadrada se muestra por el conjunto más audaz de líneas centradas alrededor del origen. Las líneas discontinuas corresponden a las frecuencias alrededor de las cuales ocurren las repeticiones espectrales (debido al muestreo con T s = 1). A medida que disminuye el periodo de la onda cuadrada, las líneas de frecuencia negativa se mueven hacia la izquierda y las de frecuencia positiva hacia la derecha.

    Si satisfacemos las condiciones del Teorema de Muestreo, la señal cambiará solo ligeramente durante cada pulso. A medida que estrechamos el pulso, haciendo

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    ¿Cuál es la señal de banda limitada más simple? Usando esta señal, convencerse de que menos de dos muestreos/periodo no bastarán para especificarlo. Si la frecuencia de muestreo 1/ T s no es lo suficientemente alta, ¿en qué señal se convertiría su señal submuestreada resultante?

    Solución

    La señal de banda limitada más simple es la onda sinusoidal. A la frecuencia Nyquist, se producirían exactamente dos muestreos/periodo. La reducción de la frecuencia de muestreo resultaría en menos muestreos/período, y estas muestras parecerían haber surgido de una sinusoide de menor frecuencia.

    Notas al pie
    1. Suponemos que no utilizamos convertidores A/D de punto flotante.

    This page titled 5.3: El Teorema del Muestreo is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Don H. Johnson via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.