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5.6: Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT)

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    85351
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    Objetivos de aprendizaje
    • Discusión de Transformadas de Fourier en Tiempo Discreto.
    • Los temas incluyen comparación con transformaciones analógicas y discusión del teorema de Parseval.

    La transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto s (n) se define como

    \[S(e^{i2\pi f})=\sum_{n=-\infty }^{\infty }s(n)e^{-(i2\pi fn)} \nonumber \]

    La frecuencia aquí no tiene unidades. Como debería esperarse, esta definición es lineal, con la transformación de una suma de señales igualando la suma de sus transformaciones. Las señales de valor real tienen espectros conjugados-simétricos:

    \[S(e^{-(i2\pi f)})=\overline{S(e^{j2\pi f}}) \nonumber \]

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Una propiedad especial de la transformada de Fourier de tiempo discreto es que es periódica con el período uno:

    \[S(e^{i2\pi (f+1)})=S(e^{i2\pi f}) \nonumber \]

    Derivar esta propiedad de la definición del DTFT.

    Solución

    \[S(e^{i2\pi (f+1)})=\sum_{n=-\infty }^{\infty }s(n)e^{-(i2\pi (f+1)n)} \nonumber \]

    \[S(e^{i2\pi (f+1)})=\sum_{n=-\infty }^{\infty }e^{-(i2\pi n)}s(n)e^{-(i2\pi fn)} \nonumber \]

    \[S(e^{i2\pi (f+1)})=\sum_{n=-\infty }^{\infty }s(n)e^{-(i2\pi fn)} \nonumber \]

    \[S(e^{i2\pi (f+1)})=S(e^{i2\pi f}) \nonumber \]

    Debido a esta periodicidad, solo necesitamos trazar el espectro durante un período para comprender completamente la estructura del espectro; típicamente, trazamos el espectro sobre el rango de frecuencia

    \[\left [ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ] \nonumber \]

    Cuando la señal es de valor real, podemos simplificar aún más nuestras tareas de trazado mostrando el espectro solo sobre

    \[\left [ 0,\frac{1}{2} \right ] \nonumber \]

    el espectro a frecuencias negativas puede derivarse de valores espectrales de frecuencia positiva.

    Cuando obtenemos la señal de tiempo discreto a través del muestreo de una señal analógica, la frecuencia Nyquist corresponde a la frecuencia de tiempo discreto 1/2. Para mostrar esto, tenga en cuenta que una sinusoide que tiene una frecuencia igual a la frecuencia Nyquist 1/2T s tiene una forma de onda muestreada que es igual a

    \[\cos \left ( 2\pi \times \frac{1}{2T_{s}}nT_{s} \right )=\cos (\pi n)=(-1)^{n} \nonumber \]

    El exponencial en el DTFT a la frecuencia 1/2 es igual

    \[e^{-\frac{i2\pi n}{2}}=e^{-(i\pi n)}=(-1)^{n} \nonumber \]

    lo que significa que la frecuencia discreta es igual a la frecuencia analógica multiplicada por el intervalo de muestreo

    \[f_{D}=f_{A}T_{s} \nonumber \]

    f D y f A representan variables de tiempo discreto y frecuencia analógica, respectivamente. La figura de aliasing proporciona otra forma de derivar este resultado. A medida que la duración de cada pulso en la señal de muestreo periódico p Ts (t) se estrecha, las amplitudes de las repeticiones espectrales de la señal, que se rigen por los coeficientes de la serie de Fourier de p Ts (t), llegar a ser cada vez más iguales. El examen de la señal de pulso periódico revela que a medida que Δ disminuye, el valor de c0, el mayor coeficiente de Fourier, disminuye a cero:

    \[\left | c_{0} \right |=\frac{A\Delta }{T_{s}} \nonumber \]

    Así, para mantener un Teorema de Muestreo matemáticamente viable, la amplitud A debe aumentar como 1/ Δ, volviéndose infinitamente grande a medida que disminuye la duración del pulso. Los sistemas prácticos utilizan un pequeño valor de Δ, digamos 0.1. T s y usar amplificadores para reescalar la señal. Así, el espectro de la señal muestreada se vuelve periódico con el periodo 1/T s. Así, la frecuencia Nyquist 1/2T s corresponde a la frecuencia ½.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

    Calculemos la transformada de Fourier de tiempo discreto de la secuencia en descomposición exponencial

    \[s(n)=a^{n}u(n) \nonumber \]

    donde u (n) es la secuencia unidad-paso. Simplemente enchufando la expresión de la señal en la fórmula de la transformada de Fourier:

    \[S(e^{i2\pi f})=\sum_{n=-\infty }^{\infty }a^{n}u(n)e^{-(i2\pi fn)} \nonumber \]

    \[S(e^{i2\pi f})=\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left ( ae^{-(i2\pi fn)}\right )^{n} \nonumber \]

    Esta suma es un caso especial de la serie geométrica.

    \[\sum_{n=0}^{\infty }=\forall \alpha ,\left | \alpha \right |< 1:\left ( \frac{1}{1-\alpha } \right ) \nonumber \]

    Así, mientras |a|<1, tenemos nuestra transformada de Fourier.

    \[S(e^{i2\pi f})=\frac{1}{1-ae^{-(i2\pi f)}} \nonumber \]

    Utilizando la relación de Euler, podemos expresar la magnitud y fase de este espectro.

    \[\left | S(e^{i2\pi f})\right |=\frac{1}{\sqrt{\left ( 1-a\cos (2\pi f) \right )^{2}+a^{2}\sin ^{2}(2\pi f)}} \nonumber \]

    \[\angle \left ( S(e^{i2\pi f})\right )=-\tan^{-1}\left ( \frac{a\sin 2\pi f}{1-a\cos (2\pi f)} \right ) \nonumber \]

    No importa qué valor escojamos, las fórmulas anteriores demuestran claramente la naturaleza periódica de los espectros de las señales de tiempo discreto. La Figura 5.6.1 a continuación muestra de hecho que el espectro es una función periódica. Solo necesitamos considerar el espectro entre - ½ y ½ para definirlo sin ambigüedades. Cuando a>0, tenemos un espectro de paso bajo, el espectro disminuye a medida que la frecuencia aumenta de 0 a ½, con el aumento de un contenido de frecuencia baja que conduce a un mayor contenido de baja frecuencia; para a<0, tenemos un espectro de paso alto como se muestra en la Figura 5.6.2 a continuación.

    Figura 5.6.1 El espectro de la señal exponencial (a = 0.5) se muestra sobre el rango de frecuencias [-2,2], demostrando claramente la periodicidad de todos los espectros de tiempo discreto. El ángulo tiene unidades de grados.
    Figura 5.6.1 Se muestran los espectros de varias señales exponenciales. ¿Cuál es la relación aparente entre los espectros para a=0.5 y a=-0.5?
    Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

    Análogamente a la señal de pulso analógica, vamos a encontrar el espectro de la secuencia de pulsos de longitud- N.

    \[s(n)=\begin{cases} 1 & \text{ if } 0\leq n\leq N-1 \\ 0 & \text{ if } otherwise \end{cases} \nonumber \]

    La transformada de Fourier de esta secuencia tiene la forma de una serie geométrica truncada.

    \[S(e^{i2\pi f})=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-(i2\pi fn)} \nonumber \]

    Para la llamada serie geométrica finita, sabemos que

    \[\sum_{n=n_{0}}^{N+n_{0}-1}\alpha ^{n}=\alpha ^{n_{0}}\frac{1-\alpha ^{N}}{1-\alpha } \nonumber \]

    para todos los valores de α.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Derivar esta fórmula para la suma de series geométricas finitas. El “truco” es considerar la diferencia entre la suma de la serie y la suma de la serie multiplicada por α.

    Solución

    \[\alpha \sum_{n=n_{0}}^{N+n_{0}-1}\alpha ^{n}-\sum_{n=n_{0}}^{N+n_{0}-1}\alpha ^{n}=\alpha ^{N+n_{0}}-\alpha ^{n_{0}} \nonumber \]

    que, después de la manipulación, produce la fórmula de suma geométrica.

    Aplicando este resultado rinde a la Figura 5.6.3,

    \[S(e^{i2\pi f})=\frac{1-e^{-(i2\pi fN)}}{1-e^{-(i2\pi f)}} \nonumber \]

    \[S(e^{i2\pi f})=e^{-(i\pi f(N-1))}\frac{\sin (\pi fN)}{\sin (\pi f)} \nonumber \]

    La relación de funciones sinusoidales tiene la forma genérica de

    \[\frac{\sin (Nx)}{\sin (x)} \nonumber \]

    que se conoce como la función sinc de tiempo discreto dsinc (x). Así, nuestra transformación puede expresarse de manera concisa como

    \[S(e^{i2\pi f})=e^{-(i\pi f(N-1))}dsinc(\pi f) \nonumber \]

    El espectro del pulso de tiempo discreto contiene muchas ondas, cuyo número aumenta con N, la duración del pulso.

    Figura 5.6.3 Se muestra el espectro de un pulso de longitud diez. ¿Puedes explicar la apariencia bastante complicada de la fase?

    La transformada inversa de Fourier en tiempo discreto se deriva fácilmente de la siguiente relación:

    \[\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{-(i2\pi fm)} e^{i2\pi fn}df=\begin{cases} 1 & \text{ if } m=n \\ 0 & \text{ if } m\neq n \end{cases} \nonumber \]

    \[\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{-(i2\pi fm)} e^{i2\pi fn}df=\delta (m-n) \nonumber \]

    Por lo tanto, encontramos que

    \[\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} S(e^{i2\pi f})e^{i2\pi fn}df=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sum_{_{m}m}s(m)e^{-(i2\pi fm)}e^{i2\pi fn}df \nonumber \]

    \[\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} S(e^{i2\pi f})e^{i2\pi fn}df=\sum_{_{m}m}s(m)\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{(-(i2\pi f))(m-n)}df \nonumber \]

    \[\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} S(e^{i2\pi f})e^{i2\pi fn}df=s(n) \nonumber \]

    Los pares de transformada de Fourier en tiempo discreto son

    \[S(e^{i2\pi f})=\sum_{n=-\infty }^{\infty }s(n)e^{-(i2\pi fn)} \nonumber \]

    \[s(n)=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} S(e^{i2\pi f})e^{i2\pi fn}df \nonumber \]

    Las propiedades de la transformada de Fourier de tiempo discreto reflejan las de la transformada analógica de Fourier. La tabla de propiedades de DTFT a continuación muestra similitudes y diferencias. Una propiedad común importante es el Teorema de Parseval.

    Figura 5.6.4 Propiedades de DTFT

    \[\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left ( \left | s(n) \right | \right )^{2}=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left | S(e^{i2\pi f}) \right |^{2}df \nonumber \]

    Para mostrar esta importante propiedad, simplemente sustituimos la expresión de transformada de Fourier por la expresión de dominio de frecuencia para poder.

    \[\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left | S(e^{i2\pi f}) \right |^{2}df=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sum_{nn}s(n)e^{-(i2\pi fn)}\sum_{mm}\overline{s(n)}e^{i2\pi fm}df \nonumber \]

    \[\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left | S(e^{i2\pi f}) \right |^{2}df=\sum_{n,m,n,m}s(n)\overline{s(n)}\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}e^{i2\pi f(m-n)}df \nonumber \]

    Usando la relación de ortogonalidad, la integral es igual a δ (m-n), donde δ (n) es la muestra unitaria. Así, la suma doble colapsa en una sola suma porque los valores distintos de cero ocurren solo cuando n=m, dando como resultado el Teorema de Parseval. Nosotros denominamos

    \[\sum_{nn}s^{2}(n) \nonumber \]

    la energía en la señal de tiempo discreto s (n) a pesar de que las señales de tiempo discreto no consumen (ni producen para el caso) energía. Esta terminología es un arrastre del mundo analógico.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que obtuvimos nuestra señal de tiempo discreto a partir de valores del producto s (t) p Ts (t), donde la duración de los pulsos componentes en p Ts (t) es Δ. ¿Cómo se relaciona la energía de señal de tiempo discreto con la energía total contenida en s (t)? Supongamos que la señal es de banda limitada y que la frecuencia de muestreo se eligió adecuada a las condiciones del Teorema de Muestreo.

    Solución

    Si la frecuencia de muestreo excede la frecuencia Nyquist, el espectro de las muestras es igual al espectro analógico, pero sobre la frecuencia analógica normalizada fT. Así, la energía en la señal muestreada es igual a la energía de la señal original multiplicada por T.

    Colaborador

    • ContribeeOpenStax

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